Числовые ряды
Лекция 6.
Ряды в ТФКП
Большая часть теорем из теории рядов ТФКП доказывается аналогично соответствующим теоремам из теории рядов действительных переменных.
Числовые ряды.
Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм или .
Теорема. Для того чтобы ряд , где , сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды из действительных и мнимых частей , .
Доказательство следует из теоремы лекции 2 относительно эквивалентности сходимости последовательности сходимости последовательностей действительных и мнимых частей .
Следствие. Если ряд или ряд расходятся, то ряд расходится.
Рекомендуемые материалы
Доказательство (от противного) – проведите сами.
Замечание. Эта теорема как раз и «перекидывает мостик» между изученными ранее рядами действительной переменной и рядами комплексной переменной.
Критерий Коши. Для того чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы .
Доказательство.
Ещё посмотрите лекцию "ЛОМОНОСОВ Михаил Васильевич" по этой теме.
Необходимость. Если ряд сходится, то ряды , сходятся. Следовательно, для них выполняется критерий Коши. Тогда. .
Выбирая,получим.
Достаточность. Пусть. Тогда, так как , то для рядов , выполнен критерий Коши. Следовательно, они сходятся. Тогда, по доказанной теореме ряд сходится.
Теорема. Если ряд сходится, то ряд сходится (если ряд сходится абсолютно, то он сходится).
Доказательство. Ряд – знакоположительный числовой ряд, так как - неотрицательное действительное число. Так как сходится и , то по первому признаку сравнения знакоположительных числовых рядов ряд сходится. Аналогично, так как , то по первому признаку сравнения ряд сходится. Поскольку ряды , сходятся абсолютно, то они сходятся. Тогда и ряд сходится.
Пример. Ряд сходится, так как по признаку Лейбница сходятся ряды из действительных и мнимых частей.