Решение задачи Коши методом степенных рядов
Решение задачи Коши методом степенных рядов
Пусть требуется решить задачу Коши с уравнением
(2.69)
и начальными условиями
(2.70)
Для построения ряда, представляющего решение задачи, можно применить формулу Тейлора, метод неопределённых коэффициентов, метод последовательных приближений. Метод неопределённых коэффициентов для решения дифференциальных уравнений встречается уже в работах И.Ньютона (I.Newton,1642-1727) , Готфрида-Вильгельма Лейбница (G.-W.Leibniz, 1646-1716), Якова Бернулли (J.Bernoul-li,1654-1705),Иоганна Бернулли (I.Bernoulli, 1667-1748) на заре развития дифференциального и интегрального исчисления. В соответствии с этим методом представим решение задачи (2.69), (2.70) степенным рядом
2.71)
Подставляем искомое решение (2.71) в уравнение (2.69), учитывая соотношения
Рекомендуемые материалы
После подстановки получаем тождество:
В левой части этого тождества имеем степенной ряд. Ряд будет тождественно равен нулю, если его коэффициенты будут равны нулю. Приравнивая коэффициенты нулю, получаем систему уравнений:
………………………….
Из этой системы следуют рекуррентные соотношения:
………..
Ещё посмотрите лекцию "Понятие о разработке нефтяных и газовых скважин" по этой теме.
(2.72)
позволяющие последующие коэффициенты ряда выразить через предыдущие. Подчиняя искомое решение (2.71) начальным условиям, получаем . Остальные коэффициенты ряда определяются по рекуррентным формулам (2.72):
и т. д.
После подстановки коэффициентов в (2.71) получаем окончательное выражение
(2.73)
Применяя признак Даламбера, легко установить, что ряд в выражении (2.73) сходится на всей числовой оси. Следовательно формула (2.73) представляет решение исходной задачи при