Формы математического описания линейных систем, страница 5

Найдем преобразоваые Лапласа от правой и левой части этого уравнения, имея в виду (4 .26), теорему диФФеренцирования оригинала в с~щчае нулевых начальных условий (Х.19) и теорему дифференцирования в области комплексной переменной, выражающей соотношением ФГ~~7 ь[у1<у)~=- — „', гле Г<з>-Ь[~<У>~. Обоо'еиная паза аточная ~ржц.щ ллнейноИ систе:,и опреде.,1енэ С,'!ЭД,~')31:1011 ф01).'~~' БОЯ: ~П5,х) ~ !~(8, хЖ ~!5'. (4 ° 37) ЗБОДЯ глре:1енну!о а =8-х виесто 8, !"..1еем ФЮ -5ф У(л,х) = ~ Ф (х+ ц, х) 6' 4ц 11 Б:"д121, что эта передаточная ахун.".1„'1л ЯБляется ЩиобраЗОБОнБ18ы „'!Эп;.эса 1!Ор11альной юп~льс1!Ой роалцпей 01!стелы.

На осноне йор1:,улы обра1!1ен)я х+~ Ф (х + ~, х) = —. ') Ч(5рх)8 Ф4 . Щ ~~1~ с-у Обобценная 11ер!3даточная ~~унция яыиется фуикцией ко;,'.плекс- !1ОИ пеР%!Внн011 5 11 БР8.'и!811!! х !!!01п! 011ст81'!з стацло!1ЭГ!!ЭЯ то Усз,х) глеБраь)ается Б перецаточи5ю фупцл) Уи). СБЯЗь Б х О Д Б ы х О Д,:;ОТО',';;В,'~"сто!!эР!1иьэет Обоб1!ее- ИЭЯ ГЭР8ДОТОЧНЭЯ Я!НКЦ11Я й'".':.',:.!ОТО 1.1,!!!1П>ОБЭ!11;!1;; БОЭД811С Б;1ЯХ, !!'. Е- ет Б11."; 430 " 5Х Х(з)= ~ Уи,х)~~и)е Ах, ( г ЮО .1!ля БЫБОда это!! сБя31'',у .'3!О Беять пресс;. э30Бэ!.11е;,~ып)!Эсэ 0': и"'!э БР.:: !! ле БОЯ чэ с тей БНОЭ'ло:.11л ( 3. 4 ), '7,3 с чч 8".м; ' ОГО, ч'::.".! Ф (Ю. х)=0 Гаси 84 х, Беох!! ".' ''Ое!! 'л !!!!теГО;1:.'ТОБЙ:; н ~9 ."'0~.:!1О 3:.- :.!Е! ЫТЬ 1:.О О© ОЮ Х15)=5Е 5~19 ~Ф(8, Х)Д(х)Фх = ~ Ки)дХ) Ф(6,х)Г ЙЮ.

(4.:;('! б -оо: ~ -оУ д 21 БО Б 1"'; 1ЭГ:'! ° ("' ° >!') "58 11~св,х)е !~В= ~ йсд, х)е ИВ =У15,х)е . (4.41,' о ' ° х У'' '.::.' - '' - ", '. *„' . 1т!!:.,"!~ .-.~ 'О '. ".~!~, ': '.''„' -3'- - ~ = ' '! а ,,~С.':! 3.33Д3-10'."Б'!О .':.: .О.; 30 г' С11С'.:О.:8 Б .':"О' !Е!!'~' Х = 0 С' .!!с: ', ",о,...,; ».,~ "111; 1 ~""! !;...,1 ",т. 4 ',5,.!) !!!1::!!.'!."~ и ..1;:„о:.

!1!.'е!и,:.'',:,БО!и ч н'1~;;!!3 30:..'!11!Ть 1!э чт0 !.300 082101!!!8 БРОД!!'з1"О с.'Гна. й Х ( 5 ) "а.:"!!.' по ОО ~ОЗОБО:!. !1! „.ЭГ.~Оса От Про!!3Б..!1е!1!И, У!5, Х) 50 (х). .:!ОС «О-'1Ь!1'1, ОСС:;а'.' >!: Га" -: 'з$ СЬ»3Ь ~:. '.%.. Х:, !Х~:;»', '1„'.~,,"'", !С,: Г1!э!ьного соотнопе!!!и Ф ':2.1,. ( ' .,: ., -!чес!1О 3 !3 ре111зння основной задачи анализа не велико. Обоб1~енная передаточная Функция используется для анализа устойчивости нестациойарной системч, поскольку расположение ее полюсов связано с поееден11ем нормальной кжпульсной1 реакции системы.

(;вяаь Обобденно1'. импульсной пеоздаточной '.:«;н1;>п>111 с .~>йврз11- ЦИЗЛЬНЫМ ЪОЗЕКЗНИЕМ, '«.ЗК 11 ПЗРОЫЗТРИЧЗСКОй„том*ье НОСИТ ДБОЯК1Г>1 характер. Выведем ураензнпс е збласт11 нэемени. Л,л Этого есспо,1ьзу8мся сопряженнымн уравнении'";с1 (3.18) (3 20) У1>п>ОВЗЯ п»авыз левые части этих ур«аьнз1н1й на 'а н интзгрг>1оуя по 9 От 2 — е до, получ1пм1 с учетами (4.41) а а -Л» -М' -~» -ж (-1) — ~а ЖС1ю,тм ~+" - — [а (абс~,~)е ~+а г»Ф(~,»м =г(4 -М" т ФФ -~Г -дЙ «>и,ие -(->> — „,[ь <т>ао,х>е 1+ -+с~,<т>а<а,жм где СО,~) есть Обоо>1811ная передаточная ф~~ц11я, соотезтстеую'[ая укорочз11ному ураензн11ю. -Я" Палее от множытзлей1 е .

ио~но осеободпт1 ся, хак 11;"р.:;: ечеоде уоаенення (4 .33) ° Види;;., что пгоядо1' „:':;аензнпя У(~,й) е области еремени равен пооядку диКатжн1".'.;З>1ьного ут«ап1зн1н системы. ![3;краензн11Я (4-42)ъ епрочз;., как >1 нз еытэа;1зния (4.41)~ следует физический смысл оооб1»анной передаточной $ункп11111 с -Ю» точностью до многлтзля е она яеляется реакцией согдянен11ой сис емц на еоздейстепе е " 06 ураенз11и1'. Обоб':.>зн1101> пзрздатОчно11 йу'>1",ц131 Б Област"'ко,1- плексной переменной мо;.Но сказать то ыз, что и об ураепзни11 гараметрической передаточной иу11к1д11.

Прокт11чес1«и>й1 интерес проставляет с.»учай спстемы с пзре1>1знными::оэс~Ь11ц11онта.;. е е „"..з пол:1нома первого пня,":..ка. Выезде.'. ураьпзтп18 Уел,т) для с11стз.",.и, ОН11сыеое- ~'.011 Дзаенен118'.л (4.43).,„":.'Я этого зоп.'Гз~,: урае11зн118, '«з.'ен11зм НО- то~:Ого яеляо" ся н~~;:."„11>Н1«11 ":...—, Н>1Х УСЛОВИЯХ: 71 а ®(В,х) с~и~(8,х) а ' +" +а — '-+(а +а Ю)ю(8х)=А8-х). » ан» ~ (~~ м а~ (4.46) Введя переменнув и, =8- х вместо 8, получим Ф "ш(х+ В, х) ба(х+ х,х) а ' +" +а п Д~ю» " .1 а~ц м»~ — +(я +а х) ю(х+ 3~ х )+ +а ~ и(х+я,~) = д(~), Найдем преобразование Лапласа от правой и левой частей этого уравнения.

Имея и иду (4.38), теорему дибцяренцирования оригпна- ла при нулевых начальных услонях (~.19) ;. теорему дифференцпрова- ния в области комплексной пе-м;энной (4.35), получим а ~ Пю,~) " ~ ВЧЕМ,~2+Са а ~Фсг п-а » а У(5, х) » ' ' ' ~р р~ Таким образом, в данном случае диу3еренциальпое уравнение для Ч(з,х) имеет вид ФУ(3, Ф')» -а ' +~а з +" +аз+а +а х1Ч(~,х)=~. р~ ф~ » ~ ~ о~ астот епе аточная к н .пп:ейной системы определе- на следующей формулой: в Г<р,5)=~ЙВ~Ф(8,х)е е Йх о Или, что то же самое: Г(р,ь)=~Фх~ЖЫ,х)е "е Ф8. о х Видим что бичастотноя псе„.!сточная цунк.,я опоеделепо ка-, двумерное преобразован; о . =,:.са .:.;пульспой порах;дной йук;;.и;, и является. функцией глух ". хл'лсксных пе,"..емонннх л;..

Р . Нер— вая переменная з соотге:стг,:ет преобразованию И8х)по Ю, вто- рая - р - преобразовап.-.' го х . Из (л.44) и (4.25) с;.сдует связь бичастотной передаточноИ ~ )~ч".кцип с параГ.ест!ческоЫ: -(з- р~ е Г(ць,)= ')~(р,в) е Ф8, а из (4е45), (4 е37) - с обоб 'анной: Г®8)=,~У~5>'и)е с~~т, (ф ф>~~ Видим, что бичастотная передаточная функция Г(р,з) есть преобразование Лапласа от произведения Жр,8)е по времени 8, а Г(з-л,ю) - преобразование Лапласа Кй,х) по переменной г Форщлы обращения позволяют перейти от бичастотной передаточной функции к параметрической, обобщенной и импульсной переходной.

Для стационарной системы бичастотная передаточная функция выражается через У(з) Гср,я-лфьг гр)д~р-з), (4 48) ' Действительно, формулу (4.44), учж, что Ф(д>х)=Ф(О-х), можно представить в 2$де Г(р,з)=~йВ ~МВ-х)е е ах. о Введя переменнуа р 8- х вместо х, получим с учетом ср-з)а -ру ~р-ав Пр,л)=) е ЙВ~Ь(ре "~=Уср)~е ФЮ. о д Ф Отсцча, принимая во внечание формулу, подобную (1.40); ) е ~й~ яф д~р-я) (р-з)д имеем выражение (4.48) . Бичастотная передаточная функция связывает изображения Лапласа входного и выходного сигнала при цулевых начальных условиях: с~~о ХСз)= —.) Г(р,зИ(р)ЙР, (4 49) Лег-Фь ' Эту формулу получим, например, из (4.30), если возьмем преобразование Лапласа от правой и левой части последнего и учтем (4.46). Для стационарной системы формула (4.49) принимает вид (4 .3), если учесть (4.48).

Связь бичастотной передаточной функции с дифференциальным уравнением можно установить, используя уравнения (4.31), (4.36) совместно с выражением (4.46), или уравнения.(4.43), Р .43) Тогда формула ~4'.55) принимает ввд Я,Щ,Ю,)- — ~йф)~~фи)Я ~и~е' ' ' Ыи. -Оо Видим, что корреляцдонная функция выходного 'сигнала зависит от своих аргументов 'не иначе как от их разности. Значит, выходной сигнал системы — стационарный ~если, конечно, постоянно его математическое ожидание). Вводя переменную з 6',-8е , последнюю формулу мОжнО записать в Яде Х ~~> — ~~и~/и)~ Ю~~ю1е~ Ы~..

«Э Сравнивая ато выражение с (1.34), видим, что спектральная плотность стационарного выходного сигнала системы Ю ~ ) опреваляется ранее подученной формулой ~4.19). К етому результату . придем, рассматривая применительно к данному случаю и формулы И 56) И.5~) . вязи ме- пе е аточными ъ звеньев и их со е (4 Ю Передаточные ~>ункцпи параллельного соединения звеньев (см. рис. 0.1,а) равны сумме' передаточных функций звеньев: нй,д) нь,д) В ~з,д,); (~ ~) ~~ ~8 ~) + ~~~~ ~) ° С4.60) ПР )- ~(Р 4' ~~<р,~) Эти формулы непосредственно следуют лз ~З.ЗО) ' Определений передаточных Функций.

Передаточные функции последовател.ного соединения звеньев ~см. рис. 0.1,б) определяются ~;Отуламн сей'оо )КД6) ~— .~ Ндй,й~',~'Р,,це ~ ЫЛ; с-р В~/ао ~9, ~- —,.~ Г,О,~)~ГЛ, ).е' Л; (4.%) П~Ф»4~ —, ~' Г ~'Я,э) Г', ~р,А) ЫЛ, И.63) ~,1 с-/ю которые можно получить из выражения ~3.31) и Определенгй пере,,а- точных Функций., '.!:.'и ПО основе Описания последоьательелго соедп- 7б, Конечно, урэБнониз (4 .64) 1о.::.Но рассмэтриБать как интегральное ли1 ь после подстэноики Б него Бырэженхя (4 .46). УраБнения (4.64) — (4 .67) БыБодятся из (3.32) и определений передато алых ~ункциИ или на осноБе описания соединения с обратной СБязью урэБнониями, состаБленньии с помощью сБязей Бход-Быход, которые устанаБлиБают передаточные оункции.

",еое аточные й и элементарных зненьеБ. дифФеренцирующее и интегрируюцее зБенья яБляются стационарными и' имеют соотБетстБенно передаточные соункции УЙ)=л и Щ=- . Бичастотнэя пе1едэточнэя функция усилительного зБена, как следует из (4 .44) .:. (3,37), имеет Бид Г['~ь,з) - ~ а~йе ~~ сИ -А(р-г), где 41Л) есть п....еобразоБанпе лапласа функции а®, а Л=~-г . Передаточная функция стационарного усилительного зБенэ Ф(з) =ю Г л а Б а У. ОГИСАЕ1,Е ЖППЙНЫК НЕРЕРЫЭНЫХ СИСТЖ1 СПЖЛРМЛЬЫЮИ ПРЕОБРАЗОВАНИНЖ Системными характеристиками Б этой форме математического оп".сания систем упраБления яБляются три нестационарные передаточные $ункцип, оаредептемые относительно ж1рокого класса сист.;:,; ортонормироБэнных Щнкций. Они описыБают системы Б об!',е'.л случае на конечных нестэцпонарных интерБалах Бремени ~Р,~~ ..;и е -Ба,", 'Бременн, на котором рассматриБается спстема, остестьонио,:.:оа;,.

быть за.'11Б',сиро Бан. ~ 5.1..'1естацпонар1 ые перед .точны=:.„' и:;:,'. ~1остэцпонарно11 нормальной передаточио.'!;::.,1п; '..о.,' л;ней;1 й1 с1'сте лы назБэнэ 1'естэцнонаонэя спектРа льная хэ "экт".',':хтика ее ;;о мальной н"..пу'1ьсной реакции с."тотемы: й Я 1, т) ~ у ('$, ~, Я Й ~В, ~) И6. О 1оедстэБляе "ся эта 1е,"е1 э"о.1эя фу1 кц11п б'.с'о 1еч ой .:э""бацай столоцом, 11естационарной сопряженной передаточной функцией линейной системы назьана комплексно-сопряженная спектральная характер.'.стика ее сопряженной импульсной реакцин: 6 У РА Ж У Р Р Ф,'г)й(В,т)ап (5,2) Ф Предстаьляется эта передаточная фун,"ция бесконечной матрицейстрокой. Дьумерной нвстационарной передаточной функцией линейной сис:вмы нозьана дьумерная нестационарны спектральная характеристи'.а ее импульсной пваеходно." ункцнн".

'Ф' (5.3) Эта передаточная функцпя предстаьляется бесконечной кьадратной матрицей, где 4 — номер строки; ~ - номер столбца. Ясли длина интерьала ьремени 8 факсироьана, то матрица дьумерной передаточной функции яьляется чпслоьой. Учитыьая услоьие физической реа.-шзуемости пмп~льсной переходной функции (3.1), ьерхпие пределы ;:нтегр~гроьанпя по ь (3.2), (5.3) мо;":.но заменить на У . :анормальная, сопряженная и дьумарные передаточные функции являются аналогамп сов"ьетстьенно обоб;цен~.ой, параметрической и бпчастотной передаточных ~„:пкцпи, ,сссмвтрвнных ь пре.,ццуцей глаьв.