Построение общего решения линейного неоднородного уравнения методом степенных рядов

Построение общего решения линейного неоднородного

уравнения методом степенных рядов

          Пусть требуется найти общее решение линейного  неоднородного дифференциального уравнения

                                                                                             (2.74)

     Общее решение уравнения имеет вид

                                                                                   (2.75)

где  - частное решение неоднородного уравнения,  и  - постоянные интегрирования,   и  - частные линейно независимые решения однородного уравнения

                        .                                                                  (2.76)

     Чтобы построить  общее решение уравнения (2.74),  будем решать задачу Коши с этим уравнением и начальными условиями:

Рекомендуемые материалы

                                               .                                    (2.77)

     Решение задачи (2.74),(2.77) представим рядом

                                                 (2.78)

В соответствии с начальными условиями (2.77)

                                                .                                          (2.79)

Для определения последующих коэффициентов ряда подставляем его в  уравнение (2.74)

В левой  части полученного равенства имеем ряд по степеням x.  В правой части - частный случай ряда, у которого все  коэффициенты равны нулю, кроме свободного члена,  равного 2.  Равенство будет тождественно выполняться,  если коэффициенты при одинаковых степенях x  в  левой и правой частях равенства будут соответственно равны между собой. Приравниваем коэффициенты

                                    ………………………….

Отсюда получаем рекуррентные соотношения:

                                       …………….

                                                                                                 (2.80)

По этим формулам с учётом (2.79) получаем:

Лекция "2.3 Монгольское нашествие и установление ордынского ига на Руси" также может быть Вам полезна.

и так далее. Подставляя найденные  коэффициенты  в  искомое  решение (2.78) и группируя слагаемые, получаем общее решение в форме (2.75)

                                                                                                                      (2.81)

Ряды в (2.81), умноженные на константы  и  , сходятся на всей числовой оси и определяют функции  и ,  линейно независимые в окрестности точки x=0. Ряд

также сходится  на  всей  числовой оси и удовлетворяет уравнению (2.74).  Поэтому функция  является частным решением  исходного линейного неоднородного уравнения. Выражение (2.81) представляет общее решение уравнения (2.74). Следует отметить,что частное решение  данного уравнения можно было найти проще путём подбора, принимая  Подставляя функцию  в уравнение (2.74), получим .  Следовательно, . Тогда функции  и  следует находить как частные решения уравнения (2.76), используя рекуррентные соотношения (2.80) и формулы (2.79).