Лекция 12

Лекция 12.

План:

1. Введение;

2. Элементарная теория гироскопа.

§5.12.1. Введение.

Гироскопические приборы и системы широко используются в различных областях техники: в авиации, на ракетах и судах для целей навигации и автоматического управления движением; в артиллерии для стабилизации орудий и прицелов (установленных на подвижные объекты) на выбранном направлении; в горнорудной и нефтяной промышленности для определения азимута и угла на­клона к плоскости горизонта прокладываемых шахт, тоннелей и нефтяных скважин; в геологии и картографии для стабилизации в плоскости горизонта геофизической аппаратуры (гравиметров, магнитометров и т.д.) и аэрофотоаппаратов. С начала развития космической техники гироскопические устройства успешно применя­ются в системах стабилизации и управления искусственных спут­ников и космических летательных аппаратов.

С помощью гироскопических приборов и систем автономно, т.е. без связи с внешней средой, определяются направление плос­кости меридиана, истинной вертикали и широта места, измеряются углы, угловые и линейные скорости, угловые ускорения подвижных объектов.

Основным элементом гироскопических приборов и систем явля­ется гироскоп.

Слово "гироскоп" буквально означает "указатель вращения". Так был назван прибор для демонстрации суточного вращения Земли, построенный французским физиком Л.Фуко в 1852 г. Основной частью прибора Л.Фуко был быстровращающийся ротор (маховик), ус­тановленный в корпусе так, что ось его вращения могла свободно поворачиваться вокруг неподвижной точки. Таким образом, гироскоп представляет собой симметричный однородный маховик, быстро вращающийся вокруг оси динамической симметрии, которая может как угодно поворачиваться в пространстве. Это определение обычного (классического) гироскопа, который пока наиболее широко применяется в современной технике.

Рекомендуемые материалы

Однако к настоящему времени наукой выявлены десятки раз­личных физических явлений и принципов, которые могут быть использованы для автономного обнаружения и измерения вращения тел в пространстве, т.е. могут решать ту же задачу, что и прибор Л.Фуко. Поэтому гироскопом называют всякое устройство, основанное на любом явлении, которое может быть использовано для автономного обнаружения и измерения вращения объекта в неподвижном пространстве. Начиная с 60-х годов текущего ве­ка наряду с обычными (классическими) гироскопами находят при­менение гироскопы, построенные на иных конструктивных и физи­ческих принципах. К таким приборам относятся прежде всего виб­рационные, гидродинамические, лазерные и волоконно-оптические гироскопы.

§5.12.2. Элементарная теория гироскопа

Пусть си мметричный маховик (однородное тело вращения), имеющий неподвижную точку  (рис.1), совпадающую с центром масс, вращается c абсолютной угловой скоростью . С осью динамической симметрии маховика жёстко свяжем ось  ортогональной системы координат , начало которой совместим с неподвижной точкой .

Координатные оси  и

расположены в экваториальной плоскости маховика и не участвуют во вращении последнего вокруг оси симметрии.

Проекции угловой скорости  маховика на оси ,,, являющиеся главными центральными осями инерции, обозначим соответ­ственно , , . Если  - момент инерции маховика относительно экваториальной оси, а С - момент инерции относительно оси динамической симметрии, то проекции вектора главного момента количества движения Н на оси ,,

; ; .

Обычно С>А.

Вектор Н  главного момента количества движения можно представить в виде

.

Модуль вектора главного момента количества движения

,

где -модули проекций главного момента количества движения маховика. Таким образом, можно назвать три непараллельных направления: направление оси симметрии маховика, по которой направлена проекция угловой скорости , направление абсолютной угловой скорости   и направление вектора момента количества движения  маховика.

Если угловая скорость  вокруг оси динамической симметрии маховика велика и значительно превышает угловые скорости  и . Относительно экваториальных осей, то рассматриваемый маховик является гироскопом.

Для современных гироскопов угловая скорость маховика относительно оси динамической симметрии составляет тысячи радиа­нов в секунду, а угловые скорости относительно экваториальных осей обычно не превышают долей радиана в секунду. Учитывая это, в элементарной теории гироскопа вектор главного момента коли­чества движения тела относительно неподвижной точки принимают равным

                                                               (5.1)

т.е. полагают, что главный момент количества движения, который в дальнейшем будем называть кинетическим момен­том, направлен по оси  динамической симметрии гироскопа. Соотношение (5.1) будет тем более точным, чем  больше  и .

Для изучения движения гироскопа воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения, согласно которой справедливо равенство

,                                                         (5.2)

где - момент всех внешних сил относительно неподвижной точки  (главный момент).

Вспомним, что производная от вектора  по времени представляет собой "скорость"  конца этого вектора, , следовательно, равенство (5.2) можно зависать в виде

.                                                (5.3)

Полученное равенство представляет собой теорему Резаля: скорость конца вектора кинетического момента равна главному моменту внешних сил.

Согласно равенству (5.1) вектор Н кинетического момента направлен по оси  - оси гироскопа. Это означает, что c помощью зависимостей (5.2) и (5.3) можно исследовать движение оси гироскопа.

Рассмотрим основные свойства гироскопа:

1. Пусть момент внешних сил относительно неподвижной точки  равен нулю, . Тогда согласно теореме об изменении момента количества движения (5.2) . Следовательно, если на трёхстепенной гироскоп не действуют моменты внешних сил, то ось гироскопа сохраняет неизменным своё направление в прост­ранстве.

2. Если на гироскоп подействовать кратковременной силой (удар), то благодаря тому, что скорость  конца вектора  не будет равна нулю лишь в течение весьма короткого промежутка времени действия силы, ось гироскопа практически не изменит своего положения. Таким образом, ось гироскопа сохраняет поло­жение в пространстве устойчиво. В действительности, после дей­ствия удара ось гироскопа совершает колебания с большой часто­той и весьма малой амплитудой (нутационные колебания), но в эле­ментарной теории гироскопа этими колебаниями пренебрегают.

3. Момент внешних сил относительно неподвижной точки по­стоянен: . Приложим к гироскопу силу  на расстоянии  от точки подвеса как показано на рис.2.

Согласно теореме Резаля конец вектора  приобретает скорость . В результате ось гироскопа начнёт движение в направлении момента , т.е. перпендикулярно к линии действия приложенной силы. По прекращении действия момента внешних сил ось гироскопа мгновенно останавливается. Такое движение оси гироскопа назы­вают прецессией, а угловую скорость оси – угловой скоростью прецессии. Прецессионное движение гироскопа является движением без инерции. Найдём модуль угловой скорости прецессии . Согласно формуле , применяемой для вычисление скорости точки твердого тела (- угловая скорость твердого тела; - расстояние от рассматриваемой точки твёрдого тела до неподвижной точки) скорость U конца вектора H определяем по формуле

или, учитывая равенство (5.3), - по формуле

                                                            (5.4)

Отсюда

,                                                             (5.5)

где - угол между осью гироскопа  (вектором  ) и угловой скоростью прецессии . На рис.2 угол , но в общем случае он может быть отличен от прямого.

Следовательно при действии на гироскоп момента внешних сил  ось  гироскопа вращается (прецессирует) с угловой скорость, определяемой равенством (5.5) таким образом, как если бы вектор Н стремился совместиться с вектором момента , перемещаясь по кратчайшему пути. Это свойство гироскопа называют законом прецессии оси гироскопа.

Применим закон прецессии к анализу движения гироскопа (волчка) под действием силы тяжести. На волчок действуют две внешние силы: сила тяжести  и реакция опоры  (рис.3).

Рекомендуем посмотреть лекцию "Влияние условий выращивания на накопление".

Момент реакции относительно точки  равен нулю, а модуль момента силы тяжести относительно точки  определяется по равенству

,                                                         (5.6)

где а - расстояние от точки 0 до центра масс волчка;  - угол между осью волчка  и вертикалью.

Так как вектор момента  всегда перпендикулярен к верти­кальной плоскости проходящей через ось  волчка, то вектор скорости  конца вектора  горизонтален. Следовательно, ось волчка описывает вокруг вертикали поверхность круглого конуса.

Угловая скорость прецессии согласно формуле (5.5) с учётом равенства (5.6)