Интеграл от функции комплексной переменной
Лекция 4
Интеграл от функции комплексной переменной.
|
| Рассмотрим кусочно-гладкую дугу АВ. Введем разбиение дуги точками А=z0, z1….zk-1, zk, … zn =B. На каждом элементе дуги zk-1, zk отметим точку |
Обозначим 
длину элемента дуги zk-1, zk . Рассмотрим непрерывную на дуге АВ и в некоторой ее окрестности функцию комплексной переменной 
.Построим интегральную сумму 
. Введем интеграл от функции комплексной переменной по дуге АВ как предел интегральной суммы при неограниченном измельчении разбиения.
Теорема существования. Пусть функция f(z) непрерывна в области G. Пусть кусочно-гладкая дуга L принадлежит области G. Тогда интеграл 
Рекомендуемые материалы
существует как предел интегральных сумм
Причем предел этот не зависит:
- от выбора способа разбиения дуги на элементы, лишь бы дуга представляла собой объединение элементов, и пересечение любых двух соседних элементов было бы точкой или пустым множеством (но никак не дугой конечной длины),
- от выбора точек на элементе разбиения, в которых вычисляются значения функции,
- от способа «измельчения» разбиения, лишь бы выполнялось условие 
.
Свойства интеграла.
1. Линейность а) 
= 
+ 
, б) 
=
. Заметим, что первое свойство иногда называют аддитивностью, второе – однородностью. Доказательство проводится через интегральные суммы, как в определенном, кратных и криволинейных интегралах.
2. Аддитивность по множеству. Пусть 
. Тогда 
=
+
. Доказательство проводится через интегральные суммы с фиксацией граничной точки дуг на основании теоремы существования так же, как в определенном, кратных и криволинейных интегралах..
3. «Ориентируемость » =
, где –L – та же дуга L, но проходимая в другом направлении. Доказательство основано на том, что для дуги L 
, а для дуги –L 
и проводится через интегральные суммы, как в определенном и криволинейных интегралах..
4. 
. Заметим, в правой части неравенства стоит криволинейный интеграл от функции 
, принимающей только действительные значения. Доказательство. 
. Переходя к пределу при , получим .
5. Пусть 
Доказательство. По свойству 4 
.
6. 
Доказательство. Достаточно показать, что 
и использовать свойство 1б). 
. Переходя к пределу при , получим .
Три формы записи интеграла.
=
=
=
= 
. Это – 1 форма записи – в виде двух криволинейных интегралов.
Параметризуем дугу L: 
, 
.
. Подставляя в первую форму записи, имеем:
= 
.
Это – 2 ая форма записи – в виде двух определенных интегралов.
Параметризуем дугу L:z=z(t), 
. Это – третья форма записи – в виде определенного интеграла от комплексно - значной фунции действительной переменной.
|
| Пример. Вычислить 2) OB: y=x2, 3) OAB 1) Воспользуемся третьей формой записи интеграла, параметризуя дугу OB: (1+i)t, O(0,0) (t=0), B(1,i) (t=1). z2 = (1+i)2 t2, dz = (1+i) dt. = |
по трем различным дугам : 1) OB: y=x,
=
2) 
.
По первой форме записи интеграла
=
=
.
3) OA: y = 0, dy = 0. AB: x =1, dx = 0. Поэтому 
.
Как оказалось, результат во всех трех случаях один и тот же. В чем же здесь дело? Это – случай или закономерность? Ответ на этот вопрос дает интегральная теорема Коши.
Интегральная теорема Коши (для односвязной области).
Пусть G – односвязная область, пусть функция f(z) – аналитическая в G функция, пусть L – кусочно—гладкий контур, принадлежащий области G. Тогда 
.
Теорему можно сформулировать и так: интеграл от аналитической функции вдоль кусочно-гладкого контура равен нулю.
Доказательство.
|
| Обозначим D – внутренность контура L . Запишем формулу Грина |
. Представим интеграл 
в первой форме записи через два криволинейных интеграла 
Применим к каждому слагаемому в правой части равенства формулу Грина. В первом интеграле примем P = u, Q = -v.
(для аналитической функции выполнены условия Коши – Римана 
).
Во втором интеграле примем P = v, Q = u.
(условие Коши – Римана).
Поэтому .
Следствие. Пусть L1, L2 – две кусочно-гладких дуги в односвязной области G, соединяющие точки A, B. Пусть функция f(z) – аналитическая в области G. Тогда 
= 
.
Можно дать словесную формулировку: интеграл от аналитической функции в односвязной области вдоль кусочно-гладкой дуги не зависит от формы дуги, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
Доказательство. Образуем контур 
. По интегральной теореме Коши
. Но 
. Следовательно, .= .
Поэтому результат в рассмотренном выше примере не случаен.
Очень важный пример. Вычислить интеграл 
, где n – целое число, контур 
- окружность с центром в точке 
радиусом 
.
Покажем, что точки z на контуре можно описать уравнением 
, 
, 
- действительное число. В самом деле, 
, так как 
. Таким образом, контур - это геометрическое место точек комплексной плоскости, расположенных на расстоянии от точки - окружность с центром в точке радиусом .
Если 
, то подынтегральная функция – аналитическая внутри контура . Тогда по интегральной теореме Коши = 0.
Пусть 
. Так как точка z лежит на контуре , то , 
. Перейдем к переменной 
. Пусть 
.
= 
по периодичности экспоненты.
Пусть 
. Тогда
=
.
Вывод. =
.
Интегральная теорема Коши для многосвязной области.
Пусть кусочно-гладкие контуры 
лежат внутри контура и вне друг друга. Пусть 
- аналитическая функция в области между контурами и на самих этих контурах. Тогда 
.
|
| Соединим контуры линиями AB, CD, EK. По интегральной теореме Коши интегралы по контуру AbpCDqEKmA и по контуру AnKEsDCrBA равны нулю. Представим эти интегралы как сумму интегралов по составляющим контуры дугам и сложим эти интегралы, сокращая интегралы по одним и тем же дугам в разных направлениях |
Складывая интегралы, получим
. Отсюда имеем
. Теорема доказана для случая n = 2. Для n > 2 доказательство аналогично.
Следствие 1. В условиях теоремы при n = 1 будет 
. Поэтому, если в какой-либо точке нарушается аналитичность функции, то интеграл может быть взят по любому кусочно-гладкому не самопересекающемуся контуру, охватывающему эту точку, мы получим один и тот же результат.
Следствие 2. Если кусочно-гладкий контур один раз охватывает некоторую точку, 
.а контур L n раз охватывает эту точку, то в условиях теоремы 
. Докажите это самостоятельно.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Введем интеграл с переменным верхним пределом 
. Ясно, что эта запись имеет смысл, если интеграл не зависит от дуги, по которой производится интегрирование, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу.
Пусть
- функция непрерывна в односвязной области G,
- вдоль любой кусочно-гладкой дуги AB, принадлежащей G, не зависит от формы дуги, а зависит только от значений функции в точках A, B.
Тогда 
.
Доказательство.
.
, 
Такая запись оправдана тем, что дугу, соединяющую точки z0 и z + 
z, можно провести через точку z, так как интеграл не зависит от формы дуги. На том же основании выберем дугу, соединяющую точки z и z + z, отрезком 
прямой линии, тогда 
, 
. Заметим, что 
(свойство 6 интеграла). Надо доказать, что 
.
Оценим 
(По непрерывности функции 
. Точка t лежит на отрезке , соединяющем точки z и z + z, поэтому 
.)
(использованы свойства 4, 6 интеграла).
Следовательно, 
.
Поэтому 
. Теорема доказана.
Функция Ф(z) называется первообразной для функции f(z), если 
.
Следствие. По теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом, он является первообразной для подынтегральной функции.
Теорема. Пусть Ф1(z), Ф2(z) – две первообразные для функции f(z), тогда
Ф1(z) = Ф2(z) + С (С- константа).
Доказательство. Обозначим g(z) = Ф1(z) – Ф2(z). g’(z) = Ф1’(z) – Ф2’(z) = f(z) – f(z)=0.
Пусть g(z) = u(x,y) + i v(x,y). Тогда 
. Отсюда
.
Лекция "14. Околоствольные дворы" также может быть Вам полезна.
Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть справедливы условия теоремы о производной интеграла с переменным верхним пределом. Пусть Ф(z) – первообразная для функции f(z). Тогда
Доказательство. по теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом – первообразная для функции f(z). Поэтому J(z)=Ф(z)+С.
J(z0) = 0 = Ф(z0) + C, отсюда С = - Ф(z0). Тогда J(z1) = Ф(z1) + С = Ф(z1) - Ф(z0).
