Предел числовой последовательности. Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности
Предел числовой последовательности. Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности. Доказать теорему о единственности предела.
Число а называется пределом числовой последовательности при
если для любого Е>0 существует натуральное число N(E), такое, что для любых n>N(E) выполняется условие
, записывают
.
Числовая последовательность монотонно не убывает (не возрастает) при
, если для
выполнено
.
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Лекция 8.
Признак: если числовая последовательность при
, монотонно не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом A (B), тогда она сходится и её предел не больше, чем A (не меньше, чем B)
Если последовательность , при
имеет конечный предел, то он единственный .
Доказательство: Пусть имеет 2 предела a и b при
. Пусть для определённости a>b
.
;
.
N=max(N1;N2) эти неравенства выполняются одновременно, чего быть не может, т.к. по определению E окрестность точки а содержит все члены последовательности, и E окрестность точки b содержит все члены последовательности
все члены не могут быть одновременно в 2 окрестностях, т.к. они не пересекаются.