Интегральная формула Коши
Лекция 5.
Интегральная формула Коши.
Интегральная формула Коши
Пусть функция аналитическая в односвязной области G . Пусть кусочно-гладкий контур L принадлежит G вместе со своей внутренностью D . Пусть , тогда |
Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области
=, где - окружность с центром в точке , радиусом , . Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как (важный пример в предыдущей лекции), то . Оценим || =
= ||
Рекомендуемые материалы
(на окружности , , так как . По непрерывности функции ).
. В силу произвольности || = 0. Следовательно, .
Теорема. Аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой в области аналитичности.
Доказательство. Можно показать, что интеграл в интегральной формуле Коши можно дифференцировать по z0, как по параметру. Проводя это дифференцирование нужное число раз, получим формулу для n – ой производной аналитической функции.
, , ….
. Это - формула для n – ой производной аналитической функции.
Бесплатная лекция: "Лекция 14" также доступна.
С помощью полученных формул (деля обе части на коэффициент перед интегралом) можно вычислять интегралы вида
, .
Примеры. 1. (по интегральной формуле Коши)
2. (по формуле для первой производной)
3. Вычислить. Аналитичность функции нарушается в точках z=0, z=1. Рассмотрим два контура: – окружности с центрами в точках z=0, z=1, радиусами r=1/4. . По интегральной теореме Коши для многосвязной области = += =
=.