Марковские моменты. Локальные полумартингалы

§ 4 Марковские моменты. Локальные полумартингалы.

4.1. Определение. Отображение  называется марковским моментом, если для .

Конечный марковский момент (Р()=1) называется моментом остановки.

Обозначим для всех }.

Предложение 11. алгебра.

Доказательство. Очевидно, что: i) ; ii) замкнута относительно операции взятия счетных пересечений; iii) если  и , то и следовательно . Стало быть, алгебра.

Примеры: 1) .

2) Пусть  - случайная последовательность, а  -марковский момент. Определим , где  Тогда измерима. (Докажите самостоятельно).

Рекомендуемые материалы

3) Пусть марковский момент. Действительно

.

Предложение 10. Пусть марковский момент. Тогда 1) , 2)

Доказательство. 1) Очевидно . Поэтому из определения марковского момента следует, что . Второе утверждение очевидно.

4.2. Пусть марковский момент относительно фильтрации  .

Предложение 12. 1) Если t, s - марковские моменты, то  min(t,s),

 max(s,t), t+s, (t-s)⁺  max(t-s,0) являются марковскими моментами.

2) Если  - марковские моменты и   Р - п. н., то .

3) Если  - марковские моменты, то  принадлежат и.

4) Если  - последовательность марковских моментов. Тогда t_n ,  t_n , t_n , t_n , t_n также являются марковскими моментами.

Докажите предложение 12 самостоятельно.

4.3. Определение. Последовательность называется остановленной, если

Определение. Последовательность марковских моментов  называется t-локализующей, если она неубывающая и Р - п. н. существует t =t_n . Если ¥, то  называется локализующей.

4.4. Определение. Последовательность  называется локальным полумартингалом, если существует локализующая последовательность , такая, что остановленная последовательность  является полумартингалом.

Определение. Последовательность  называется мартингал-разностью, если существует М(x_t | ) для любого  и М()=0  Р - п. н.

Из этого определения следует утверждение.

Предложение 13. Последовательность , где  является мартингалом (относительно меры Р) тогда и только тогда, когда  является мартингал разностью.

4.5. Лемма 14. Пусть  - локальный мартингал с  и  либо . Тогда  - мартингал.

Доказательство. Сначала покажем, что если выполнено , то  и следовательно , для . Действительно. Пусть  - локализующая последовательность, тогда в силу леммы Фату имеем

М = М £ М = М[ + ] =  + М £ || +  < ¥. Поэтому .

Заметим, что: а) || £ ; б) M<¥. Из того, что  - локальный мартингал, следует М(|)= Р - п. н.. Воспользуемся теперь теоремой Лебега (о мажорируемой сходимости), в последнем равенстве имеем    Р - п.н..

Доказательство закончено.

Следствие 15. Всякий локальный мартингал ограниченный сверху (снизу) является мартингалом.

"Базис" - тут тоже много полезного для Вас.

Теорема 16. Пусть  - локальный мартингал (относительно меры Р). Тогда последовательность  является супермартингалом (относительно меры Р).

Доказательство. В силу условий существует локализующая последовательность марковских моментов  такая, что

P - п. н., причем   Р - п. н. Поэтому в силу леммы Фату, имеем P - п. н.

= =    ³ M(| ) =

= .

Доказательство закончено.