Особенности суммирования рядов на ЭВМ, шаговый подход в методах степенных рядов

Особенности суммирования рядов на ЭВМ,

          шаговый подход в методах степенных рядов

     Если решение  дифференциального  уравнения  получено в виде степенного ряда,  то вычисление его суммы при заданном  значении аргумента производится, как правило, с помощью ЭВМ. Из-за ограниченности разрядной сетки машины суммирование знакочередующегося ряда может привести к существенным погрешностям [9], [10] при неправильном использовании степенных рядов.  Рассмотрим  пример. Пусть методом степенных рядов решается задача Коши:

                                                      y' + 2xy = 0,

                                                      y(0) = 1.                                                   (2.87)

Точное решение задачи . Решение этой же задачи методом степенных рядов имеет вид

                                                                  (2.88)

     Вычисление суммы  ряда (2.88) на ЭВМ с семиразрядной сеткой даёт результат y = 0.0004717178  при x=3,1.  Точное решение с семью верными значащими цифрами y = 0.00006705482.  Как видим,  решение, полученное на ЭВМ с помощью ряда,  совершенно ошибочно.  В  этом примере имеет место эффект суммирования близких по модулю и противоположных по знаку чисел.  Максимальный по модулю  член  ряда имеет значение . Сравнение с точным решением показывает,  что при суммировании взаимно  уничтожаются  все  семь  найденных  верных  цифр в выражениях наибольших по модулю членов ряда.  Поэтому окончательный результат получается  ошибочным.  В данном примере для x=3,1 величины разрядной сетки машины не хватает для получения достоверного результата.  Этот недостаток машины  легко  преодолеть,  заставляя её суммировать ряд с меньшим значением аргумента.  Для  этого  применим шаговый подход [10] в решении задачи (2.87).  Разобьём интервал [0;3,1]  на  несколько участков. Длину каждого участка можно выбирать произвольно. Разделим интервал по схеме рис.2.  Длина первого участка равна единице,  второго - 0,8,  третьего - 0,7  и  последнего четвёртого - 0,6. Длины участков можно было  бы  выбрать  одинаковыми.  На  каждом участке решение исходного дифференциального уравнения будем разлагать в ряд по степеням , 0 где  - абсцисса начала участка номера "к".

        Рис.2. Схема разбиения интервала интегрирования

Рекомендуемые материалы

                                                         (2.89)

Коэффициент определяется из начального условия на участке.

                                                                                   (2.90)

где - длина участка номера k-1.

     Для вывода рекуррентного соотношения, определяющего коэффициенты ряда (2.89), перепишем уравнение задачи (2.87) в виде

                                                                         (2.91)

Коэффициент 2x  исходного уравнения представлен в (2.91) полиномом по степеням .  Подставляя теперь  (2.89)  в  уравнение (2.91), приводим подобные члены и приравниваем нулю коэффициенты при степенях   В результате получаем рекуррентное соотношение

                                     .                                     (2.92)

Умножая обе части этого равенства  на    получаем  более удобную для расчётов формулу

                                                    (2.93)

где - член ряда (2.89). Очевидно,    

Результаты решения задачи (2.87) шаговым методом

степенных рядов

                                                  Таблица 3

     Результаты расчётов на той же семиразрядной машине,  выполненные по формулам (2.89), (2.90),(2.93), представлены в таблице 3. В первом столбце указаны номера участков,  в третьем столбце записаны найденные значения функций  в концевых точках соответствующих участков.  В четвёртом столбце представлены значения искомой функции с семью верными значащими цифрами. Смысл результатов,  представленных в таблице 3, заключается в следующем. Вместо вычисления суммы  ряда  (2.89),  представляющего  решение уравнения задачи  (2.87),  при большом значении аргумента x = 3,1, четыре раза суммировался ряд (2.89) при меньших значениях  аргумента:  x = 1; x = 0,8; x = 0,7; x = 0,6. При этом получены значения искомой функции в узловых точках на границах участков.  Расхождение  с точным решением наблюдается только в последнем седьмом разряде числа. Эти ошибки малы и обусловлены ошибками округления при выполнении арифметических операций. Таким образом, шаговый подход в методе степенных рядов позволяет получить результаты с высокой точностью при решении задачи Коши на машине с ограниченной разрядной сеткой.