Последовательность и ее предел
Лекция 2
Последовательность и ее предел.
Комплексное число называется пределом последовательности: (или последовательность сходится к точке : ), если
выполнено .
Теорема. Для того чтобы последовательность { } необходимо и достаточно .
Доказательство провести самостоятельно, используя неравенство треугольника () и теорему Пифагора ().
Из теоремы следует, что многие свойства последовательностей действительных чисел могут быть перенесены на последовательности комплексных чисел.
Функция комплексной переменной.
Рекомендуемые материалы
Пусть произвольной точке поставлена в соответствие точка (единственная) (- две комплексных плоскости) по некоторому закону . Тогда говорят, что определена функция комплексной переменной с областью определения и областью значений в множестве (или задано отображение области в область ). |
Комплексное число , как всякое комплексное число, имеет действительную и мнимую части . Это – действительная и мнимая части функции.
Пример. Выделим действительную и мнимую части функции .
Элементарные функции комплексной переменной.
Экспонента и при комплексных z сохраняет свои основные свойства
.
Формула Эйлера справедлива и для комплексных чисел z. Это будет показано позже. Используя четность cosz, chz и нечетность sinz, shz, (для комплексных z это тоже будет показано позже), получим формулы связи экспоненты с с тригонометрическими и гиперболическими синусами и косинусами. . Складывая и вычитая , получим
.
Гиперболические косинус и синус определяются аналогично функциям действительной переменной
.
Отсюда .
Получим формулы связи тригонометрических и гиперболических косинусов и синусов.
Покажем, что функции - функции периодические с периодом .
,
имеют тот же период , так как они являются линейной комбинацией - периодических функций с периодом .
Покажем, что функции - функции периодические с периодом .
.
имеют тот же период , так как они являются линейной комбинацией - периодических функций с периодом .
Упражнение. Выведите формулы
,
используя свойства экспоненты и полученные выше формулы.
Пример. Вычислить sin (+5i), tg ()
sin (+5i) = sincos5i + cos sin5i = sin5i = ch5
Логарифмическая функция.
Функция определяется как обратная функция по отношению к функции . Пусть , .
Тогда .
Так как , то, переходя в последнем соотношении к модулям, имеем , .
Аргументы левой и правой части в соотношении могут отличаться на , поэтому . Поэтому
.
Это – многозначная функция. Ее главная ветвь
- функция однозначная.
Пример. Вычислить ln(-1), Ln(-1), ln(1+i).
Ln(-1) = ln |-1| + iarg (-1) + = +, ln(-1) =
ln(1+i) = ln|1+i| + iarg(1+i) = .
Предел и непрерывность функции.
Комплексное число b называется пределом функции f(z) при ,
.
Это определение – то же, что определение предела функции действительной переменной с той лишь разницей, что модуль здесь имеет смысл расстояния на комплексной плоскости, а не на действительной прямой, как раньше. Кроме того, окрестность точки – не интервал с центром в этой точке, а круг без границы с центром в этой точке.
Функция называется непрерывной в точке , если .
Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Область M называется областью однолистности функции , если
Линейная функция осуществляет линейное отображение комплексной плоскости на себя. . Отсюда видно, что линейное отображение сводится к растяжению в раз и повороту на комплексной плоскости. Здесь область однолистности – вся плоскость.
Инверсия () переводит все точки, лежащие вне единичной окружности внутрь и наоборот. Точки остаются на месте, единичная окружность отображается на себя.
Отображение () часть действительной оси () и верхнюю полуплоскость отображает на всю плоскость. Часть действительной оси () и нижняя полуплоскость тоже отображаются на всю плоскость. Здесь две области однолистности. Поэтому обратная функция двузначна.
Упражнение. Покажите, что при отображении существует n областей однолистности. Выделите их. Функция поэтому n – значна.
Отображение переводит прямую, параллельную мнимой оси ( ) в - окружность с центром в начале координат, радиусом . Прямая, параллельная действительной оси переводится в - луч из начала координат под углом y к действительной оси.
Поэтому полоса размером вдоль действительной оси переводится во всю плоскость и представляет собой область однолистности (каждый отрезок в полосе, параллельный мнимой оси (x = a) отобразится в окружность радиуса a с центром в начале координат, меняя a, заполним этими окружностями всю плоскость). Следовательно, здесь бесконечное количество областей однолистности, а обратная функция - бесконечнозначна.
Производная функции комплексной переменной вводится так же, как и для функции действительной переменной
.
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде
, то есть - бесконечно малая при . Главная линейная относительно часть приращения функции в точке , называется дифференциалом функции в точке , ().
Замечание. Функция двух переменных называется дифференцируемой в точке (), если ее приращение в этой точке можно представить в виде
++,
где , - бесконечно малые при ,
, .
Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала ее конечная производная в этой точке.
Доказательство. Проводится так же, как и для функции действительной переменной с использованием теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой.
Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда
,
Делим обе части на
. Так как - бесконечно малая при , то по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой, .
Поэтому - формула для вычисления дифференциала.
Достаточность. Пусть в точке существует конечная производная функции . Тогда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой . Умножая на , получим . Следовательно, функция дифференцируема в точке .
Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.
Теорема (Коши – Римана). Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части , были бы дифференцируемы в этой точке как функции двух переменных и в этой точке выполнялись бы условия Коши – Римана
, причем .
Замечание. С учетом условий Коши – Римана производная функции в точке может быть записана так: ==
==
Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке z0. Тогда
.
Пусть , .
.
Отделяя действительную и мнимую части, имеем:
,
.
Следовательно, функции дифференцируемы в точке
Из первого соотношения следует, что
.
Из второго соотношения следует, что
, .
Поэтому . .
Достаточность. Пусть функции дифференцируемы в точке и выполняются условия Коши – Римана.
где - бесконечно малые при .
.
Функции - бесконечно малые при , поэтому они являются бесконечно малыми при . Справедливы неравенства . Поэтому отношения приращений в двух последних скобках – ограниченные величины. Следовательно, выражения в двух последних скобках – бесконечно малые величины при как произведения бесконечно малых на ограниченные. Обозначим два последних слагаемых - бесконечно малая при .
.
Умножая это выражение на , получим
.
Следовательно, функция дифференцируема в точке .
Условия Коши – Римана позволяют легко проверить дифференцируемость функции в точке.
Функция называется аналитической в области, если она дифференцируема в области.
Функция называется аналитической в точке, если она дифференцируема в этой точке и некоторой ее окрестности.
Основные элементарные функции аналитические на всей комплексной плоскости.
Проверим, например, условия Коши – Римана для функции
Ещё посмотрите лекцию "КЛЮЧЕВСКИЙ Василий Осипович" по этой теме.
Условия Коши – Римана выполнены при любых значениях переменных, функция аналитическая во всей комплексной плоскости.
Пример. Функция z = x не является дифференцируемой ни в одной точке, так как .
Пример Функция .
. Функция дифференцируема только в точке z=0 и более ни в одной точке. Она не аналитическая ни в одной точке, поскольку для аналитичности кроме дифференцируемости в точке нужна еще дифференцируемость в некоторой области.
Пример. не является дифференцируемой ни в одной точке, так как условия Коши – Римана не выполнены, .