Оценивание среднего и суммарного показателей
2. Оценивание среднего и суммарного показателей
2.1. Обозначения
Пусть (
) - количественная переменная, определенная для всех элементов генеральной совокупности (U).
Будем рассматривать следующие параметры:
1) Генеральной совокупности
· Среднее 
Сумма 
· Дисперсия Дисперсия
совокупности признака
2) Выборки:
· Среднее: 
Сумма: 
Рекомендуемые материалы
· Дисперсия выборки: 
2.2. Несмещенные линейные оценки
Лемма 1.
Доказательство.
Зафиксируем номер k элемента в выборке. Тогда
Следовательно
Замечание.
Значения 
не являются случайными величинами.
Теорема 1.
-оценка среднего и суммарного значений при простом случайном отборе является несмещенной.
- несмещенная оценка 
- несмещенная оценка Y
Доказательство.
где 
Замечание.
· 
- линейная оценка относительно наблюдений 
, т.е. это взвешенная сумма значений 
.
· Веса наблюдений равны 1/f, они не зависят от извлеченной выборки.
· Каждая единица выборки представляет N/n единиц совокупности.
2.3. Точность оценок
Теорема 2.
Дисперсия и оценка дисперсии 
-оценки среднего и суммарного значений при простом случайном отборе выражаются формулами
Точность:
· повышается при увеличении объема выборки;
· выше, чем меньше дисперсия 
переменной в совокупности;
· точно не может быть рассчитана, так как дисперсия совокупности 
неизвестна (в выборочном исследовании);
· точность оценки 
мало зависит от объема совокупности, так как обычно
.
Доказательство.
Так как
Поэтому
2.4. Оценка точности
Дисперсия выборки 
является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности 
.
Доказательство.
Следовательно в качестве оценок дисперсий имеем:
Доверительный интервал для среднего.
Нормальная аппроксимация:
Коэффициент 
, квантиль нормального распределения, зависит от выбранного уровня достоверности. Для достаточно крупных объемов выборки, таких как 
, обычными значениями являются
Пример 1.
Незанятые пассажирами места в авиалайнерах являются причиной потерь доходов авиакомпаний. Поэтому перед открытием нового направления авиаперевозок авиакомпания провела выборочный мониторинг загрузки 225 (n) рейсов других компаний, уже осуществляющих авиаперелеты по этому направлению.
В ходе мониторинга было установлено, что среднее и среднее квадратическое отклонение количества незанятых мест по выборке составили:
и 
мест.
Нужно оценить среднее и суммарное количество незанятых пассажирами мест на запланированных компанией 4500 авиарейсах (N).
Решение.
Оценим среднее количество свободных мест (
) на рейс с помощью 90%-го доверительного интервала.
Если пренебречь поправкой на конечность совокупности, что считается допустимым при 
, то соответствующий доверительный интервал составит
В лекции "10 Зло у человека внутри (Жан Кальвин)" также много полезной информации.
Оценим общее количество незанятых мест (
) с помощью 90%-го доверительного интервала.
Если пренебречь поправкой на конечность совокупности, то соответствующий доверительный интервал составит
