Эллипс
§8. Эллипс.
Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.
Для вывода уравнения эллипса выберем фокусы в точках F1(-c,0) и F2(c,0) (c > 0) , а сумму расстояний обозначим через 2а (2a >2 c). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда:
y
b М
−a F1 F2 a x Обозначив a2 − c2 = b2 , окончательно
−b получим:
рис.5
Числа a и b называются полуосями эллипса (точки пересечения эллипса с осями координат имеют своими координатами числа а и b (рис.5)).
Рекомендуемые материалы
Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине большой оси называется эксцентриситетом эллипса: Эксцентриситет характеризует форму
эллипса. При ε = 0 эллипс превращается в окружность, при ε = 1 − вырождается в отрезок.
Написанное выше уравнение называется каноническим уравнением эллипса. (Вообще, в геометрии словами каноническое уравнение, обычно, называют уравнение, содержащее в явном виде все основные геометрические характеристики объекта. См. например, каноническое уравнение прямой (§4))
Это уравнение является частным случаем уравнения 2 – го порядка (§6). Нетрудно видеть,
что любое уравнение представляет собой эллипс при условии
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Лекция 7.
AC > 0. (Более общие условия будут выведены позже)
Пример. − эллипс
с центром в т.(−1,2) и полуосями 2 и 4. F1(−1, ) и F2(−1, ).
Замечания. 1) Фокусы эллипса всегда расположены на больших полуосях .
2) Если правая часть = 0, то вырожденный эллипс (точка), если = −1 – мнимый эллипс.