Приложение В Разделение матриц
П.3. Разделение матриц
Иногда требуется разделить матрицу на подматрицы. Например, разделение матрицы А на четыре (квадратные или прямоугольные) подматрицы необходимых размеров может быть представлено следующим образом:
А=
.
Для примера, пусть матрица А размеров 4х5 разделена на блоки в виде
А=
=,
где
А11=
, А12=
, А21=
и А22=
.
Если матрицы А и В имеют соответствующие размеры для умножения и разделены таким образом, что их подматрицы также имеют соответствующие размеры для умножения, то произведение АВ можно найти с помощью обычной схемы умножения строк на столбцы с подматрицами, как если бы они были единичными элементами, например,
АВ=
Рекомендуемые материалы
=
. (П.3.1)
Если матрицу B заменить вектором b, разделённым на два подвектора b1 и b2, а матрица А разделена соответственно на две подматрицы А1 и А2, то произведение Аb можно записать в разделённом виде
Аb=[A1, A2]
=A1b1+A2b2, (П.3.2)
где число столбцов матрицы A1 равно числу элементов вектора b1 и матрица А2 с вектором b2 также имеют соответствующие размеры для умножения. Заметим, что разделение матрицы А=[A1, A2] обозначается с использованием запятой.
Данное в (П.3.2) умножение разделённых матрицы и вектора может применяться к отдельным столбцам матрицы А и отдельным элементам вектора b:
Аb=[а1, а2, …, ар]
=b1а1+b2а2+…+bрар. (П.3.3)
Здесь Ab является линейной комбинацией столбцов матрицы А, где коэффициентами служат элементы вектора b. Покажем это в следующем примере.
Пример П.3. Пусть A=
и b=
, тогда Ab=
.
Используя линейную комбинацию столбцов А, как показано в (П.3.3), получаем
Ab=b1а1+b2а2+b3а3=4
+2
–
=
+
–=
□
На основании полученных в (П.2.20) и (П.3.3) выражений АВ= [Аb1, Аb2, …, Аbр] и Аb=b1а1+b2а2+…+bрар столбцы матрицы AB являются линейными комбинациями столбцов матрицы А. Коэффициентами линейной комбинации j-го столбца матрицы AB являются элементы j-го столбца матрицы B.
Произведение вектора строки ас и матрицы B можно представить в виде линейной комбинации строк матрицы B, в которой коэффициентами являются элементы строки ас:
Рекомендуем посмотреть лекцию "9 Завершение процесса антропогенеза и расогенез".
асB=[а1, а2, …, аn]
=а1b1с+a2b2с+…+anbnс. (П.3.4)
Поэтому на основе полученного в (П.2.19) выражения АВ=
и (П.3.4) строки матрицы AB являются линейными комбинациями строк матрицы B, а коэффициентами линейной комбинации i-й строки AB являются элементы i-й строки матрицы А.
Наконец отметим, что если матрица A разделена в виде [А1, А2], то
AТ=[А1, А2]Т=
(П.3.5)
и её произведение на саму себя имеет вид
AТA=[А1, А2]=
. (П.3.6)
