Формы математического описания линейных систем, страница 2

Для описания функций дьух аргументов пополь- зуются дьумерные пнтегральные преобразования и т.п. В частнос- ти, бу„ег. попользовать двумерное преобразоьанпе Фурье ь форме ф ( М~ю +1~~Иа) Х( а„и,~- ~ Ь~, ~ ~;,т,) г а.. 494Ъ 4Ф П е'"ставление поо 'ессоь ахи яьляется довольно уш1версаль! пой '„'ормо,"1 .'|х оппсанпп. В основном используются ортогональные ряды и ряды Тейлора. Эту форму мо;хно рассматривать как промеку- точную мекду оппсанпем процессоь ьо ь,.еменной области и инте- гральньы преобразоьанпжп.

К перьому способу эта форма тяготе- ет ь тех случаях, когда оперируют собственно рщом как функцп- е ~ ьре...~они; ко второму - когда коэффициенты ряда отрывают от ряда и ьо ьсех ьыч::сиятельных операциях используют лишь совокуп- ность этих кож4пциентоь. Последний подход привел к формироьа- нпю спектральной цормы описания процессоь Я , [71 . В этой 1ор;,.е ьоеменпые процессы рассматрпьаится на конечных, ь обцем 11 ф й л 4 =/~а, Вид,~,8, ..., й=д,г, ...,~р при при где где )' ~ ~, ф - функции Рж))емахерав ЯЪ у' ~ ~р) .зцръ(вм — ю~, м д,У,...,' Осга1. ' о Нестационарной спектральной характеристикой в общем случае комплексной функции времени Ф® по нестационауному ортонормироввннову бввиоу ( о~,.

~ 1,и)) нваванв фунннвн ХТв4, орнннввани которой являются коэффициенты Фурье функции времени д,(з3 по указанному выше базису: 5 ) и~в)1 - Х Щ) - ~ ~ ~ж, о в) в~в) йв . 9 9' о И.Ю) ХГЕ) = П О ПИСНЕОЕт 1))вн)пц1Ю Б'„..! О ОНИ Р ПТ)О н О Лак ПО1)О'.)ЕННОГО ОтТвезпо РЭЕ ):.е))п 04 т ( Е, О птх. )п1 с.';1)ово11.ю... 1 — на стд..,понар- ПОТ.: О "Т)ЕЗКО. Оот).". )тз т)бт)с'..;.3: '"1 сне':тРОль110,"в ..'с'.'зхтсоист:Гл". '"':: Ое>. х;"„': Здесь 9Ц'+,Р,г3 — формула общего числа ортонормированной системы функций ~у.~ф)~. Индекс этой системы пищут под знаком спектральной характеристнкив указывая, относительно какой базисной системы функциИ она определена.

Одномерная нестацнонарная спектральная характерист1пса являатсл щзкщтей двух арг.„т)Онтонг: дискретного ~ и непрерывного . Она представляется бесконечной матрпцей-столбцом, например, прп ~ -У,Р,...: тов ' ' ',Г~ ~ у~ у не иначе как от их оэзнсста д~ = ~;р — Х~ . Позтому корреляплонные ~';"„нкции стационарных случайных процессов мозно рассматривать как $ункш:и одного аргумента Ю (т;-г ) = У (у); / Л,)~ „~, (~) . Очевидно,что Р (~)-У(-~),но ~.„. ~д)- - Ы~~-у) „дисперсия стационарного случайного процесса постоянна во времени: 3 = сиьИ Нестационарный "белый" шум имеет корреляционную функцию ви- У„( г„т,) - 3,(т,) д'(г,-т.), У стационарного "белого" шума интенсивность постоянна: .~, =аюм~, а его корреляционная функция может быть записана в виде ~ (~„гы - 5,К~т,-г,) „ли И„(д) =8,д'~у).

(Х.Зг) С помощью интегральных поеобпазований можно определить ха- рактеристики случайного процесса, эквивалентные моментным функ- циям, как преобразования последних. Наибольшее применение в этом случае получило преобразование Фурье. Преобразование Фурье корреляционной функции стационарного случайного процесса носит название спектральной плотности этого процесса: Ф4~ -/И~ 5 ~и) -' ~ ~,~Г3~ ~~. П.ЗЗ) Эта характеристика в силу сю"петрин корреляционной Функции сказывается вещественной функцией частоты ы и симметричной.

Формула обращения позволяет переходить от спектральной плотности к коррелщионной ~гункции: г уйти ,'г З;,) Ч (р)= — ~ 5 (й)Ы дй'. 8х Очевидно, что Д = — ~ 5 (ю) Фэ = — ~ 5 р4 4ю . г /' Х ЯЛ м' Я;,Ф Спектральную плотность стационарного "белого" шуыа найдем из (1.32),(1.33): 5' ~и») =,5 = сои (1.35) В, часто называют уровнем спектральной плотности "белого" шума< Преобразование Фурье взавеой корреляционной Фнкции ста- ционарных случайных процессов названо "взаимной спектральной плотностью" этих процессов: 5" ~ и~ ~ Н(ци~~Я' П.ЗН Имеет место соотношение Я~ (' э) =.

У~ ( ю) Математическому ожиданию и корреляционной Функции нестацио- нарного алучайного процесса можно также поставить в соответотвие их изображения. Причем во втором случае нужно использовать дву- мерные преобразования. Дудам называть второй спектральной плотностью нестационар- ного случайного процесса двумерное преобразование ( Фурье ) его корреляционной 45нкции: ЮЮ -р~х рУ, Я ~'~,,Ю,) - й Д(в,~,)г Ь" . (1.37) Нетрудно показать, что ~„~и,, ю-4Г» ~ )к„с м1 сх > где Х ~ а) есть преобразование Фурье центрированной х <т) составляющей случайного процесса.

действительно, мозно записать -(МЦ~ Х ~ю) = х ~г)8 Ыг,', Р имея ввиду„что х „- вещественная йункцля. Перемножая п»а.,ые и левые части' последних двух внраке|п~11, получи'.1 Х,'й Х ® .,математическое ожидание многомерного случайнего процесса представляется в нее (1.52), а его корреляционная функция - в виде квадратной матрицы: У„, (~„г,) У, ('~„т,) ., К„(т„т,) (1.5~) У,, (~„г,) У,,(т„х,),., У,, (~„~,2 Пдтмоугольной матрицей представляется взаимная корреляционная ";;ункция многомерных процессов х~в2 и ~МАЙ): Г <~„т.~-[И ~~„т,)~, ~~, ', '" ' ~~ ~б> Первые спектральные плотности многомерных процессов представляются и виде (1.53), а вторые взаимные спектральные плотности многомерных процессов как нестационарных, так и стационарных— в ы~де (1.54), (1.55).

Подчеркнем, что нестационарные спектральные характеристики многомерных процессов представляются клеточными матрицами. Г л а в а П. ОБ1САНИЕ ЛИБЕИНИХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИС. "1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО УРАВНЕНИИИ :.-', 2.1. Одномерные системы '2дномерная, в общем случае нестационарная, система управлеи'я с входным воздействием д"® и выходным сигналом ~® мокет :и:;ыьаться а.,н: .г лил аренциальным уравнением с переменньыи копцлен""о." .: м~,. ~.~ ~"ИМ ~'~" ~ ~ю,»3ж. »'~м ) ф~» ~ д, ~~)д~~~ Ц Подставляя скда корреляционную функцию "белого" шума о еделием ~ лой (1.32), имеем согласно (1.1а) пр ~ГВ форь у ~ ~'"Зд~Щ Ы"" 5у» Е ~д", ю Я~~6 Анализируя производные определитим Д ('У,г), задаваемого ~ар- мулой (2.10) ~ "ж У ФЮ" Ф~ (Ф') ~М (~') ФЙ Ф' М~ ~Ф~ Ы" Л,Яф~ ц»-с Ф" ~х) Ыю' й~" ~$е~2 Фх" " для различных ф' ~ ~~ ф$~ видим» что они равны вулис при вследствие.

совпадекюя строк в последнем определителе, для , 1-~, ..., е4 . Лишь для 4-ю а.а производная не равна нулю при О=х и после переноса верхней строки на место еамой нижней сна представляет собой определитель ф~И , описываемый йюрмулой (2.9), с точностью до множители ~-~)~ ' = И)"'лИ. у-~9 Лозтому имеем 0 при М~~ к1- Фза- » при ~=к . Яа,„® учитывая последний результат в (2.16), по~учаем систему (2.15). Дисперсия входного сигнала системы управления в обозначениях системы уравнений (2.15) есть 2У„ ~Ю . 1(ак виаал, связь между статистическими характеристиками выходного сигнала системы и его .щюизводных и характеристикой входного процесса ~ неявная.

ЗО Ус тель ов звено имеет уравнение 4'(Й ЮМ 4 ® ъ, (2.37) где ஠— коэффициент передачи звена. Голи звено стационарное, то а - ажг8. ди43еренцирухщие и интегрируйке звенья яр "яются обратными друг другу. На отру".туллх схемах дпфференцирующее, интегрирующее и усилительное звенья изооражаются тэк, как показано соответ~щанно на рис. 2.1, э,б,в.

Рис. 2.1 ~словные обозначения элементраных звеньев: э - дийФеоенцирующего; б - интегоируюцего; — л;илительного По дифФеренциальноцу „'равнению системы (2.1) может бнть построена ее математическая модсль, представляемая через элементарные звенья Гм. рис. 2 .2). Для этого нужно уравнение (2.1) переписать в виде (2.38) 3 схеме на рис. 2.2 низшие производные выхолного сигнала системы я® получаются как сигналы на выходных цепочках интегрирующих звеньев, на вход которой подан сигнал ~ ~- . Последний мЮ образуется по уравнению Г2.38).

Начальные условия могут быть представлены,как постоянные во времени воздействия, приложенные на выходах интегригуюших и входах диФференци рую"ци звеньев. По схеме на рис. 2.2 производится решение уравнения (2.?) на аналоговой вычислительной машине. ~ 2.2. Многомерные системы :Многомерные системы имеют~ входов и ~ выходов (см. рис. 2.3). Они описываются системами уравнений, каждое из которых имеет в обцем случае порядок, не равный единице. Широкое применение в теории управления - пою~учило описание системы управления системами уравнений первого порядка: — ' — ~- Х аЯжЯ ~ Е ~..~Д~~(9) ~ -~л, .;.,в, (2.39) 9 ~ 1=~ Ч или в векторной форме ~~~= Ф~®ФМ Вм~®.

йЗ (2.40) Здесь "с, 0' - матрицы-столбцы многомерного выходного и входного процессов, размерностью ж х~ и юк~ соответственно; ЯИ)=~и, ~Е)~ Я®= ~~.®1 - матрицы коэффициентов, размерностью в~в и е кж соответственно. Обычно и < м, . МатРицУ-столбец ж назы- Рис.2,3. Эквивалентная схема вают вектором состояния систе- многомерной системы мы, ее элементы — компоненты вектора состояния, а уравнения (2.39) - уравнениями состояши. Выходные процессы систеж управления ~ ~ Й =/,...,р~ часто не совпадают с компонентами вектора состоян1 я, и их число меньше размерности вектора состоян.и: ф < м . Связь выходных процессов с вектором состояни'1 описывают ура;ненпя выхода: у~~О~ = ~" с ~6) ~; Я ~=/, ~Р, (2.41) или в матричной форме ~ 9 (Ю1 = д(Ю - С(рЗм(Ю, тне С® =~о .Щ1 — метрнне ноефрнннентот реемерноотью,охм. Ь, Матрицы коэ44ициентов Ф , 8 , С являются характеристиками системы управления.