Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции

Лекция 3

Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.

Рассмотрим комплекснозначную   дифференцируемую в точке t и некоторой ее окрестности функцию действительной переменной z(t).

Рекомендуемые материалы

Наличие ненулевой производной  означает наличие касательной к графику функции с углом наклона к действительной оси, равным .

Рассмотрим теперь комплекснозначную аналитическую функцию комплексной переменной  . Пусть , где  - действительное число. Тогда  - комплекснозначная  функция действительной переменной z(t), дифференцируемая в точке t и некоторой ее окрестности.

Касательная к графику функции, по рассмотренному выше, имеет угол наклона к действительной оси равный .

По теореме о сложной функции , поэтому

. Следовательно,  - аргумент производной аналитической функции . имеет смысл угла поворота касательной к кривой в точке при ее отображении посредством функции .

Так как , , то   - модуль производной аналитической функции имеет смысл коэффициента растяжения при отображении посредством функции . Все это справедливо в тех точках, в которых производная отлична от нуля.

Если две кривые отображаются посредством аналитической функции  , то угол наклона  касательной к каждой кривой изменяется в точке z на один и тот же угол , поэтому углы между кривыми сохраняются при отображении посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля).

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным. Поэтому отображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля) является конформным.

Пример. Линейное отображение  (), как было показано выше, сводится к повороту на угол  и растяжению в  раз.

Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.

Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть действительной частью некоторой аналитической функции , а если может, то восстановить эту функцию.

Та же задача может быть поставлена относительно мнимой части. Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть мнимой частью некоторой аналитической функции , а если может, то восстановить эту функцию.

При решении этих задач сначала надо проверить, существует ли такая аналитическая функция . 

Справедлива теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа).

Доказательство. Если  - функция аналитическая, то выполнены условия Коши – Римана  . Дифференцируем частным образом первое равенство по x, второе по y и складываем. Получим , поэтому функция  - гармоническая. Дифференцируем частным образом первое равенство по y, второе по x и вычитаем из первого равенства второе. Получим , поэтому функция  - гармоническая.

Следовательно, если функция  или функция  не являются гармоническими, то аналитическую функцию построить нельзя.

Пусть функция  и функция  - гармонические функции. Покажем, как можно  восстановить аналитическую функцию по известной действительной части .

Восстановление функции по  аналогично.

1 способ.

 Сравнивая оба выражения, определяем . Теперь .

Замечание. При восстановлении по  функция восстанавливается с точностью до действительной постоянной, а не мнимой.

2 способ.  (как в первом способе). Если при интегрировании второго условия Коши – Римана возникают проблемы, то можно продифференцировать полученное соотношение по x и приравнять известной функции.

. Решая это дифференциальное уравнение, получим  , +С, .

3 способ. В первых двух способах функция восстанавливается как функция x, y. Гораздо приятнее получить ее в виде f(z). В третьем способе используется формула для производной . Так как функция  известна, то  определяется как функция (x, y). Функцию определяем по формуле

 .

Пример. Задана функция =. Проверить, можно ли восстановить аналитическую функцию с такой действительной частью. Если возможно, то восстановить.

Проверьте самостоятельно, что заданная функция является гармонической.

1 способ.  

.

Сравнивая эти выражения, имеем ,

. Поэтому  + С i = .

2 способ.

"14.4 Революция 1905-1907 гг" - тут тоже много полезного для Вас.

. ,

Поэтому  + С i = .

3 способ.

 . Здесь С – комплексное число.