Лекция 14
ЛЕКЦИЯ № 14 Планирование эксперимента
ТЕМА № 1. Планирование эксперимента при ускоренных испытаниях электрических машин
Для изделий, время безотказной работы, которых составляет десятки тысяч часов, испытания на надежность должны быть ускоренными. Здесь оказываются полезными методы планирования эксперимента.
Рассмотрим одну из подобных задач. Необходимо дать рекомендации по методике ускоренных испытаний электромеханического преобразователя постоянного тока в переменный, состоящего из двигателя постоянного тока, синхронного генератора и аппаратуры стабилизации и управления.
Агрегаты выпускаются малыми сериями. Информация о влиянии различных факторов форсировки, а также их совокупности на работоспособность тех или иных узлов ограничена. Разработка методики ускоренных испытаний с применением методов планирования эксперимента включает в себя следующие основные этапы.
Этап I. На основании существующей информации исследуемый агрегат разбивается на следующие узлы, имеющие большую вероятность выхода из строя: подшипниковый узел, коллекторный узел двигателя постоянного тока, контактные кольца синхронного генератора, изоляция обмоток и аппаратура управления.
Этап II. Анализ отдельных узлов рассматриваемых специальных электрических машин показывает, что наиболее эффективными факторами форсировки при ускоренных испытаниях являются температура, вибрация, частота вращения.
Этап III. Выбор контрольных параметров и критериев отказа отдельных узлов.
Этап IV. Планирование предварительных испытаний имеет своей целью найти такие совокупности факторов форсировки, которые позволяют в наибольшей степени ускорить проведение испытаний. Для проведения подобных предварительных испытаний предлагается использовать полный факторный эксперимент 23, матрица планирования которого представлена в табл. 14.1, столбцы 1-8, плюс два контрольных опыта (столбцы 9, 10).
Рекомендуемые материалы
Каждый из опытов проводится до отказа всех исследуемых узлов. Значения критериев работоспособности агрегатов (таблица 14.2) измеряются непрерывно или дискретно.
Таблица 14.1.
| № агрегата | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| Воздействующие факторы | Х1 | - | + | - | + | - | + | - | + | 0 | 0 |
| Х2 | - | - | + | + | - | - | + | + | 0 | 0 | |
| Х3 | - | - | - | - | + | + | + | + | 0 | 0 |
Полученные экспериментальные данные дают возможность в общем случае определить коэффициенты ускорения по каждому из узлов – подшипниковому, коллекторному, контактным кольцам и изоляции. Совместное их рассмотрение позволяет получить единый коэффициент ускорения для всего агрегата.
Таблица 14.2
| Узел агрегата | Коллекторный узел | Контактные кольца | Изоляция | Подшипниковый узел |
| Контрольный параметр (критерий работоспособности) | Уровень искрения под сбегающим краем щетки | Суммарная площадь пятен окислов рабочей поверхности колец | Сопротивление изоляции, угол диэлектрических потерь | Время выбега |
| Критерий бега | Превышение бега искрения по ТУ | Превышение уровня искрения по ТУ | Снижение сопротивления изоляции на корпус ниже допустимого по ТУ | Превышение рабочей температуры верхнего кольца подшипника на 15–20°С в течение 3–6 ч |
Этап V. Определение надежности каждого из исследуемых узлов в отдельности с последующим вычислением надежности всего агрегата в целом.
Рассмотренный метод исследования на надежность электрических машин при ограниченном объеме априорной информации и в условиях малой выборки позволяет получить полиномиальные зависимости между контрольными параметрами и ускоряющими факторами воздействия, определить коэффициенты ускорения испытания по каждому узлу в отдельности и совместный коэффициент ускорения для всего агрегата. |
ТЕМА № 2 Регрессионный анализ установившихся режимов
электрической системы
Для этой цели целесообразно использование регрессионного моделирования сложной системы. При этом с использованием имеющихся программ расчета установившегося режима на ЭВМ проводятся целенаправленные исследования, в результате которых получаются регрессионные модели для анализа или управления. Такие модели могут быть получены при регрессионном анализе или методом планирования многофакторного эксперимента (МПЭ).
При этом уравнение связи между выходными параметрами У и входными переменными х1, х2,…,хn записывается в виде некоторого полинома – отрезка ряда Тейлора:
, (14.1)
где 
– коэффициенты регрессии.
При рассмотрении стационарных режимов ЭМС взаимосвязи между параметрами обычно определяются уравнениями не выше второго порядка, а при небольших пределах изменений эти связи могут быть даже линейными. Поэтому уравнение (14.1) может описывать большой круг задач установившихся режимов ЭМС. Задача отыскания статической связи (1) сводится к нахождению коэффициентов уравнения регрессии по результатам экспериментов в ряде точек исследуемого пространства. При этом для построения линейных моделей используется полный или дробный факторный эксперимент, а для построения квадратичной модели – ортогональное центральное композиционное планирование или рототабельное планирование .
Использование МПЭ для получения уравнения регрессии (14.1) отличается от обычной процедуры метода наименьших квадратов организованностью эксперимента (расчета), который проводится в определенных точках и в требуемом количестве, возможностью использования критериев оптимальности при построении экспериментальных планов, значительным снижением вычислительных трудностей расчета коэффициентов уравнения регрессии для случая ортогонального планирования. При этом каждая независимая входная величина варьируется на двух уровнях согласно матрице планирования, т.е. предусматривается осуществление активного эксперимента в системе.
Целесообразность использования именно МПЭ для получения регрессионных моделей ЭМС объясняется тем, что большинство целевых зависимостей, существующих в этих системах, допускают хорошую аппроксимацию линейными моделями или моделями второго порядка, для которых отыскание значений коэффициентов аппроксимирующего полинома эффективно производить методом наименьших квадратов, на котором базируется МПЭ.
Достоинства регрессионных моделей полиномиального типа – простота, наглядность, удобство обращения. Коэффициенты полиномов непосредственно показывают степень количественного влияния каждого из параметров на исследуемый процесс. При ортогональном планировании добавляется еще независимость вычисления коэффициентов полинома.
Обычно в (1) независимые переменные 
представляются в нормированном виде:
где 
– базисное значение переменной, принимаемое равным ее значению в середине заданного интервала; 
– шаг варьирования переменной.
Нормированные величины принимают предельные значения ±1. Если переменные 
– независимые случайные величины, заданные в доверительных интервалах 
с вероятностью, близкой к единице, то нормированные переменные 
будут независимыми, центрированными с 
случайными величинами, заданными в пределах ±1 с той же вероятностью.
Зависимости (14.1) являются статистическими, и поэтому требуется подвергнуть их статистическому анализу, который включает оценку значимости коэффициентов найденных зависимостей, и проверку адекватности уравнения в целом.
Для проведения статистической оценки значимости коэффициентов 
обычно используется критерий Стьюдента:
(14.2)
где t —значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы 
; N – число экспериментов, использованных для получения уравнения (14.1), а адекватность уравнения после отсеивания несущественных факторов проверяется по критерию Фишера
.
Однако как при определении значимости коэффициентов, так и при проверке на адекватность, необходимо определять дисперсию воспроизводимости параллельных опытов 
. При проведении экспериментов на ЭВМ проведение параллельных опытов дает повторяющиеся результаты. Поэтому для проверки значимости коэффициентов и адекватности модели дисперсия воспроизводимости определяется косвенным (искусственным) путем. Например, при распределении переменных по нормальному закону 
можно определить из выражения:
,
а также в зависимости от возможной (принятой) максимальной ошибки 
в определении Y по выражению:
.
Оценку адекватности уравнения можно производить по среднеквадратической погрешности. При этом мерой неадекватности является
, (14.3)
где q – число коэффициентов уравнения (14.1); yk – значение целевого параметра у, рассчитанного по исходной теоретической модели в точке 
– то же значение, рассчитанное по уравнению (14.1).
Эта величина, а также в области пространства независимых переменных должны быть сопоставлены с диапазоном изменения целевого параметра или допустимой ошибки его определения. Можно считать, что уравнение является адекватным, если
(14.4)
и
(14.5)
где 
– базисное или максимальное из всех рассчитанных по теоретической модели значений у; d – заданная погрешность аппроксимации теоретической модели; 
– максимальная ошибка предсказания у в области X; X – заданная (рассматриваемая) область пространства независимых переменных.
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 11 лекция.
Среди контрольных точек, в которых производится сопоставление теоретических у и предсказанных 
значений целевой функции, и ищется максимальное между ними расхождение 
. При этом, кроме точек, соответствующих плану использоваться ещё ряд характерных точек.
Наконец, для грубой оценки уравнения ее адекватность можно проверить и по разности 
, где 
– значение исследуемой величины при проведении эксперимента и базисных факторов. Если эта разность не превышает заданной погрешности, то уравнение можно считать адекватным в заданной области варьируемых факторов. В общем случае погрешность регрессионной модели должна задаваться исследователем в зависимости от решаемой задачи. Например, для анализа уровней напряжения в электрической сети, где ее значение изменяется не более, чем на 10%, погрешность модели не должна быть более 1 – 2%. Для анализа потерь активной мощности погрешность может достигать 5%, а для реактивной мощности даже 10%.
С помощью МПЭ могут быть построены регрессионные модели сложных ЭМС, представляющие возможность для весьма эффективного анализа установившихся режимов и могущие успешно использоваться при оперативном управлении. При этом объект исследования – ЭМС может представляться детерминировано и в вероятностной форме.
При построении детерминированной регрессионной модели ЭМС ставится задача аппроксимации сложной модели ЭМС детерминированным полиномом, в некотором смысле наилучшим образом отвечающем исходной модели. В соответствии с особенностями режимов ЭМС можно предложить следующую методику моделирования для построения детерминированных регрессионных моделей ЭМС.
Все параметры исследуемой системы необходимо разделить на две группы: выходные (целевые или оптимизируемые) и входные варьируемые (независимые переменные). Для входных варьируемых параметров выбирается область варьирования. При этом стремятся, чтобы она охватила те режимы, которые представляют интерес для исследователя (например, область оптимальных режимов). Далее выбирают вид аппроксимирующего полинома (модели), обычно в линейном или квадратичном виде, и соответственно оптимальный план постановки эксперимента. Эксперимент проводится согласно правилам планирования на ЭВМ. Обработка результатов такого эксперимента позволяет количественно оценить коэффициенты искомого аппроксимирующего полинома (модели).
При применении МПЭ должны реализоваться все требования регрессионного анализа. Важнейшее значение имеет требование совместимости рассчитываемых режимов и некоррелированности варьируемых факторов.
