Мартингальные преобразования. Теорема Дуба-Мейера
§5 Мартингальные преобразования. Теорема Дуба - Мейера.
5.1. Определение. Последовательность 
называется предсказуемой, если 
-измеримо при каждом t.
Соглашение: 
.
Пусть 
- мартингал относительно меры Р. Обозначим
.
Определение. Последовательность 
, где 
-предсказуемая последовательность, а - мартингал. Такое преобразование называется мартингальным.
Предложение 17. Пусть 
ограниченная предсказуемая последовательность, а , где – мартингал относительно меры P, тогда 
- мартингал (относительно меры Р).
Доказательство. Действительно, очевидна оценка:
,так как по условию Р - п.н. 
для 
). Отсюда следует, что 
. (Здесь мы воспользовались тем, что 
.)
Осталось показать Р - п. н. 
. Для этого достаточно доказать, что 
Действительно, для 
Р - п.н. имеем
Рекомендуемые материалы
. Доказательство закончено.
5.2. Определение. Последовательность 
называется обобщенным мартингалом, если для каждого 
определены условные математические ожидания 
и Р - п. н. 
.
Теорема 18. Следующие утверждения эквивалентны:
1) Последовательность - локальный мартингал.
2) Последовательность - обобщенный мартингал.
3) Последовательность - мартингальное преобразование, т. е. существуют предсказуемая последовательность 
с 
и V0= 0, а также мартингал такие, что Р - п. н. Для 
Докажите самостоятельно.
5.3. Для формулировки теоремы Дуба - Мейера нам понадобится следующее определение.
Определение. Последовательность 
называется возрастающей, если 
Р - п. н. для всех .
Теорема 19 (Дуба - Мейера). Пусть - субмартингал, относительно меры Р. Тогда существуют возрастающая предсказуемая последовательность 
и мартингал 
такие, что Р - п.н. для любого 
, (8)
при этом представление (8) Р-п.н. единственно.
Доказательство. Без ограничения общности, можно считать, что 
и 
. Образуем две последовательности:
, (9)
. (10)
Складывая (9), (10) получим: 
. Нам надо убедиться в том, что - предсказуемый возрастающий процесс, а 
- мартингал (тем самым мы докажем теорему).
Рассмотрим последовательность 
. По условию 
- субмартингал, следовательно Р - п. н. 
, значит - неубывающая последовательность. Докажем, что 
-измеримо (т. е. предсказуема). Ясно, что 
-измеримо, поэтому в силу (10) -измеримо. Заметим, что - мартингал тогда и только тогда, когда
. Из определения 
следует, что 
Поэтому 
P - п. н..
Предположим, что (8) не единственно, т.е. пусть Р - п. н.
.
Поэтому Р - п. н. 
.
Отсюда следует Р - п. н.
, (11)
. (12)
Вычтем из (11), (12) имеем Р - п. н.
. (13)
Возьмем 
относительно левой и правой частой (13), имеем Р - п.н.
Так как 
-измеримо, а 
- мартингалы, тогда из последнего равенства следует, что
Р - п.н. для любого t 
. По построению 
, поэтому 
- Р - п. н. для любого t. Следовательно, разложение 
- единственно. Доказательство закончено.
Замечание. Пусть - супермартингал, тогда 
-субмартингал, поэтому 
, значит 
, где - предсказуемый возрастающий процесс, 
- мартингал относительно потока 
и меры Р.
Следствие 20. Пусть 
- предсказуемый локальный мартингал. Тогда Р - п. н. 
.(Докажите самостоятельно).
5.4. Пример (применения теоремы Дуба - Мейера).
Теорема 21[16]. Пусть 
, где 
- бернуллиевские случайные величины, принимающие значения +1,-1, причем 
.
Доказательство. Пусть 
-число нулей последовательности 
, т.е. 
Тогда 
. В силу теоремы Дуба - Мейера имеем 
. Заметим, что
.
В силу марковского свойства последовательности 
, имеем Р-п.н.
Таким образом 
, поэтому Р-п.н.
Рекомендация для Вас - Власть и общество в России на рубеже веков.
.
Рассмотрим множество 
. Заметим, что Р-п.н.: а) при 
, б) 
. Поэтому 
Р-п.н.
Очевидно, что 
-число попаданий в точку нуль последовательностью 
за время N. Тогда 
Р - п. н. Из последнего равенства следует, что . Доказательство закончено.
Замечание. 
- среднее число нулей последовательности 
в симметричном случайном блуждании.
Заметим, что 
при 
. Значит 
, следовательно 
- среднее число нулей в симметричном случайном блуждании.
