Комплексные числа, 3 формы записи, основные операции

Часть 2. Теория функций комплексной переменной.

Лекция 1.

Комплексные числа, 3 формы записи, основные операции.

Алгебраическая форма записи комплексного числа   z=x+iy,  x = Re z – действительная часть (real), y = Im z – мнимая часть комплексной числа (imagine), i – мнимая единица (i² = -1). Степени мнимой единицы: i⁰ =1, i¹ =  i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, i⁵ = i, i⁶  = -1, i⁷ =-i, i⁸ =1,….значения повторяются через 4. Например, i²³ = i²⁰ i³ = -i, i⁶¹ = i⁶⁰ i = i, и т.д. Если ввести в комплексной плоскости декартову систему координат, то x откладывают на действительной оси в комплексной плоскости (оси абсцисс), y – на мнимой оси (оси ординат).

Если ввести в комплексной плоскости полярную систему координат (полярные координаты ),

то комплексное число можно записать в тригонометрической форме .

Рекомендуемые материалы

Комплексное число можно ассоциировать с его радиусом – вектором. Полярная координата - это модуль радиуса – вектора или просто модуль комплексного числа , а полярный угол  - аргумент комплексного числа, .

Аргумент определяется так сложно, потому что  имеет область значений , а необходимо обеспечить возможность изменения полярного угла в диапазоне .

Пример. Записать  в тригонометрической форме.  .

Записать в тригонометрической форме.  .

Справедлива формула Эйлера . Это – одна из самых красивых и фундаментальных формул в математике. Достаточно сказать, что из нее следует равенство , связывающее почти все основные математические константы: 0, 1, i, .

Используя формулу Эйлера, можно записать комплексное число в показательной форме  . Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы – три формы записи комплексных чисел.

Рассмотрим операции над комплексными числами. Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее всего производить в алгебраической форме записи.

. Например, . Заметим, что числа  называются комплексно сопряженными числами.

Сложение или вычитание комплексных чисел соответствует сложению или вычитанию их радиусов векторов и может быть проведено по «правилу параллелограмма» или «правилу треугольника».

Умножение и деление комплексных чисел тоже можно выполнять в алгебраической форме.

Примеры. ,

 . Здесь числитель и знаменатель дроби умножают на число, сопряженное знаменателю, чтобы получить в знаменателе действительное число.

Удобнее выполнять умножение или деление в тригонометрической или показательной формах:

.

.

Итак, действует правило: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Особенно удобно использовать  тригонометрическую и показательную формы при возведении комплексного числа в степень.

. С другой стороны, .

Из сопоставления этих выражений получается знаменитая формула Муавра

. Ее удобно применять для выражения синусов и косинусов кратных углов через степени синусов и косинусов самого угла. Например,

,

Отделяя действительные и мнимые части, получим

.

Например, .

Здесь можно было .

Рассмотрим «пятое действие арифметики» – извлечение корня.. Пусть . Тогда . Получим формулу . .

 Из формулы ясно, что все корней лежат в комплексной плоскости на круге радиуса  с центром в начале координат на равном угловом расстоянии друг от друга , причем первый корень расположен под углом  к действительной оси.

Найдем, например,  . Определяем

.

Все корни лежат на круге радиусом 2 с центром в начале координат, на угловом расстоянии  друг от друга, причем первый корень лежит под углом  к действительной оси.

Множества на комплексной плоскости.

Для того, чтобы правильно строить типичные кривые на комплексной плоскости, прежде всего надо помнить, что . Следовательно,  - это окружность радиуса  с центром в точке  на  комплексной плоскости (расстояние от точки  до точки  равно ).   - это круговое кольцо с центром в точке , включая внутреннюю окружность радиусом , исключая внешнюю окружность радиусом .

 - это прямая линия на  комплексной плоскости ,  - угол наклона прямой к действительной оси. Некоторые часто встречающиеся кривые и области изображены ниже

При построении двух последних областей надо вспомнить определение эллипса (геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек плоскости постоянна и равна ()) и определение параболы (геометрическое место точек плоскости, расстояние которых от фиксированной точки плоскости  равно расстоянию до фиксированной прямой ).

Открытые и замкнутые множества, односвязное множество.

 называется множество .

Точка  называется внутренней точкой множества, если существует ее окрестность, целиком принадлежащая этому множеству. Например, все точки круга  - внутренние.

Точка  называется граничной точкой множества, если в любой ее окрестности найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству. Границей множества называется совокупность его граничных точек. Например, окружность  - граница круга .

Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Например, круг  - открытое множество.

Замыканием множества называется объединение множества и его границы. Замкнутым называется множество, совпадающее со своим замыканием.

Множество называется ограниченным, если его можно накрыть кругом конечного радиуса.

Открытой областью (или просто областью) называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить ломаной, целиком принадлежащей множеству.

Замкнутой областью называется объединение открытой области и ее границы.

Рассмотрим последовательность комплексных чисел . Последовательность называется  неограниченно возрастающей, если . То есть все элементы неограниченно возрастающей последовательности нельзя накрыть кругом конечного радиуса.

По определению полагают, что все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к (единственной) бесконечно удаленной точке ( или БУТ), которая не принадлежит комплексной плоскости. Пополняя комплексную плоскость, мы получаем расширенную комплексную плоскость.

Пояснить единственность бесконечно удаленной точки можно, рассматривая сферу Римана

Кривой на комплексной плоскости называется однопараметрическое семейство точек плоскости .  Точкой самопересечения или кратной точкой кривой называется точка, отвечающая двум или более значениям параметра.

Кривая, не содержащая кратных точек, называется простой или жордановой кривой. Кривая называется замкнутой, если ее начало совпадает с ее концом.

Теорема Жордана. Любая замкнутая жорданова кривая делит расширенную комплексную плоскость на две области, общей границей которых она является. Одна из этих областей ограничена и называется внутренностью кривой. Вторая не ограничена и называется внешностью кривой.

Множество  называется односвязным, если для любой замкнутой кривой  либо внутренность кривой принадлежит , либо внешность кривой принадлежит . Например, множества , да и все изображенные на рисунках области, за исключением кругового кольца -  односвязные, они «не содержат дыр».