Метод коллокаций
Метод коллокаций
В методе коллокаций неизвестные параметры C 41 0, C 42 0,...,C 4n 0 определяются из условия, чтобы невязка r(x,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0) обращалась в нуль в n внутренних точках a<x 41 0<x 42 0<x 43 0<...<x 4n 0<b промежутка [a,b]. Эти точки, в которых дифференциальное уравнение задачи точно удовлетворяется, называются точками коллокации 0. В результате получаем систему уравнений вида
r(x 4i 0,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0)= 0, i=1,2,...,n. (2.130)
решая которую находим коэффициенты C 4i 0, i=1,2,...,n. Заметим, что точки коллокации могут быть выбраны, вообще говоря, произвольно, но их выбор существенно влияет на точность решения задачи.
В качестве примера рассмотрим задачу отыскания прогибов шарнирно опертой балки постоянного поперечного сечения, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (см. рис.3)
y¦
¦ q
¦
+-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-¬
Рекомендуемые материалы
¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+----
¦ ¦ x
¦ y(x) ¦
¦ l ¦
+-------------------------+
Рис. 3
Задача сводится к решению дифференциального уравнения
EIy 5iv 0 + q = 0 (2.131)
при граничных условиях:
y(0) = y 5'' 0(0) 5 0= 0,
y(l) = y 5'' 0(l) 5 0= 0. (2.132)
Ограничиваясь двучленным приближением, будем искать решение уравнения в виде
7p 0x 3 7p 0x
y = C 41 0U 41 0 + C 42 0U 42 0 = C 41 77 0sin -- + C 42 77 0sin --- . (2.133)
l l
ш0
Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (2.132).
Подставляя (2.133) в уравнение (2.131), получим невязку
EI 7p 54 0 7( 0 7p 0x 3 7p 0x 7 )
r(x,C 41 0,C 42 0)= ---- 7 2 0 C 41 0sin -- + 81C 42 0sin --- 72 0 + 7 0q. (2.134)
l 54 0 79 0 l l 7 0
Решение методом Бубнова.
Из условия ортогональности невязки (2.134) к выбранным координатным функциям согласно (2.127) следует
7! 0l 7{ 0 EI 7p 54 0 7( 0 7p 0x 3 7p 0x 7 ) } 0 7p 0x
72 0 72 0 ---- 7 2 0 C 41 0sin -- + 81C 42 0sin --- 72 0 + 7 0q 7 27 0sin -- dx = 0,
71 00 7[ 0 l 54 0 79 0 l l 7 0 ] 0 l
7! 0l 7{ 0 EI 7p 54 0 7( 0 7p 0x 3 7p 0x 7 ) } 0 3 7p 0x
72 0 72 0 ---- 7 2 0 C 41 0sin -- + 81C 42 0sin --- 72 0 + 7 0q 7 27 0sin --- dx = 0.
71 00 7[ 0 l 54 0 79 0 l l 7 0 ] 0 l
После интегрирования получим систему
7( 0 l 8ql 55
72 0 - С 41 0 + ---- = 0,
72 0 2 7p 55 0EI
7*
72
72 0 81 2ql 55
72 0 -- l 77 0C 42 0 + ----- = 0,
79 0 2 3 7p 55 0EI
решая которую, находим
16ql 54 0 4ql 54
C 41 0 = - ----- 4 0, C 42 0 = - -------- .
7p 55 0EI 243 7p 55 0E
Подставляя C 41 0 и C 42 0 в искомое решение, получим при x=l/2
ql 54
y 4max 0 = y(l/2) = - 0.01301 ---.
EI
Точное значение максимального прогиба ( с точностью до четырех значащих цифр) равно
ql 54
y 4max 0 = y(l/2) = - 0.01302 ---. (2.135)
EI
Как видим, ошибка, полученная при решении методом Бубнова в двучленном приближении, составляет сотые доли процента.
Решение методом наименьших квадратов.
Решение по-прежнему отыскиваем в форме (2.133). Интегральная квадратичная ошибка согласно (2.128) будет равна
7! 0b
S(C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0) = 7 2 0 r 52 0(x,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0)dx =
71 0a
7! 0l 5 7{ 0 EI 7p 54 0 7( 0 7p 0x 3 7p 0x 7 ) } 52
= 72 0 5 72 0 ---- 7 2 0 C 41 0sin -- + 81C 42 0sin --- 72 0 + 7 0q 7 2 0 dx =
71 00 5 7[ 0 l 54 0 79 0 l l 7 0 ]
7( 0 EI 7p 54 7 ) 52 7 { 0 1 4 2 0 81 52 4 2 0 ql 54 7 ( 04 7 0 108 7)}
= 72 0---- 7 2 72 0 - C 41 0 + --- C 42 0 + ---- 7 2 01 + 7 0- 7 0C 41 7 0+ --- C 42 722 0.
79 0 l 54 7 0 [ 0 2 2 7p 54 0EI 7 9 0 7p 0 7p 0 70]
Вычисляя производные 1д 0S/ 1д 0C 41 0, 4 1д 0S/ 1д 0C 42 0 и приравнивая их нулю, получим систему
7( 0 4ql 54
72 0 7p7 0С 41 0 + ---- = 0,
72 0 7p 54 0EI
7*
72 0 ql 54
72 0 81 52 7p7 0C 42 0 + 108 5 0---- = 0,
79 0 7p 54 0EI
решение которой дает те же значения постоянных C 41 0 и C 42 0, что и в методе Бубнова:
16ql 54 0 4ql 54
C 41 0 = - ----- 4 0, C 42 0 = - -------- .
7p 55 0EI 243 7p 55 0EI
Поэтому результаты решения краевой задачи (2.131), (2.132) методами Бубнова и наименьших квадратов полностью совпадают.
Решение методом коллокаций.
За точки коллокации выбираем точки x 41 0 = 1/3 и x 42 0 = 1/2. Приравнивая нулю невязку (2.134) в точках коллокации, получим систему
4_
7( 0 7? 03 ql 54
72 0 С 41 0 -- + ---- = 0,
72 0 2 7p 54 0EI
7*
72 0 ql 54
72 0 C 41 0 - 81 77 0C 42 0 + 5 0---- = 0.
79 0 7p 54 0
В результате находим
4_
2ql 54 0 7? 03 -2 ql 54
C 41 0 = - ------- , C 42 0 = ------- --- .
Лекция "30 - Рецепторные потенциалы" также может быть Вам полезна.
7? 03 7p 54 0EI 81 7? 03 7p 54 0 EI
По формуле (2.133) при x=l/2 с учетом найденных констант получим прогиб в среднем сечении балки
ql 54
y(l/2) = - 0.01183 ---.
EI
Сравнение с точным решением (2.135) показывает, что ошибка, полученная при использовании метода коллокаций, составляет примерно 9%.
