Использование Z-преобразования
ЛЕКЦИЯ № 6
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ Z- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ.
План лекции:
1. Свойства Z- передаточных функций (ПФ).
2. Пример получения Z-ПФ дискретной системы.
3. Определение процессов в импульсных смистемах.
4. Примеры расчета процессов в дискретных системах.
6.1.Свойства Z-ПФ.
Рекомендуемые материалы
1.Z-ПФ есть дробно-рациональная функция переменного Z. При использовании модифицированного Z-преобразования числитель этой функции зависит от e, причем всегда соблюдается условие физической реализуемости (степень числителя не превосходит степень знаменателя).
2.Полюсы 
,
Z-ПФ w(z) и w(z,e)связаны с полюсами 
ПФ НЧ соотношениями:
(6.1)
3.Степень знаменателя W(z) (порядок дискретной ПФ) равна степени полинома знаменателя исходной ПФ:
4. Функция W(z) конечна при z=1, если ПФ W(p) не имеет полюсов в начале координат. При 
W(z) стремится к вещественному числу.
Пример №5.1:
Найдем Z-ПФ разомкнутой дискретной системы, состоящей из АИЭ с экстраполятором нулевого порядка и непрерывной части с ПФ 
.
Решение:
ПФ ПНЧ: 
Воспользуемся вычетами для определения 
:
В случае, если воспользоваться разложением 
на простые дроби:
; 
,
6.2.Определение процессов в импульсных системах
с помощью Z-преобразования.
Если известны ПФ импульсной системы W(z) и изображения входного сигнала F(z), то процесс на выходе системы может быть найден по формуле обратного Z- преобразования:
Обратное Z-преобразование можно определить с помощью вычетов:
,
где -полюсы функций, стоящих под знаком обратного преобразования.
Для вычисления обратного Z-преобразования могут быть использованы рассмотренные выше методы степенных рядов (разложение в ряд Лорана, деление многочлена на многочлен и т. д.)
Наконец, по известной Z-ПФ, достаточно просто составить соответствующее разностное уравнение импульсной системы.
Пусть
Но, так как
,
то
.
Тогда:
.
Учитывая теорему о смещении аргумента решетчатой функции:
(при нулевых начальных значениях), получим:
Это соотношение представляет собой рекуррентное уравнение. Оно позволяет рассчитывать процессы на выходе системы, в последующие моменты времени по известным предыдущим значениям.
Пример№5.2:
Решение:
Перейдем к оригиналам, учитывая теорему о смещении аргумента решетчатой функции:
отсюда:
тогда при известных начальных условиях: 
Пример№5.3:
Численные значения:
........................................................
Пример№5.4:
2.Переход к конечноразностному уравнению:
...........................................................
Пример№5.5:
Пусть линейная стационарная дискретная система описывает разностным уравнением:
.
Найти выходную функцию при условии, что система сначала находится в покое и входное воздействие есть:
Обратное преобразование найдем по теореме о вычетах.
Полюсы:
Вместе с этой лекцией читают "11. Объектно-ориентированные методы анализа".
Вычеты 
в точках 
:
Следовательно: 
