Математическое описание основных структур
ЛЕКЦИЯ № 7
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ СТРУКТУР ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ.
План лекции:
1. Уравнения и передаточныйе функции замкнутой импульсной системы.
2. Правила структурных преобразований в линейных импульсных системах.
3. Рассмотрение примера преобразования структуры линейной импульсной системы.
7.1.Уравнения и передаточные функции
замкнутой импульсной системы.
Рекомендуемые материалы
Рассмотрим замкнутую систему с импульсным элементом в цепи сигнала ошибки и единой обратной связью.Структурная схема системы приведена на рис.7.1.
Рис.7.1.
Запишем уравнение замыкания для дискретных моментов времени:
. (7.1)
Для получения уравнения замкнутой системы, воспользуемся уравнением разомкнутой системы:
. (7.2)
Подставляя (21) в (22), получим:
(7.3)
Отметим, что выходная величина y(t) зависит только от значений входной величины f(t) в момент квантования и не зависит от ее значений в промежуточные моменты времени. Это является одной из особенностей импульсных систем.
Для получения передаточной функции замкнутой импульсной системы применим Z-преобразование к обеим частям уравнения (7.3). С использованием свойств Z-преобразования (теоремы свертки в вещественной области), получим:
,
откуда
. (7.4)
Выражение 
определяет ПФ замкнутой импульсной системы для управляемой переменной по входному воздействию.
Из уравнения (7.4) и уравнения замыкания в изображениях
,
получим для изображения ошибки:
(7.5)
Выражение 
представляет собой ПФ замкнутой системы по ошибке.
7.2.Правила структурных преобразований в
линейных импульсных системах.
При анализе сколько-нибудь сложных импульсных систем автоматического регулирования невозможно обойтись без структурных преобразований с целью определения эквивалентных передаточных функций отдельных элементов цепи.
Правила структурных преобразований дискретных систем имеют отличия от правил преобразования непрерывных систем, вызванные наличием импульсных элементов.Рассмотрим некоторые возможные структуры импульсных систем.
А) Система с импульсным элементом на входе.
Структурная схема, соответствующая этому случаю, представлена на рис.7.2.
Рис.7.2.
Этот случай нами уже рассмотрен и получены соотношения:
и 
Если импульсный элемент включен на выходе непрерывной части, то Z-преобразование выходной величины определяется соотношением:
,
т.е. z –ПФ в этом случае не может быть получена, т.к. ПФ 
и 
невозможно рассматривать раздельно. Кроме того, модифицированные Z –преобразования 
не имеет смысла, так как информация о переменной Y в промежуточные моменты времени отсутствует.
Б) Последовательное соединение непрерывных звеньев, разделенных импульсными элементами.
Структурная схема в этом случае представлена на рис.7.3.
Рис.7.3.
Разбивая систему на части, каждая из которых состоит из одного непрерывного звена и импульсного элемента перед ним, получим:
Исключая промежуточные переменные, получим:
(7.6)
Таким образом, Z-ПФ последовательного соединения звеньев, разделенных импульсными элементами, равна произведению Z-ПФ этих звеньев.
В) Последовательное соединение непрерывных звеньев, не разделенных импульсными элементами.
Структурная схема системы представлена на рис. 7.4.
Рис.7.4.
В этом случае эквивалентная ПФ непрерывной части имеет вид:
,
после чего это соединение сводится к схеме а),т .е.
.
Г) Параллельное соединение непрерывных звеньев.
Структурная схема соединения показана на рис.7.5. В соответствии с определением передаточной функции и свойством линейности 
преобразования имеем:
 |
Рис.7.5.
где 
,
т.е. Z-ПФ равна сумме Z-ПФ отдельных звеньев, составляющих параллельное соединение.
Д) Элементарная структура с обратной связью (ОС).
Структурная схема системы представлена на рис.7.6.
Рис.7.6.
С учетом результатов п.а) и в) запишем уравнение в изображениях:
(7.7)
где:
Уравнение замыкания в изображениях:
(7.8)
Исключив из выражений (2.27) и (2.28) 
и 
получим зависимость для ПФ соединения:
;
(7.9)
Е) Соединение ИИЭ-экстраполятор нулевого порядка-непрерывное звено.
Структурная схема соединения представлена на рис.7.7.
 |
Рис.7.7.
Ж).Определение Z-ПФ многоконтурной дискретной системы.
Для замкнутой дискретной системы с большим числом дискретно-непрерывных контуров Z-ПФ может определяться по следующей зависимости:
, (7.10)
где 
- Z-ПФ прямой цепи с учетом расположения ИИЭ.
Z-ПФ i-ого разомкнутого дискретно-непрерывного контура.При этом контур размыкается в месте расположения ИИЭ.Входом контура является вход ИИЭ.
Пример:
В качестве примера рассмотрим дискретную систему, представленную на рис.7.8:
Рис.7.8.
В рассматриваемом случае:
,
где
.
В системе можно выделить два дискретно-непрерывных контура.
В качестве первого рассмотрим контур, образованный ИИЭ2 и звеньями 
и 
. Z-ПФ первого разомкнутого контура запишется в виде:
Второй контур состоит из ИИЭ1, звена W1(р) и звеньев W2(р) и W4(р), и его ПФ имеет вид:
Используя формулу (2.30) получим выражение для Z-ПФ схемы:
.
Если формулой (2.30) не удается воспользоваться напрямую, необходимо выполнить следующие действия:
1.Обозначить сигналы на входах ИИЭ.
2.Связать введенные координаты с помощью Z-ПФ между собой.
3.Исключая промежуточные переменные, разрешить систему относительно входа и выхода и получить тем самым Z-ПФ системы.
Применим описанный алгоритм для получения Z-ПФ системы, структурная схема которой представлена на рис.7.9.
Вместе с этой лекцией читают "Локальные и глобальные сети".
Рис.7.9.
Таким образом, нами рассмотрены ПФ дискретных систем и способы их вычисления. Аппарат Z- ПФ широко используется при описании дискретных систем, решении различных задач анализа и синтеза. Непосредственное использование передаточных функций при исследовании дискретных систем рассмотрим в последующих разделах.
