Оценивание среднего и суммарного показателей

2. Оценивание среднего и суммарного показателей

2.1. Обозначения

Пусть () - количественная переменная, определенная для всех элементов генеральной совокупности (U).

Будем рассматривать следующие параметры:

1) Генеральной совокупности

· Среднее       Сумма

· Дисперсия                                          Дисперсия
совокупности                                               признака

2) Выборки:

· Среднее:           Сумма:       

Рекомендуемые материалы

· Дисперсия выборки:      

2.2. Несмещенные линейные оценки

Лемма 1.

Доказательство.

Зафиксируем номер k элемента в выборке. Тогда

Следовательно

Замечание.

Значения не являются случайными величинами.

Теорема 1.

-оценка среднего и суммарного значений при простом случайном отборе является несмещенной.

 - несмещенная оценка

 - несмещенная оценка Y

Доказательство.

где

Замечание.

·  - линейная оценка относительно наблюдений , т.е. это взвешенная сумма значений .

· Веса наблюдений равны 1/f, они не зависят от извлеченной выборки.

· Каждая единица выборки представляет N/n единиц совокупности.

2.3. Точность оценок

Теорема 2.

Дисперсия и оценка дисперсии -оценки среднего и суммарного значений при простом случайном отборе выражаются формулами

Точность:

· повышается при увеличении объема выборки;

· выше, чем меньше дисперсия  переменной в совокупности;

· точно не может быть рассчитана, так как дисперсия совокупности  неизвестна (в выборочном исследовании);

· точность оценки  мало зависит  от объема совокупности, так как обычно

.

Доказательство.

Так как

Поэтому

2.4. Оценка точности

Дисперсия выборки  является  несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности .

Доказательство.

Следовательно в качестве оценок дисперсий имеем:

Доверительный интервал для среднего.

Нормальная аппроксимация:

Коэффициент  , квантиль нормального распределения, зависит от выбранного уровня достоверности. Для достаточно крупных объемов выборки, таких как , обычными значениями   являются

Пример 1.

Незанятые пассажирами места в авиалайнерах являются причиной потерь доходов авиакомпаний. Поэтому перед открытием нового направления авиаперевозок авиакомпания провела выборочный мониторинг загрузки 225 (n) рейсов других компаний, уже осуществляющих авиаперелеты по этому направлению.

В ходе мониторинга было установлено, что среднее и среднее квадратическое отклонение количества незанятых мест по выборке  составили:

 и   мест.

Нужно оценить среднее и суммарное количество незанятых пассажирами мест на запланированных компанией 4500 авиарейсах (N).

Решение.

Оценим среднее количество свободных мест () на рейс с помощью 90%-го доверительного интервала.

Если пренебречь поправкой на конечность совокупности, что считается допустимым при  , то соответствующий доверительный интервал составит

В лекции "10 Зло у человека внутри (Жан Кальвин)" также много полезной информации.

Оценим общее количество незанятых мест () с помощью  90%-го доверительного интервала.

Если пренебречь поправкой на конечность совокупности, то соответствующий доверительный интервал составит