Ответы к заданиям: Тема 14. Методы решения дифференциальных уравнений и систем

Как известно, значение точного решения задачи Коши для дифференциального уравнения в следующем узле сетки вычисляется формулой . Заменим интеграл в ней квадратурной формулой трапеций, а значение , необходимое для вычисления подынтегральной функции в точке , рассчитаем как ординату точки пересечения касательной к кривой в точке с прямой . Какую формулу мы получим? А если интеграл заменим формулой центральных прямоугольников, а значение , необходимое для вычисления подынтегральной функции в точке , рассчитаем аналогично (только для прямой ), то что мы получим?
Если в формуле , по которой вычисляется очередное значение точного решения в узле , интеграл заменить какой-либо квадратурой, то это может привести к необходимости приближённого решения нелинейного уравнения для нахождения следующего сеточного значения (если не применяется какой-либо предварительный расчёт (предсказание) сеточных значений, следующих за ). Таким образом получаются неявные методы. Применение каких формул не приводит к неявному методу?
К преимуществам метода Рунге-Кутты относится то, что ...
К недостаткам многошаговых методов относится ..
Для метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности ошибка на шаге
Для повышения точности метода Эйлера необходимо
Явление неустойчивости проявляется в ...
Неявные формулы часто применяются на практике, несмотря на свои недостатки, так как позволяют .
Как связаны число узлов квадратуры , заменяющей интеграл в методе Рунге-Кутты, и порядок точности метода
В случае, если значение m=2, а значение s=3 :
Формула имеет место для случая:
Изменение координаты тела массой по горизонтальной поверхности с трением под действием пружины описывается дифференциальным уравнением второго порядка , где - координата тела в момент времени , - коэффициент трения, - коэффициент жёсткости пружины. Пусть в начальный момент координата , скорость . Сведите эту задачу Коши второго порядка к многомерной задаче Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка , , где - числовая матрица, - вектор начальных значений. Пусть кг, Н/м, . Вычислите матрицу . В ответ запишите
Неявный конечно-разностный метод решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, не содержащей первой производной от неизвестной функции, называется .