CONSCOMP (Материалы к контрольным работам), страница 4

dn = rn

где di - различные имена, а каждое ri - регулярное выражение

над символами t u {d1,d2,...,di-1}, т.е. символами основного

алфавита и ранее определенными символами. Таким образом, для

любого ri можно построить регулярное выражение над Т, повторно

заменяя имена регулярных выражений на обозначаемые ими

регулярные выражения.

Пример 2.1. Несколько примеров регулярных выражений и

обозначаемых ими множеств

Идентификатор - это регулярное выражение

Идентификатор = Буква (Буква|Цифра)*

Буква = {a,b,...,z}

Цифра = {0,1,...,9}

Число в десятичной записи - это регулярное выражение

Целое = Цифра+

Дробная_часть = . Целое | е

Спепень = ( Е ( + | - | е ) Целое ) | е

Число = Целое Дробная_часть Степень

Ясно, что для каждого регулярного множества можно найти по

крайней мере одно регулярное выражение, обозначающее это

множество. И обратно: для каждого регулярного выражения можно

построить регулярное множество, обозначаемое этим выражением.

Для каждого регулярного множества существует бесконечно много

обозначающих его регулярных выражений. Будем говорить, что два

регулярных выражения равны, если они обозначают одно и то же

множество.

2.2. Конечные автоматы

Недетерминированный конечный автомат (НКА) - это пятерка

m=(q,t,d,q0,f), где

(1) q - конечное множество состояний;

(2) t - конечное множество допустимых входных символов;

(3) d - функция переходов, отображающая множество qxt во

множество подмножеств множества q и определяющая

поведение управляющего устройства;

(4) q0<=q - множество начальных состояний управляющего

устройства;

(5) f<=q - множество заключительных состояний.

Детерминированный конечный автомат (ДКА) - это пятерка

m=(q,t,d,q0,f), где

(1) q - конечное множество состояний;

(2) t - конечное множество допустимых входных символов;

(3) d - функция переходов, отображающая множества qxt в

множество q и определяющая поведение управляющего

устройства;

(4) q0<-q - начальное состояние управляющего устройства;

(5) f<=q - множество заключительных состояний.

Работа конечного автомата представляет собой некоторую

последовательность шагов, или тактов. Такт определяется

текущим состоянием управляющего устройства и входным символом,

обозреваемым в данный момент входной головкой. Сам шаг состоит

из изменения состояния и сдвига входной головки на одну ячейку

вправо (рис. 2.3).

+-----------+

| Состояние |

+-----------+

|

v

+--------------------------------------- +

| | a | .............. |

+--------------------------------------- +

Прочитанная Текущий Непрочитанная

часть входной входной часть входной

входной цепочки символ цепочки

Рис. 2.3

Текущее состояние управляющего устройства, символ под головкой

и цепочка символов вправо от головки называются конфигурацией

автомата. Конфигурация (q0,w) называется начальной, а пара

(q,e), где q<-f, называется заключительной (или допускающей).

|

v

+---+

| 1 |

+---+

| Цифра

+------ v

| \---+Не (цифра,Е,"." +-----+

| Цифра | 2 |--------------->|| 3 ||

| /---\ +-----+

+------ |. \ e

v --------------------+

+---+ |

| 4 | |

+---+ |

| Цифра |

+------- v |

| \--- Не цифра,Е +-----+ |

| Цифра | 5 |------------>|| 6 || |

| /--- +-----+ |

+------- |e |

v |

+---+ |

| 7 |<--------------------+

+---\

+,- | \ Цифра

v \

+---+ |

| 8 | |

+---+ |

Цифра | /

+------- v /

| \---/ Не цифра +------+

| Цифра | 9 |--------->|| 10 ||

| /--- +------+

+-------

Рис. 2.4

Такт автомата m представляется бинарным отношением |-,

определенным на конфигурациях: отношение имеет место, если

есть переход из конфигурации (q1,w1) в конфигурацию (q2,w2).

Отношения |-+ и |-* - это, соответственно, транзитивное и

рефлексивно-транзитивное замыкание отношения |-. Говорят, что

автомат m допускает цепочку w, если (q0,w)|-*(q,e) для

некоторого q<-f. Языком, допускаемым (распознаваемым,

определяемым) автоматом m, (обозначается l(m)), называется

множество входных цепочек, допускаемых автоматом m. Т.е.

l(m)={w | w<-t* и (q0,w)|-*(q,e) для некоторого q<-f}

Конечный автомат может быть изображен графически в виде

графа, в котором каждому состоянию соответствует вершина, а

дуга, помеченная символом a, соединяет две вершины p и q, если

функция переходов содержит (q,a)->p. На диаграмме выделяются

конечные состояния (в примерах выше двойным контуром).

Пример 2.2. Диаграмма для чисел языка Паскаль приведена на

рис. 2.4.

2.3. Построение детерминированного конечного автомата по

регулярному выражению.

Приведем теперь алгоритм построения детерминированного

конечного автомата по регулярному выражению [1]. К регулярному

выражению (сокращенно РВ) r добавим маркер конца: (r)#. После

построения ДКА для расширенного РВ легко построить ДКА для

исходного РВ: все состояния ДКА из которых есть переход в

конечное с чтением символа "#", можно считать конечными, а

символ "#" и соответствующие переходы удалить.

Представим РВ в виде дерева, листья которого - терминальные

символы, а внутренние вершины - операции "." (конкатенации),

"u" (объединение), "*" (итерация).

Каждому листу дерева (кроме e-листьев) припишем уникальный

номер и ссылаться на него будем, с одной стороны, как на

позицию в дереве и, с другой стороны, как на позицию символа,

соответствующего листу.

Теперь, обходя дерево t сверху-вниз слева-направо, вычислим

четыре функции: nullable, firstpos, lastpos и followpos.

Функции nullable, firstpos и lastpos определены на узлах

дерева, а followpos - на множестве позиций. Значением всех

функций, кроме nullable, является множество позиций. Функция

followpos вычисляется через три остальные функции.

Функция firstpos(n) для каждого узла n синтаксического

дерева регулярного выражения дает множество позиций, которые

соответствуют первым символам в подцепочках, генерируемых

подвыражением с вершиной в n. Аналогично, lastpos(n) дает

множество позиций, которым соответствуют последние символы в

подцепочках, генерируемых подвыражениями с вершиной n. Для

узлов n, поддеревья которых (т.е. дерево, у которого узел n

является корнем) могут породить пустое слово, определим

nullable(n)=true, а для остальных узлов false.

узел n nullable(n) firstpos(n) lastpos(n)

---------------------------------------- -----------------