Понятие и основные свойства нечетких отношений

Декартово произведение нечетких множеств – это нечеткое множество всех возможных кортежей, составленных из элементов исходных множеств, функция принадлежности которых вычисляются по соотношениям:
m(x1, x2, ... , xn) = min { m1(x1), m2(x2), ... ,mn( xn)}

Пример. Декартово произведение С нечеткого множества А ="хороший студент" на нечеткое множество В = "здоровый студент", (С = A X B )

Понятие нечеткого отношения

Нечетким отношением называется нечеткое подмножество декартова произведения доменов, характеризующееся функцией принадлежности.

Функция принадлежности подмножества связана с функцией принадлежности включающего его множества неравенством: mG <= mA .

Домены могут быть обычными множествами. когда отличие нечеткого отношения от обычного сводится к появлению дополнительного атрибута – значения функции принадлежности.

Нечеткое отношение над нечеткими множествами отличается от нечеткого отношения над четкими множествами тем, что в первом случае функция принадлежности ограничена значениями функций принадлежности исходных нечетких множеств.

Пример нечеткого отношения

Нечеткое отношение называется бинарным, если оно является обобщением обычного бинарного отношения с добавлением функции принадлежности. Пример:

Определение бинарного нечеткого отношения

Бинарное нечеткое отношение - это трехместное отношение, являющееся подмножеством декартова произведения множеств Х * Х * М, .где Х - исходное множество (вершины графа), .М - множества чисел от 0 до 1 (степени принадлежности дуг между вершинами).
Если матрица обычного бинарного отношения состоит из нулей и единиц, то матрица бинарного нечеткого отношения содержит произвольные неотрицательные элементы mi,j , не большие 1 .

Числовое нечеткое отношение R = "много больше" ( xRy )

Пример бинарного нечеткого отношения над целыми числами

Множества (графики) уровня нечеткого отношения

Графиками уровня Ха удобно пользоваться при формулировке и анализе некоторых задач принятия решений. Очевидны следующие правила работы с графиками уровня нечетких множеств:
( Х / Y )a = Xa / Ya ( Х / Y )a = Xa / Ya

Графики уровня бинарного нечеткого отношения определяются аналогично:
график Ra уровня a отношения R является обычным бинарным отношением, связывающим все пары, для которых степень принадлежности .не меньше а.

График минимального уровня называется носителем бинарного отношения.

Пример графика уровня нечеткого отношения

Свойства нечетких бинарных отношений:

Рефлексивность (Р) и антирефлексивность (АР)

Нечеткое отношение называется рефлексивным, если его функция принадлежности удовлетворяет условию ( m(x,x) = 1 ), для всех вариантов x .

Симметричность, антисимметричность, асимметричность

Нечеткое отношение называется симметричным, если его матрица отношения симметрична (m(x,y)=m(y,x) ) , для всех вариантов x, y , где m(x,y) - функция принадлежности.

Это значит, что пересечение исходного и инверсного отношений совпадает с исходным отношением.

Примером симметричного нечеткого отношения является отношение "сильно различаться по величине".

Асимметричное и антисимметричное отношения

Нечеткое отношение называется асимметричным, если асимметрична его матрица отношения ( m(x,y) * m(y,x) = 0 ), для всех вариантов x, y . Это значит, что пересечение исходного и инверсного отношений является пустым отношением.

Примером асимметричного нечеткого отношения является отношение "много больше". Всякое асимметричное отношение является антирефлексивным.

Нечеткое отношение называется антисимметричным, если антисимметрична его матрица отношения ( m(x,y) * m(y,x) = 0 ), для всех несовпадающих вариантов x, y . Антисимметричность никак не связана с АР.

Асимметричная часть нечеткого отношения

Из всякого отношения легко выделить его симметричную часть Rs, функция принадлежности которой ms(x,y) вычисляется по формуле:
ms(x,y) = min { m(x,y), m(y,x) }

Другими словами, симметричная часть отношения является пересечением инверсного и исходного отношения.

Асимметричной частью Ras нечеткого отношения R называется разность между исходным отношением и его симметричной частью. Другими словами, асимметричная часть отношения является разностью исходного и инверсного отношения.

Отыскание асимметричной части нечеткого отношения.Пример

Полносвязность, слабая полносвязность, транзитивность нечетких бинарных отношений

Свойство полносвязности можно определить через свойство асимметричности двойственного отношения.

Аналогично, слабая полносвязность эквивалентна свойству антисимметричности двойственного отношения.

Транзитивность и негатранзитивность определяются через соответствующие свойства носителя отношения, являющегося четким отношением.

Аналогично можно определить транзитивность уровня a, как транзитивность соответствующего графика отношения.

Операции над нечеткими отношениями

Операции объединения / и пересечения / нечетких отношений определяются аналогично соответствующим операциям для нечетких множеств.

Матрицы объединения и пересечения бинарных нечетких отношений вычисляются поэлементно с учетом правил:

Пример операций объединения и пересечения нечетких отношений:

Инверсное и двойственное отношения

Матрицу принадлежности инверсного отношения вычисляют путем транспонирования матрицы принадлежности исходного отношения.

Двойственным отношением называется дополнение инверсного исходного бинарного нечеткого отношения.

Композиционные и декомпозиционные операции над бинарными нечеткими отношениями

Композицию можно определить разными способами:
1. Максиминное произведение отношений (*1)
2. Минимаксное произведение отношений (*2)

Максиминное и минимаксное произведения отношений (примеры)

Сечения и проекции нечетких отношений

Горизонтальным сечением ( Rx ) бинарного нечеткого отношения R называется нечеткое множество с функцией принадлежности, построенной из значений функции принадлежности второго атрибута, когда первый атрибут равен x.

Вертикальным сечением ( Ry ) бинарного нечеткого отношения R называется нечеткое множество .с функцией принадлежности, построенной из значений функции принадлежности первого атрибута, когда второй атрибут равен y.

Другими словами: функция принадлежности для Rx совпадает со строкой матрицы отношения, а функция принадлежности для Ry совпадает со столбцом матрицы отношения.

Проекции нечетких отношений

Проекции получаются путем объединения всех соответствующих сечений (горизонтальных или вертикальных).

Максимумы и мажоранты нечетких отношений

Нечетким максимумом рефлексивного нечеткого отношения называется пересечение его вертикальных сечений.

Ещё посмотрите лекцию "14.2 Век гениев" по этой теме.

Мажоранты нечетких отношений

Нечеткой мажорантой антирефлексивного нечеткого отношения называется дополнение горизонтальной проекции его асимметричной части Ras.

Мажоранты нечетких отношений

Принцип преемственности: носитель максимума нечеткого отношения совпадает c максимумом носителя этого отношения!

Поделитесь ссылкой:

Популярные услуги

Понятие и основные свойства нечетких отношений

Рекомендуемые материалы

Рекомендуемые лекции