Последовательность и ее предел
Лекция 2
Последовательность и ее предел.
Комплексное число называется пределом последовательности:
(или последовательность сходится к точке
:
), если
выполнено .
Теорема. Для того чтобы последовательность {
} необходимо и достаточно
.
Доказательство провести самостоятельно, используя неравенство треугольника () и теорему Пифагора (
).
Из теоремы следует, что многие свойства последовательностей действительных чисел могут быть перенесены на последовательности комплексных чисел.
Функция комплексной переменной.
Рекомендуемые материалы
| Пусть произвольной точке |
Комплексное число , как всякое комплексное число, имеет действительную и мнимую части
. Это – действительная
и мнимая
части функции.
Пример. Выделим действительную и мнимую части функции .
Элементарные функции комплексной переменной.
Экспонента и при комплексных z сохраняет свои основные свойства
.
Формула Эйлера справедлива и для комплексных чисел z. Это будет показано позже. Используя четность cosz, chz и нечетность sinz, shz, (для комплексных z это тоже будет показано позже), получим формулы связи экспоненты с с тригонометрическими и гиперболическими синусами и косинусами.
. Складывая и вычитая
, получим
.
Гиперболические косинус и синус определяются аналогично функциям действительной переменной
.
Отсюда .
Получим формулы связи тригонометрических и гиперболических косинусов и синусов.
Покажем, что функции - функции периодические с периодом
.
,
имеют тот же период
, так как они являются линейной комбинацией
- периодических функций с периодом
.
Покажем, что функции - функции периодические с периодом
.
.
имеют тот же период
, так как они являются линейной комбинацией
- периодических функций с периодом
.
Упражнение. Выведите формулы
,
используя свойства экспоненты и полученные выше формулы.
Пример. Вычислить sin (+5i), tg (
)
sin (+5i) = sin
cos5i + cos
sin5i = sin5i = ch5
Логарифмическая функция.
Функция определяется как обратная функция по отношению к функции
. Пусть
,
.
Тогда .
Так как , то, переходя в последнем соотношении к модулям, имеем
,
.
Аргументы левой и правой части в соотношении могут отличаться на , поэтому
. Поэтому
.
Это – многозначная функция. Ее главная ветвь
- функция однозначная.
Пример. Вычислить ln(-1), Ln(-1), ln(1+i).
Ln(-1) = ln |-1| + iarg (-1) + =
+
, ln(-1) =
ln(1+i) = ln|1+i| + iarg(1+i) = .
Предел и непрерывность функции.
Комплексное число b называется пределом функции f(z) при ,
.
Это определение – то же, что определение предела функции действительной переменной с той лишь разницей, что модуль здесь имеет смысл расстояния на комплексной плоскости, а не на действительной прямой, как раньше. Кроме того, окрестность точки – не интервал с центром в этой точке, а круг без границы с центром в этой точке.
Функция называется непрерывной в точке
, если
.
Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Область M называется областью однолистности функции , если
Линейная функция осуществляет линейное отображение комплексной плоскости на себя.
. Отсюда видно, что линейное отображение сводится к растяжению в
раз и повороту на
комплексной плоскости. Здесь область однолистности – вся плоскость.
Инверсия (
) переводит все точки, лежащие вне единичной окружности
внутрь и наоборот. Точки
остаются на месте, единичная окружность отображается на себя.
Отображение (
) часть действительной оси (
) и верхнюю полуплоскость отображает на всю плоскость. Часть действительной оси (
) и нижняя полуплоскость тоже отображаются на всю плоскость. Здесь две области однолистности. Поэтому обратная функция
двузначна.
Упражнение. Покажите, что при отображении существует n областей однолистности. Выделите их. Функция
поэтому n – значна.
Отображение переводит прямую, параллельную мнимой оси (
) в
- окружность с центром в начале координат, радиусом
. Прямая, параллельная действительной оси
переводится в
- луч из начала координат под углом y к действительной оси.
Поэтому полоса размером вдоль действительной оси переводится во всю плоскость и представляет собой область однолистности (каждый отрезок в полосе, параллельный мнимой оси (x = a) отобразится в окружность радиуса a с центром в начале координат, меняя a, заполним этими окружностями всю плоскость). Следовательно, здесь бесконечное количество областей однолистности, а обратная функция
- бесконечнозначна.
Производная функции комплексной переменной вводится так же, как и для функции действительной переменной
.
Функция называется дифференцируемой в точке
, если ее приращение в этой точке можно представить в виде
, то есть
- бесконечно малая при
. Главная линейная относительно
часть приращения функции в точке
,
называется дифференциалом функции в точке
, (
).
Замечание. Функция двух переменных называется дифференцируемой в точке (
), если ее приращение в этой точке можно представить в виде
+
+
,
где ,
- бесконечно малые при
,
,
.
Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке
, необходимо и достаточно, чтобы существовала ее конечная производная в этой точке.
Доказательство. Проводится так же, как и для функции действительной переменной с использованием теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой.
Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда
,
Делим обе части на
. Так как
- бесконечно малая при
, то по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой,
.
Поэтому - формула для вычисления дифференциала.
Достаточность. Пусть в точке существует конечная производная функции
. Тогда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой
. Умножая на
, получим
. Следовательно, функция дифференцируема в точке
.
Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.
Теорема (Коши – Римана). Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке
, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части
,
были бы дифференцируемы в этой точке
как функции двух переменных
и в этой точке выполнялись бы условия Коши – Римана
, причем
.
Замечание. С учетом условий Коши – Римана производная функции в точке может быть записана так: =
=
==
Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке z0. Тогда
.
Пусть ,
.
.
Отделяя действительную и мнимую части, имеем:
,
.
Следовательно, функции дифференцируемы в точке
Из первого соотношения следует, что
.
Из второго соотношения следует, что
,
.
Поэтому .
.
Достаточность. Пусть функции дифференцируемы в точке
и выполняются условия Коши – Римана.
где
- бесконечно малые при
.
.
Функции - бесконечно малые при
, поэтому они являются бесконечно малыми при
. Справедливы неравенства
. Поэтому отношения приращений в двух последних скобках – ограниченные величины. Следовательно, выражения в двух последних скобках – бесконечно малые величины при
как произведения бесконечно малых на ограниченные. Обозначим два последних слагаемых
- бесконечно малая при
.
.
Умножая это выражение на , получим
.
Следовательно, функция дифференцируема в точке .
Условия Коши – Римана позволяют легко проверить дифференцируемость функции в точке.
Функция называется аналитической в области, если она дифференцируема в области.
Функция называется аналитической в точке, если она дифференцируема в этой точке и некоторой ее окрестности.
Основные элементарные функции аналитические на всей комплексной плоскости.
Проверим, например, условия Коши – Римана для функции
Ещё посмотрите лекцию "КЛЮЧЕВСКИЙ Василий Осипович" по этой теме.
Условия Коши – Римана выполнены при любых значениях переменных, функция аналитическая во всей комплексной плоскости.
Пример. Функция z = x не является дифференцируемой ни в одной точке, так как .
Пример Функция .
. Функция дифференцируема только в точке z=0 и более ни в одной точке. Она не аналитическая ни в одной точке, поскольку для аналитичности кроме дифференцируемости в точке нужна еще дифференцируемость в некоторой области.
Пример. не является дифференцируемой ни в одной точке, так как условия Коши – Римана не выполнены,
.