Применение формулы Тейлора
Применение формулы Тейлора
Пусть требуется учесть пять членов разложения решения зада-
чи Коши в степенной ряд
(2.82)
(2.83)
Ряд, представляющий решение задачи, можно построить по формуле Б.Тейлора (B.Taylor,1685-1731)
y'(0) y''(0) y 5(n) 0(0)
y= y(0) + ----- x + ------ x 52 0 +...+ 5 0------- x 5n 0 +... (2.84)
Рекомендуемые материалы
1! 2! n!
В рассматриваемой задаче первые два коэффициента ряда (2.84) определяются начальными условиями (2.83). Третий коэффициент y''(0)=0 получается непосредственно из дифференциального уравнения (2.82) при x=0. Для нахождения последующих коэффициентов запишем уравнение в виде
y''= -xy + x. (2.85)
Дифференцируем последовательно равенство (2.85).
y'''=- xy'- y+1, y 5(4) 0=-xy''-2y', y 5(5) 0=-xy'''-3y'',
y 5(6) 0=-xy 5(4) 0-4y''', y 5(7) 0=-xy 5(5) 0-5y 5(4) 0.
Полагая в этих равенствах x=0, получаем:
"51. Методы анализа травматизма" - тут тоже много полезного для Вас.
y'''(0)= 1, y 5(4) 0(0)=-2, y 5(5) 0(0)=0, y 5(6) 0(0)=-4, y 5(7) 0(0)= 10
После подстановки найденных коэффициентов в правую часть равенства (2.84) получаем приближённое решение
x 53 0 x 54 0 x 56 0 x 57
y=x + -- -2 -- -4 -- +10 -- +... (2.86)
3! 4! 5 06! 5 07!
Полученное выражение является решением при условии сходимости ряда и даёт достаточно точное значение функции y в малой окрестности точки x=0.