Ответы к заданиям: Тема 11. Численное решение проблемы собственных значений

Выберите верные утверждения о собственных числах и собственных векторах матрицы.
Пусть имеются матрица и близкая ей матрица ( - малое приращение матрицы ). Тогда собственное число изменится на величину , для которой верна оценка . Число называется коэффициентом перекоса матрицы , соответствующим собственному числу . Он вычисляется по формуле , где , - собственные векторы матрицы и сопряжённой матрицы , соответствующие собственным числам и . Если , вещественны, то , где - угол между ними. Чему равен коэффициент перекоса для нормальных матриц? (Матрица называется нормальной, если она коммутирует со своей сопряжённой: .)
Для минимального собственного числа матрицы справедлива оценка:
Пусть – симметрическая и положительно определенная матрица, а – симметрическая матрица. Тогда все собственные числа матриц
Какое свойство матриц и собственных чисел не использует метод вращений?
Вы знаете,что метод вращений основан на подобном преобразовании симметрической матрицы с помощью матрицы вращения . Геометрически это интерпретируется как поворот базисных векторов , на некоторый угол в плоскости этих векторов. Дана матрица вращений . На какой угол она осуществляет поворот базисных векторов , при подобном преобразовании?
Локализуйте собственные числа симметрической матрицы с помощью теоремы Гершгорина. В ответ запишите отрезок локализации минимального по модулю собственного числа.
Пусть и - симметрические -матрицы. Тогда существование базиса в пространстве , составленного из собственных векторов матриц и , является ...
Локализуйте собственные числа симметрической матрицы с помощью теоремы Гершгорина. Левый конец отрезка локализации:
Дана матрица . Вычислить приближенное значение наибольшего собственного числа степенным методом. За начальное приближение собственного вектора взять . В ответ записать значение собственного числа для второй итерации (округлить до знаков после запятой)