Ответы к заданиям: Тема 7. Численное дифференцирование

Примените метод получения разностных формул дифференцированием интерполяционного многочлена для вычисления производной в левом крайнем узле таблицы по трём точкам , , . Значения функции в этих узлах обозначим , , соответственно. Постройте интерполяционный многочлен Лагранжа по этим узлам, продифференцируйте его и подставьте в производную . Вы таким образом получите правую разностную производную по трём точкам. Вычислите и напишите в ответ приближённое значение по этой формуле (без округлений), полученное по таблице.

Примените метод разложения функции по формуле Тейлора для получения разностных формул левых первой и второй производных в правой крайней точке таблицы. Имеются три значения табличной функции , , (правая крайняя точка). Напишите разложения функции в , в окрестности (шаг таблицы ) по формуле Тейлора с остаточным членом третьего порядка, составьте и решите систему для , . Какие формулы для , Вы получите?

Какое минимальное число точек (узлов таблицы) необходимо для построения разностной формулы 5-й производной методом дифференцирования интерполяционного многочлена?
В чём заключается фундаментальная причина плохой обусловленности разностных формул производных?
В чём выражается плохая обусловленность разностных формул относительно погрешностей исходных данных?
Рассмотрим функцию . Пусть в некоторой точке вычисляется центральная разностная производная. Затем вычисляем точную относительную погрешность. Что Вы обнаружили?

Постройте интерполяционный многочлен Гаусса по трём узлам (центральный), (левый) и (правый). Значения функции в этих узлах обозначим , , соответственно. Затем возьмите вторую производную многочлена и подставьте в неё . Вы получите разностную формулу второй производной по трём узлам. Вычислите по ней по таблице и запишите в ответ без округлений.
Если сравнить приближение производной по формуле центральной разностной производной для функций , , в точке с шагом , то для какой функции наблюдается худшее приближение в смысле относительной погрешности ( – оценка производной по разностной формуле)?