Математическое описание основных структур

ЛЕКЦИЯ № 4

 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ СТРУКТУР ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

План лекции:

1. Импульсный элемент и его уравнения.

2. Идеальный импульсный элемент.

3. Формирующее звено.

4. Экстраполятор нулевого порядка.

Простейшую ИС можно представить в виде соединения импульсного элемента (ИЭ) и непрерывной части (рис.4.1).

Рекомендуемые материалы

Рис.4.1

Рассмотрим амплитудно-импульсный элемент (АИЭ), представляющий собой устройство, на выходе которого в момент времени   t=0, T, 2T...  наблюдается последовательность импульсов произвольной формы с амплитудами, пропорциональными дискретам входного сигнала C[nT] (рис.4.2).

             X                                U^*                        X                   

 

                                                                                                                           t

                                                                                        T      2T    3T    4T

                                                                         U^*

                                                                                                                           T

                                                                                       T      2T    3T    4T

Рис. 4.2

Пусть функция S(t) – задает форму импульса на выходе ИЭ, соответствующего единичной дискрете входного сигнала, приложенной в момент времени  t=0. Тогда, в силу свойства линейности, дискрете  C[nT]  соответствует  импульс:

U(t) = C [nT] × S(t-nT).                                                             (4.1)

Сдвиг  аргумента t на nT объясняется тем, что импульс возникает при t=nT  и не раньше.

При математическом описании ИЭ оказывается удобным понятие ИИЭ. Под идеальным ИЭ понимают звено, выходная величина  C*(t) которого, представляет собой последовательность d-функций с площадями равными дискретам входной величины C[nT].

Определим реакцию на дискрету C[nT] последовательного соединения ИИЭ и непрерывного звена с импульсной переходной функцией S(t):

Рис.4.3.

При  этом: .

Пройдя через непрерывное звено, дельта-функция в силу свойства импульсной переходной характеристики развернется в сигнал    и, таким образом, на выходе цепочки будет получена функция :

,                                       (4.2)

совпадающую с функцией (2.1).  Отсюда следует, что ИЭ с произвольной формой импульса   можно представить как последовательное соединение ИИЭ и непрерывного звена с импульсной переходной функцией . Это непрерывное звено может быть задано своей передаточной функцией (ПФ):

.                                            (4.3)

Такое звено называют формирующим звеном или экстраполятором.  Его обычно присоединяют к непрерывной части системы. Т.о. в линейной импульсной системе  с одним ИЭ можно выделить идеальный ИЭ и непрерывную часть.

Рассмотрим ИИЭ. В соответствии с определением, уравнение, связывающее входной  и выходной  сигналы для произвольного момента времени, имеет вид:

             (4.4)

Т.е. выходная переменная есть последовательность d - функций, пропорциональных входным сигналам.  При этом:

.

Т.е.  преобразование Лапласа выходной величины ИИЭ равно дискретному преобразованию Лапласа решетчатой функции .

Связь между изображениями  непрерывной    и  решетчатой    функцией   устанавливается  зависимостью:

                                        (4.5)

B итоге ИИЭ может быть описан зависимостями (4.4) и (4.5). Первая зависимость устанавливает связь между входной непрерывной величиной  и выходной величиной , вторая – между соответствующими изображениями.

В отличие от обычных элементов, для ИИЭ не существует понятия передаточной функции как отношения изображений входной и выходной величины.

Формирующее звено  порождает из d-импульсов ИИЭ последовательность физических импульсов, характерную для данного вида устройств. Для определения его передаточной функции  необходимо найти весовую характеристику  (форму импульса) и взять от нее преобразование Лапласа. Так, если выходная последовательность импульсов имеет вид, представленный на рис.4.3, то передаточная функция формирователя будет следующая:

Рис.4.3

Как видно из приведенного рисунка форма импульса s(t) может быть получена в результате разности двух ступенчатых функций:

Ещё посмотрите лекцию "Ядерное оружие и его поражающие факторы" по этой теме.

Преобразование Лапласа, соответственно:

                 (4.6)

где -коэффициент пропорциональности амплитуды выходного импульса и соответствующей дискреты входного сигнала.

Если выходная величина АИЭ остается постоянной в течение всего интервала квантования Т, то соответствующее формирующее звено называется экстраполятором нулевого порядка. Его передаточная функция имеет вид:

В дальнейшем будем считать