Формы математического описания линейных систем

3 Ванном учебивм яоообии расоматрвааивса фора митематичеоиого описании линейных''иепрерымп3х систем уярезцеиии с цетерииирозаиип3я и соорецоточеи3пи3И аареметрами. Дреице зоеге еярецелим иласо изучаемых систем уцразла3ии, или чего остаиоммон иа ялассифн3а33ии математичесяих моцелей Систем» 3Ьтемвтичесиаи моцель системы уяраажеиии - ато пара оператор систеиа3 и юцець зиепаа зоецейстзий".

Операторея сиотеи3 иааызаем эаиоы, в соотзетстзия с иоторми систе3е зреобрааует озон зыеаиие (зхоциыв) зоацейатзии з змхоциыв.'1Ь знцу оператора системы уяразлеиий целим иа: И линейные и 3ныппмйиые3 2) иеярермзиые, цисиретиые и непрерывно-дискретиыв; 3) нестациоыариив и ста33Иоиарине; 4) цетврмзиирозаииыв и стохастичесяие; ' 5) оцюмериые и многомерные; 6) с сосрецоточенними и с расярецелеииыми параметрами. По зицу сюих моцелей зиемние зоацейстзии хая фуиищив зремеии целим ыа: Х) нвярермззые (Фун3п3ИИ непрерывного аргумента) ж дисирет нне (фуыфции цисиретюго аргумента) ° 2) цетерминирозаниые и случайные; 3) оцномерыые и мяогомеряые.

Ъобн ялассифицярозать юииретнув систему, зуиыо уиааать иа мест,ь ялассоз, и Воторым ярииацлеиит оператор системы, иа перечисленных яке нести пунятоз, и аналогично указать иа три зласса, х которым прикацлеиат знемнив зсецейстзин системы. Например, хонкретная система упразленин юает оквзатьсн линейной непрерязко-цисяретюй неста33нонаркой цетерыинирозанной оцюйеуной с сосрецоточеиннми параметрами, кахоцямайсн поц зоацейстзием непрерызыого случайюго оцномеркого зоацейстзик. Называя в начале введения тид системы, который изучаетск в пособии, мы указали линь'на четыре" класса. Это означает, что зиесь изучаютск системы лиаейиые непрерывные с нетерапироваы- ными и сосредоточенными дараметрами как стационарные, так и ые- стационарные, как оиномериые, так и многомерные, которые нахо- актск под воздействием детерминированных или случайных сигналов, ,оцноме$%ых или многомерных Ялк описании воздействий на системы выходных и промеиуточ- ных сигналов в теории управления используютск сленуюыие три форзы: И представление сигналов непосредственно как Функций вре- мени с помощью злементарных, специальных и обобаенных $ункций; 2) представление сигналов с помощью интегральных щявбра- зований;, 3) представление сигналов с помощью рядов (специальвие преобразования) .

Для описания собственно систем управления используются сленуюиае Формы преиставленик их операторов: 1) ФиФФеренциальными и разностными уравнениями; 2) интегральными уравнениями и иж дискретными аналогами; 3) с домоаью интегральных преобразований; 4) с помошью спектральных преобразований. Перечислив математические 4ормы одисания систем, вернемся , к классификации их по виду операторов. Поясним названия классов операторов на примере описания систем дифференциальными или раз- ностными уравне~. Линейными системами управления называем те, которые описываются линейными ки44еренциальными уравнениями; нелинейными системами - такие, которые описываются нелинейными ци44еренциальными уравнениями.

Аналогично строим определения других классов систем. Недрерывные системы описыважся дифферен- циальными уравнениями; дискретные - разностнныи; непрерывно- дискретные - диЦжренциально-разностными уравнениями. Нестацио- нарные системы описываются дифференциальными уравнекиями с пере- мекными коэффщциентами; стационарные-с постоянными коэффициентами. Детерминированные системы описываются уравнениями, коэффициенты которых являются детерминированными величинами или функция- ми времени; стохастические - уравнениями, коэффициенты которых случайные величины, или функции времени. ОцноВременные системы имеют оцин вхоц и один выход, они могут быть описаны оцним цифференциальвам уравнением; многм'..р .- системы имеют суммарное число входов и выхоцов, большее двух; они описываются системами дифференциальных уравнений.

Наконец, системы с соорецоточекными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями; о распределенными параметрами - уравнениями в частких .производных. Пособие построено пп следующей схеме. Оначала описываются формы математического описания сигналов. Этот материал использует свецения из курсов математического анализа; операционного исчисления, случайных процессов и потому в значительной своей части цается в обзорном плане.

Затем рассматриваются все четыре Формы математического описания систем с освещением слецующих вопросов: опрецеление системной характеристики в данной форме математического описания; ее физический смысл; простейшие способы экспериментального опрецеления; связи вход-выход, которые она устанавливает при цетерминирован- них и случайных воздействиях; связи между системными характерис- тиками отцельных звеньев и их соединений: параллельного, после- цовательного и с обратной связью ~рис.

О.Х.); связь системных характеристик в различных формах математического описания; характеристики элементарных звеньев. На изучаемых связях основывается решение зацач «ак анализа систем управления, так и их синтеза и идентификации. Практическую значимость изучения упомянутых связей можно увицеть хотя бы на примере решения основной задачи анализа системы управле- ~1 Рис.

0.1 Соеципение динамических звеньев: а- параллельное; б- послецовательное3 в- с обратной связш ниа определения реакции оистеыы или ее статистических характеристик при заданном входном цетерминированном вли случайном воздействии уу~~ и заданной структурной схема'этой системы, например в 4оуае, изобракенной ыа рис.О.Яр, с описанием всех звеньев (в данном примере пяти звеньев).

Эта задача в любой форме математического описания монет реиаться по следующей схеме. По известнж характеристикам звеньев анализируемой системы с помсаью связей для параллельного, нослецовательного и с обратной связью соединений находится характеристика анализируемой системы. Тем самым слоиная структура системы своцится к зквивалентному звену с входным сигналом ~Ч~) и выхсцным х(х~(см. рис.0.2,б). Лалее с помощью связи вхоц-выхоц по зацанному воздействию ру7-) или его статическим характеристикам и найценной системной характеристике вычисляется реакция системы или ее статические харак- 6 твристкии. ! 1 ! 4 Вес. 0.2 Пример яреобразозакиа структурной с~емы системы: а - исходнак система; б - зизииалентиак система Подобным образом схемы рвиекик других задач анализа, спвеза, идвнты$икации яодчпмютса инутрежвей логике самой задачи и Фактически не зазвжт от исяользуемой форин математического ояисании системы.

Одну и ту ые задачу анализа. синтеза, иденти$ыдации системы уяраяленик, в яринцияе, моино реыать н любой из четырех Форы математического ояисаниа оистем. Яды «ониреткого тияа систем, конкретных задач трудоемкость иычислений и различных 4орах математического ояисаниа, иа яразило, различна. Это и застаилнет набирать в иаидом конкретном случзе ту или иную форму математического ояисаняк. Ввает, что целесообразно . менять Фора ояисанин на том или ином зтаяе раочета. Ранение одной и той ие задачи з разных 4оуаа математического ояисаниы является одним из самых мощных способов контроля достоверности и точности результата.

Таким образом, проектировижк системы управления цолиен представлять хоц решения своих задач и любой форме математического описания. Изучение форм математического описания систем управления - задача цанного пособия; изучение задач анализа, синтеза, идентификации - последующих. Г л а в а 1. ФОРМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИИ . НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦ;ЕССОВ $ 1.1. Описание цетерминированных одномерных .процессов Описание процессов в системах управления (внешних воздействий, выходных и промекуточных сигналов) непосредственно как функций времени (другими словами, во еменной области) произвоцится через элементарные, специальные и обобшенные функции. В качестве типовых воздействий ~тг) , по отношению к которым определяется 'качество различных вариантов системы, часто выступают функции времени, описываемые полиномами, в частности, оцночленами: ~п) - и"' ( и = 0,1,2,..., - тригонометрические функции типа, ог ют, сю~от, гце частота ~, рассматривается как параметр).

На выбор типового возцействия, естественно, оказывает влияние его близость к реальным внешним воздействиям системы. По форме выходных процессов как функций времени сулят о качестве системы и ее устойчивости. Среци обобшенных функций, наиболее часто применяемых в теории управления, слецует выделить дельта-Функцию и ее производные. Без использования этих функции нельзя было бы построить ооврененнун теорвв упревненнн. Левые.~уннввн ф -~еу, онешенная относительно начала координат на время ~©, зацается (1.8) Соотьетстьующие формулы обрацения выписаны нике: С+ ев ~ Р(Ф1 Фб~ - —. Х®е Шы; (1 7) 1., ~' ф и)1- я~И - ~~ ~ Х(~в)е~~~~м, 1х(6) ~(~3. ~.

хют Ъ . ц~ ~) Ь~у',. р~ Ограничения ь применении интегрально преобразований, естествен- но, сьязаны с услоьпями их сущестьоьаняя. Обратим жзланпе на тесную связь преобразования Фурье с преобразоьани„ . Лапласа. Преобразоьание Фурье некоторой :";~ункцпи х (г), имеющей как преобразование Фурье, так и преобразование Лапласа, получается из,ее преобразования Лапласа, если послед- нее рассматривать не во всей плоскости комплексного переменного ~ = с +ро, а лишь на мнимой оси, т.е.полагая ~-,йо:Хсм)=Х(~(ю). В теории упраьления приходится иметь дело не только с (~ункцнями одного аргумента., но и с функциями дьух и большего висла арф ентоь.