Кинетическая теорема современной неравновесной термодинамики, страница 14

Отсюда,ет детерминированную составляющую динамики протекания неравновес-для заданных значений параметров ? в систему (1.101) входят только слу-чайные термодинамические силы, а случайные составляющие матрицыСтохастические изменения внешних параметров ? вызывают соот-восприимчивостей не входят. [59]ветствующие изменения матрицы восприимчивостей, термодинамическихсил, в том числе и случайных. Из этих случайных изменений и формируется случайная составляющая скорости, обусловленная случайным изменением внешних параметров. Это и отражено в системе уравнений (1.101).[59]Но система уравнений (1.101), обобщающая систему уравнений(1.24) на случай стохастики, аналогично сказанному выше неудобна вприменении. Поэтому, аналогично (1.22) имея для случайных сил77∆K случ , *, ?, ° :∆K случ , *, ?, ° =⋯3∆/&J3∆/1K случ , *, ?, ° ,(1.102)а также имея аналогично (1.11), (1.13) с учетом случайных составляющихвнешних потоков-∆ =⋯3∆/&, −,3∆/1− :,88;сл ,получим согласно (1.12), (1.20), (1.41), (1.101) – (1.103):3∆= ∆P:∆K , *, ? = −*==3∆/&⋯* ,.3∆/&,*; ∆K:∗M ,* ,.

,?3∆±£¡,?/13∆/&3∆⋯* ,.3∆/1+,*⋯@2±£¡.2.:,?; + ∆K случM ,* ,. ,?+3∆/1@,*;∗ Jсл,,+3∆,*(1.103),?,°,(1.104)@*+@*сл.На основе дифференциально-стохастической системы (1.104) потенциально-потоковых уравнений, обобщающей (1.43) на случай стохастики, может быть разработан формализм математического моделированиядинамики протекания неравновесных процессов.С учетом флуктуаций уравнения (1.45) и (1.46) примут вид:, = ∑yx2,* = ∑yx2⋯}3∆} /&}3∆} /1}⋯}*3∆} /&}*3∆} /1}-∆x + ,-∆x + ,88+ :,* + :,88;сл ,*; ;сл(1.105)(1.106)K случ , *, ?, ° , ∆K случ , *, ?, ° со случайными силами ее простых подАналогично(1.52), (1.53) уравнения для связи случайных сил всей системысистем ∆Kxслуч , *, ?, ° примут вид:∆Kxслуч , *, ?, ° =∆Kxслуч , *, ?, ° =}3∆} /&3} ∆3∆} /&⋯⋯}3∆} /1}3} ∆3∆} /1}JJK случ , *, ?, ° ,~ = 1, z, (1.107)∆K случ , *, ?, ° ,~ = 1, z.

(1.108)Аналогично (1.54) потенциально-потоковые уравнения простых подсистемс учетом случайных сил примут вид:783∆}= ∆Px :,*,?; ∆Kx :,*,?; + ∆Kxслуч :,*,?; ,~ = 1, z.(1.109)Согласно (1.19), (1.49), (1.52), (1.55), (1.105) – (1.107), (1.109) получим систему уравнений (1.101), а согласно (1.20), (1.47), (1.50), (1.53), (1.56),(1.103), (1.105), (1.106), (1.108) получим систему уравнений (1.104).1.5.5. Формализм анализа и математического моделированиянеравновесных процессов на основе потенциально-потокового методас учетом стохастикиВ работе [19] был разработан формализм математического моделирования динамики протекания неравновесных процессов на основе потенциально-потокового метода.

Однако этот формализм не учитывал стохастичность динамики неравновесных процессов. Как отмечалось выше, длячайные силы, а также учесть случайные составляющие условий ?, в част-учета стохастичности этой динамики необходимо ввести внутренние слу-ности, внешних потоков@,@*[59]. Поэтому, в силу (1.48), (1.52),(1.53), (1.55), (1.56), (1.101) – (1.109) формализм потенциально-потоковогометода с учетом стохастики примет вид:1.

Рассматриваем неравновесные процессы, протекающие в расстые подсистемы ~ -е совокупности сопряженных между собойсматриваемой сложной неравновесной системе. Выделяем про-процессов, протекающих в рассматриваемой сложной системе, несопряженных с другими процессами, протекающими в рассматриваемой системе. Более того, эти совокупности сопряженныхмежду собой процессов не декомпонуются на более простые совокупности сопряженных между собой процессов, не сопряжен2. Для этих выделившихся ~ -х совокупностей неравновесных проных друг с другом.уравнений баланса для каждой такой ~ -й совокупности неравно-цессов записываем уравнения баланса. На основе записанных79весных процессов выделяем независимые приращения -∆x .

Рас-сматриваем на основе записанных уравнений баланса связь меж-∆x , выделяем независимые , и зависимые параметры ,* всейду приращениями параметров всей системы и приращениямисистемы. В конечном итоге уравнения баланса для всей системыи простых подсистем примут вид, = ∑yx2⋯}3∆} /&⋯}*,* = ∑yx23∆} /&⋯}3∆} /&где матрицы-∆x + ,}3∆} /1}}*-∆x + ,3∆} /1}}3∆} /1},88⋯}*3∆} /&+ :,* + :,}*3∆} /1}88;сл ,*;сл,, ~ = 1, z,подсистем, z - число совокупностей неравновесных процессов ввытекающие из уравнений баланса – матрицы баланса простых,* =рассматриаемой сложной системе, ,8уравнения баланса для всей системы#* ,.#/&где⋯#* ,.#/&#* ,.#/1⋯.2. ,*#* ,.#/1, −,.2. ,*8− :,8,,8* - внешние потоки;;сл + ,8* + :,8*;сл ,-матрица баланса всей системы,. - параметры сохранения, причем между матрицей баланса всейсистемы и матрицами баланса простых подсистем существует}*3∆} /&связь:⋯}*3∆} /1}=#* ,.#/&⋯#* ,.#/1.2.

,*}3∆} /&⋯}3∆} /1}, ~ = 1, z.3. Определяем термодинамические силы K , *, ? , движущиесвободной энергии A , *, ? , где ? - условия, в которых нахо-неравновесные процессы в сложной системе, используя функциюK , *, ? = −∇ A , * , . , ? |.2.дится рассматриваемая система, как,*.Функция свободной энергии A , *, ? определяется из экспериментальных данных в соответвтвие с формализмом классической80или рациональной термодинамики.востей к термодинамическим силам системы P , *, ? , зная из4. Определяем положительно определенную матрицу восприимчи-чивостей простых подсистем ∆Px, *, ? , ~ = 1, z,эксперимента положительно определенные матрицы восприимP , *, ? = ∑yx2}3∆} /&стых подсистем ∆Px⋯∆Px}3∆} /1}, *, ?⋯}3∆} /&}3∆} /1}J., *, ? ,~ = 1, z, известные из эксперимента,Положительно определенные матрицы восприимчивостей про-нахоятся в соответствующей базе данных.5.

Строим математическую модель динамики неравновесных процессов в рассматриваемой системе,,,+,*,+,8= P:+•,,8²* , .=²=*,8,*+•,,*,8; K:,?⋯,*; + K случ,?,*€ , K , *, ? = −:∇ A , * , . , ? ;.2.сл²* , .²=2.2.:€ .,*;•,−,,8,,?,*,−•,,°8,+€ €+слсл6. Термодинамические силы, движущие выделенные -и совокупности сопряженных между собой неравновесных процессов (в простых подсистемах),∆Kx, *, ? = − •причем∆Kx, *, ? =M ,* ,.

,?3∆} /&}3∆} /&⋯∗⋯ •}3∆} /1}JM ,* ,. ,?3∆} /1}∗ J€ € , ~ = 1, z,K , *, ? ,~ = 1, z.7. Случайные силы, движущие выделенные ~ -и совокупности со-пряженных между собой неравновесных процессов (в простыхподсистемах),81∆Kxслуч , *, ?, ° =3∆}}3∆} /&⋯}3∆} /1}JK случ , *, ?, ° ,~ = 1, z.8. Скорости протекания выделенных ~ -х совокупностей сопряженных между собой неравновесных процессов= ∆Px :,*,?; ∆Kx :,*,?; + ∆Kxслуч :,*,?; ,~ = 1, z.Предложенный потенциально-потоковый формализм в вышеизло-женном виде, как отмечалось выше, не очень удобен для анализа и моделирования неравновесных процессов в сложных неравновесных системах.Но на основе вышеописанного формализма в работах [61 – 63] была предложена методика качественного анализа динамики протекания неравновесных процессов. В работе [63] также показывается, что благодаря потенциально-потоковой структуре части независимых переменных анализируется аналогично динамике всех переменных.

Из работ [62, 63] также виднароль матрицы восприимчивостей – шкалы кинетических свойств системыи термодинамических сил в образовании диссипативных структур. Далеепредложенный формализм будет переписан с использованием замены переменных (1.95).Новый потенциально-потоковый формализм построения математической модели сложной неравновесной системы также основан на декомпозиции сложной системы на простые подсистемы и включает в себя следующие этапы:1.

Рассматриваем неравновесные процессы, протекающие в рассматподсистемы – ~-е совокупности сопряженных между собой про-риваемой сложной неравновесной системе. Выделяем простыецессов, протекающих в рассматриваемой сложной системе, не со-пряженных с другими процессами, протекающими в рассматриваемой системе. Более того, эти совокупности сопряженных междусобой процессов не декомпонуются на более простые совокупности сопряженных между собой процессов, не сопряженных друг сдругом.822.

Для этих выделившихся ~ -х совокупностей неравновесных про-уравнений баланса для каждой такой ~ -й совокупности неравноцессов записываем уравнения баланса. На основе записанныхвесных процессов выделяем независимые приращения -∆x . Рас-сматриваем на основе записанных уравнений баланса связь междуприращениями параметров всей системы и приращениями -∆x ,выделяем независимые , и зависимые параметры ,* всей системы. В конечном итоге уравнения баланса для всей системы и простых подсистем примут вид, = ∑yx23∆} /&⋯}*,* = ∑yx2}3∆} /&где матрицы⋯}3∆} /&⋯}}3∆} /1}}*3∆} /1}3∆} /1},-∆x + ,-∆x + ,⋯}*3∆} /&88+ :,* + :,}*3∆} /1}88;сл ,*;сл ,, ~ = 1, z, вы-систем, z - число совокупностей неравновесных процессов в рас-текающие из уравнений баланса – матрицы баланса простых под-,* =сматриаемой сложной системе, ,8уравнения баланса для всей системы#* ,.#/&где⋯#* ,.#/&#* ,.#/1⋯.2.

,*#* ,.#/1, −,.2. ,*8, ,− :,88* - внешние потоки;;сл + ,8* + :,8*;сл ,-матрица баланса всей системы, .- параметры сохранения, причем между матрицей баланса всей си}*3∆} /&стемы и матрицами баланса простых подсистем существует связь:⋯}*3∆} /1}=#* ,.#/&⋯#* ,.#/1.2. ,*}3∆} /&⋯}3∆} /1}, ~ = 1, z.3. На основании уравнений баланса переходим от независимых приращений , и ,8,,8* к соответствующим внутренним процес-сам независимым приращениям -∆ и соответствующим внешнимпотокам приращениям -∆ 8 , -∆ 8 * в соответствие с83-∆ =⋯3∆/&3∆/1где невырожденная матрица3∆/&, −,⋯соответствующих уравнений баланса.83∆/1− :,;сл ,8получается на основе4.

Используя соотношения между матрицами баланса* ,.3∆/&3} ∆3∆} /&⋯* ,.3∆/1⋯3} ∆.2. ,*=3∆} /1}=⋯#* ,.3∆/&#/&⋯#* ,.#/13∆}3∆} /&/1.2. ,*⋯запишем уравнения баланса для приращений -∆, =,* =-∆ = ∑yx23∆* ,.3∆/&/&⋯⋯3} ∆3∆} /&3∆/1* ,.3∆/1⋯3} ∆3∆} /1}-∆ + ,.2. ,*83∆/&}3∆} /1}-∆x ,+ :,-∆ + ,88⋯/1,, ~ = 1, z,;сл ,* + :,3∆8*;сл .5. Определяем термодинамические силы ∆K , *, ? , движущиесвободной энергии A , *, ? , где ? - условия, в которых находитсянеравновесные процессы в сложной системе, используя функциюрассматриваемая система, как∆K , *, ? = −M ,* ,. ,?3∆/&∗⋯M ,* ,.