Математическое описание процесса квантования

ЛЕКЦИЯ № 2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА КВАНТОВАНИЯ ПО ВРЕМЕНИ. ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА.

План лекции:

1. Понятие решетчатой функции. Смещенная решетчатая функция.

2. Переход от непрерывной функции и обратно.

3. Математическое описание процесса квантования по времени.

Как указывалось выше, характерным этапом преобразования сигналов в ЦАС является процесс квантования этих сигналов по времени. В связи с этим процессы в дискретных системах, в отличие от непрерывных систем автоматического управления, описываются так называемыми решетчатыми функциями.

Решетчатая функция – это функция, значения которой определены лишь в некоторые, тактовые моменты времени (рис.2.1):

f [kT] = f(t);    t=kT ,   k=0, 1, 2 ...,

Рекомендуемые материалы

где: k- номер дискреты, Т-период дискретизации.

Дискреты функции  f(t) могут быть также определены для смещенных моментов времени t=kT +eТ, где 0£çeç<1. Определяемая таким образом функция называется смещенной решетчатой функцией:

f [kT, eТ ] = f(t);    t=kT+eТ ,   k=0, 1, 2 ...; 0£çeç<1.

f(t)                                            f [kT]

                                  t                                                                  t

                                                       0     T     2T        3T                          

     порождающая                        

     непрерывная                           решетчатая функция 

     функция

                              преобразование однозначно Þ

                          Ü преобразование неоднозначно  

Рис.2.1.

Как и в непрерывных системах, исследование динамики дискретных систем может проводиться либо с использованием переменных состояния, либо с использованием входных и выходных переменных системы.

 В первом случае исследование обычно проводят во временной области, рассматривая систему разностных уравнений и анализируя свойства ее решений. Указанный подход, и разработанные в его рамках методы, являются весьма плодотворными. Они позволяют рассматривать нелинейные многомерные дискретные системы, проводить исчерпывающее исследование их свойств, решать задачи синтеза в различной постановке.

Во втором случае исследуют не весь набор переменных состояния, а лишь поведение некоторых величин, по изменению которых и оценивается качество САУ – выходные переменные системы. В задачу исследования может входить анализ зависимости выходных переменных от входных величин, решение вопроса, как придать системе требуемые свойства по этим переменным. При этом для линейных импульсных систем наиболее простым и распространенным математическим аппаратом описания и исследования является аппарат дискретного преобразования Лапласа, позволяющий получить  уравнение САУ в изображениях и найти дискретные передаточные функции.

Вспомним, чем же было удобно применение преобразования Лапласа к исследованию непрерывных систем?

Используя £–преобразование, можно каждой преобразуемой по Лапласу  функции f(t) (оригиналу), поставить в соответствие функцию F(s) комплексной переменной s (при этом F(s) называется изображением).

Преобразование Лапласа обладает рядом замечательных свойств, например, дифференцированию оригинала f(t) по переменной t соответствует операция умножения функции F(s) на комплексную переменную s, а  интегрированию оригинала f(t) соответствует операция деления F(s) на s. Таким образом, операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются в пространстве изображений более простыми операциями алгебры – соответственно умножением и делением изображения F(s) на s. Это позволяет дифференциальное уравнение, записанное относительно искомой функции f(t), заменить в пространстве изображений на алгебраическое уравнение относительно изображения  F(s)=£ [f(t)]. Решив это алгебраическое уравнение и найдя F(s), получим изображение решения исходного дифференциального уравнения. Для определения самого решения можно воспользоваться обратным преобразованием Лапласа (£^-1-преобразованием), устанавливающим связь  между изображением  F(s) и ему соответствующим оригиналом f(t). Во многих практических случаях при нахождении решения  f(t) можно воспользоваться таблицами соответствия  ²оригинал- изображение².

Т.о. решение дифференциального уравнения. сводится к схеме, приведенной на рис.2.2.

Рис. 2.2.

Функция, преобразуемая по Лапласу называется оригиналом.Пусть f(t)-оригинал, а F(p) - соответствующее ей изображение:

,

 где - комплексная переменная, – абсцисса абсолютной сходимости.

Обратное преобразование Лапласа (£^-1):

Рассмотрим теперь основы дискретного преобразования Лапласа и  связь дискретного и непрерывного преобразований Лапласа.

Дискретным преобразованием Лапласа называется преобразование решетчатой функции f [кТ] в функцию F*(p) комплексного переменного р, определяемого соотношением:

,                                            (2.1)

где

; f [kT]- решетчатая функция (оригинал ); F*(p)-изображение.

Для обозначения операции дискретного преобразования Лапласа  используется символ D:

.

Дискретное преобразование Лапласа можно трактовать как обычное преобразование непрерывной функции f (t), модулирующей периодическую последовательность d-функций:

.

Обозначим результат этой модуляции через f_T (t):

Тогда:

Для смещенной решетчатой функции f [k,e] имеем:

.

Из формулы (2.1) непосредственно следует, что изображение решетчатой функции является периодическим с чисто мнимым периодом:

,

в силу периодичности экспоненциальной функции. Таким образом:

, n=0,1,2,…

Вследствие этого, обычно изображение   рассматривают в полосе частот:

 <    Jm p    ,

которая называется основной полосой.

Изображение F*(p) решетчатой функции f [kT], связано с изображением F(p) порождающей непрерывной функции f (t) следующей зависимостью:

,

для сокращенной записи которой, используют следующее обозначение:

.

Связь между изображениями F*(p) и F(p) может быть выражена  другой, более удобной для непосредственного использования, зависимостью:

где:

      ,        полюсы изображения ,.

Для   смещенного оригинала имеем:      

          ,

здесь  полюсы изображения .

В инженерных расчетах импульсных систем наибольшее распространение получило так называемое Z-преобразование, получающееся из (2.1) заменой  :

.                                                     (2.2)

Для смещенной решетчатой функции:

.                             (2.3)

Преобразование (2.3) - называется модифицированным Z-преобразованием.

С учетом (2.1) и (2.2), Z-изображение получается как результат применения к оригиналу  или изображению ,  или, соответственно - , преобразования с последующей заменой .

Для   смещенного оригинала имеем:      

.

Для  Z-преобразования несмещенной функции получим:

.

4 Информационные сервисы Internet2 - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

  Пример

Найти изображение  соответствующее изображению по Лапласу: .

Решение:

              -полюс        .