Уравнения и передаточные функции

ЛЕКЦИЯ №5

УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ.

План лекции:

1. Приведенная непрерывная часть системы.

2. Уравнения разомкнутой импульсной системы.

3. Z-передаточные функции разомкнутых импульсных систем.

5.1.Уравнения разомкнутой импульсной системы.

Рассмотрим разомкнутую ИС, состоящую из АИЭ и непрерывной части. Ранее было показано, что ИЭ может быть представлен в виде последовательного соединения ИИЭ и ФЗ. Т.о. ИС всегда может быть приведена к соединению ИИЭ и непрерывных  звеньев, как это показано на рис.5.1.

При таком представлении используют понятие приведенной непрерывной части, состоящей из собственно непрерывной части, соединенной с формирователем импульсного элемента. Ее ПФ определяется выражением:

Рекомендуемые материалы

                                   

Рис. 5.1.

Приведенная непрерывная часть может также исчерпывающим образом характеризоваться своей весовой функцией  :

.

В соответствии с определением ИИЭ имеем:

.

Выходной сигнал y(t) в силу линейности можно рассматривать как сумму реакций приведенной непрерывной части на модулированную последовательность d-функций (рис.5.2).

Так как реакция системы на d-функцию представляет собой весовую характеристику w(t) этой системы, то для выходной переменной получим зависимость:

   ,           (5.1)

Рис.5.2.

,

причем,                   .

Изменение верхнего предела суммирования объясняется необходимостью учитывать при определении реакции системы лишь импульсы, предшествующие данному моменту времени. Рис. 5.3 поясняет формулу.

В дискретные моменты съема сигнала (t=nT), при нулевых начальных условиях, будем иметь:

 .                                           (5.2)

Зависимость (5.2) представляет собой уравнение движения системы во временной области. Получим теперь уравнение системы в изображениях. Применяя к зависимости (5.2) Z-преобразование, будем иметь:

,                                                    (5.3)

где обозначено:

 .

Определим Z-передаточную функцию импульсной системы как отношение Z-изображения выходной величины при нулевых начальных условиях:

.                                                       (5.4)

.                                                              (5.5)

Z - ПФ характеризует связь между входом и выходом только в тактовые моменты времени.

Из уравнения (5.5) следует, что Z-передаточная функция разомкнутой системы равна Z-преобразованию весовой характеристики    приведенной НЧ.

Итак, в соответствии с (5.3), можно записать:

                 (5.5)

                                                                                                                

Напомним, что   представляет собой последовательность d-функций:

.

Иногда возникает необходимость в определении реакции системы в смещенные дискретные моменты времени t = nT+eT, где  n=0,1,...

.

В этом случае в зависимость для расчета реакции системы y(z) (5.2):

подставляют:  :

Переходя к уравнению в изображениях, получают:

                                           (5.6)

  

Здесь изображения y(z,e),  W(z,e) соответствуют модифицированному Z-преобразованию решетчатых функций y[z], w[n]

.

При изменении e от 0 до 1 зависимость (5.6) позволяет определить значение выходной величины в любой промежуточный момент времени.

5.2.  Вычисление Z-передаточной функции разомкнутой дискретной системы.

Рассмотрим вычисление Z-передаточной функции простейшего соединения, показанного на рис. 5.3.

Рис.5.3.

В соответствии с зависимостью (2.12) и свойствами Z-преобразования Z-ПФ W(z) может быть найдена непосредственно из преобразования Лапласа весовой функции ПНЧ, или по ее передаточной функции W(p).

Существует несколько способов получения Z-передаточной функции систем:

1. Прямой – с использованием Z-преобразования по весовой характеристике .

2. С использованием  - преобразования устанавливающего связь между - ПФ непрерывной системы и - Z –ПФ.

с последующей заменой .

Для W(s) – дробно-рациональной функции, т.е.,когда   и корни B(s) простые, предыдущее выражение трансформируется:

,                                                    (5.7)

.        

В случае если необходимо определить Z- ПФ для расчета значений выходной переменной в промежуточные значения по времени используют модифицированное Z- преобразование:

                  (5.8)

Для простых полюсов , аналогично:

                                            (5.9)

Рассмотрим пример использования вычетов для определения ПФ w(z):

Задана ПФ , найти   ?

Известен набор наиболее часто используемых W(p), естественно предположить, что преобразование  для указанных W(p) уже найдены и сведены в таблицы соответствия (таблица 5.1).

Таблица 5.1.

3. Итак, третий путь заключается в использовании таблиц соответствия.

Так как  -преобразование обладает свойством линейности, то в случае, если W(p)- дробно-рациональное выражение, вычисление Z- ПФ можно производить следующим образом:

3.1.ПФ W(p) необходимо разложить на простейшие дроби:

3.2.Для каждой простейшей дроби   с помощью таблицы  определяют - преобразование:

3.3.По теореме линейности - преобразование определяют искомую Z- ПФ:

.

Полученные зависимости справедливы для случая, когда W(p) есть дробно-рациональная функция переменной p. Однако ПФ ПНЧ:

,

включает в себя и ПФ -  - ПФ  фиксирующего звена. Наиболее часто в дискретных системах в качестве ФЗ используется экстраполятор нулевого порядка, передаточная функция которого имеет вид:

.

Таким образом s(p) и W(p) в целом не являются дробно-рациональными функциями. Рассмотрим этот случай и определим для него порядок нахождения Z-ПФ W(z).

Допустим, что ПФ непрерывной части по прежнему является дробно-рациональной функцией:

,

где, B(p)-многочлен n-ой степени.

Пусть -простые полюсы

.

В соответствии со свойствами -преобразования, множитель:

может быть вынесен за знак преобразования.Тогда:

Можно воспользоваться также известной формулой разложения  на простейшие дроби

,

тогда:

Найдем преобразование:

.

Рекомендация для Вас - ТЕМА 9. Организация обучения по охране труда и проверки знаний требований.

Очевидно, что:

.

Пользуясь таблицей  преобразования, с учетом теоремы линейности, получим:

.

Окончательное выражение для расчета :