Теоретическая часть

Общее представление многошаговых методов

Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению и начальному условию

, , (1)

. (2)

Введем на отрезке сетку с постоянным шагом , тогда , , . Рассмотрим численные методы решения задачи (1), (2), которые можно представить в виде:

. (3)

Здесь значение решения в точке определяется через значения решения в точках, предшествующих . Такой метод называется - шаговым.

Из (3) выделяют многошаговые методы вида

, , (4)

которые применяют на сетке с постоянным шагом.

Разность между наибольшим и наименьшим значениями индекса неизвестной функции , входящей в уравнение (4), равна . Поэтому соотношение (4) является разностным уравнением -го порядка, общее решение которого зависит от параметров. Чтобы выделить единственное решение этого уравнения, необходимо наложить дополнительных условий на функцию при

, (5)

которые полагают известными.

Используя дополнительные условия (5) из (4) можно найти при , затем используя найти, полагая и т.д.Таким образом, данный метод численного решения дифференциальной задачи Коши (1), (2) состоит в решении разностной задачи (4), (5).Если искомое решение входит в правую часть уравнения (4), что бывает когда , то эта формула определяет неявный метод.Если и уравнение (4) может быть разрешено относительно , то формула (4) определяет явный метод.