Формы математического описания линейных систем, страница 3

Одномерная система управления также может описываться уравнениями состояния и выхода. В этом случае ж-~,,о 1 . Связи вхо -выход. уравнения состояния и выхода задают неявную связь между вектором состояния, выходным процессом и внешним воздействием. Явная связь устанавпивается формулами Коши: 6 м(6~= Ф(90)ю(0) ~ ~6ЮЩт)~(т~Шт; (а.нз) уЯ) С(Н КВ,Й ЖГЮ + С(Ы КВ,~) ВЯЖЯ сЬ, (2.44) где У® — начальное значение вектора состояния; Р~д,~) матрица Коши, или переходная матрица, являющаяся решением однородного матричного уравнения ~~" - р(р) р(ю, Фд связанного с неоднородным уравнением (2.4О) при начальном условии ~Р~И,Й ~~ Б . для стационарных систем фюзи е~е-т> ~ ~ф(д т11т 4)~6,~) = е = Е р-о Первые слагаемые в (2.43), (2.44) представляют собой свободное движение системы управления, вторые - вынужденное.

Пусть входной многомерный сигнал ~® является случайнюи, начальные условия ,У~О) тоже случайные, статистически независимые от входного сигнала. Найдем выражение для корреляционной (йункции многомерного выходного процесса у~Я . Для этого образуем произведение ф~9)ф ~Ю), используя (2.44): Г л а В а 'Л. ОПИСАБ!Е ЛППЙНЫХ НЕПРИ'ЫВ! ЫХ С!!СТО 1ППЕ1РАЛЫИЛ! УРАВНЕНИЯ!!! В .1.1. Одномерные системы мп льсная переходная фщарщ. Системной характеристикой В'рассматриВаемой $орме математического описания систем управ ления яВляется импульсная б>ункция.

Ре физическое определение следуюцее. Импульсной переходной функцией линейной системы й !' ~,~~ назыВается реакция системы на 'жоздойстВие В Виде дельта-функции ~® = К~ 9-~~ . Поскольку параметры системы упраиления В общем случае переменные, мгноВенное значение этой реак~п~и оаьисат не только от момента ее наблюдения 9 , но н От момента приложения дельта-с)ункции г .

Поэтому импульсная переходная функщи заиисит от арг.дентоВ 6 и т Ф1 Рис.Я.Х.Импульсная переходная функ ц$и: 1- нормальная импульсная реакция; ,З-,сопряженная импульсная реакция Импульсная переходная функция, РассматриВаемая как функция 8 при фиксиООВанном ~, назыиается ноюмальной импульсной реакцией системы. Импульсная переходная фчнкпия, пассматриВаемая как функция т при фиксироианном О , назынается сопряженной импульсной реакцией системы. !!мпульсная переходная 4~шипи моичт быть пзобОащена кок Яс~ерхность .

координатах д, т, 4 (см. рис. 3.1). Иа этом рисунке показаны нормальная и сопряженная импульсная реакции как сечения поверхности ЙЖт) . Из условия физической реализуемости (возмоиности) имеем МВ,И -О,чи т. 9. (3.1) Иногда импульсную переходную функцию записывают в виде Й~ОФ "М (~,4 ~ (~-В, (3.2) где 6 Ят) - функция, не обязательно равная нулю при $'~У, а Й( д -т~ определяется формулой (1.3). Я)щзь им ' ахо ой а и с' авнением систе.,~ы. Из определения импульсной переходной функции следует, ~то .она как фуи,ция времени О (нормальная импульсная реакция) яв жется решением дифференциального уравнения системы (2,1) прп нулеиГ~ начаРьных условиях и Д"(8) =4~6-Й) а ~В) "~ „"- +в(93~— ~ — ' ~ а,(В)ЙГар)=ЬФ™+-'А~Ю4а- ),(З.З', =О, 8*и стсщца, в частности, ясно, что с поведением нормальной импульсной реакции сжзана устойчивость системы.

Связь жхо- и ете Ованных воз ействияхе умножим правую и левую части уравнения (З.З) на о (т) и проинтегрируем по г ж -. ь . После очевидных преобразований получим ~~Уф ~ й(Ог)~~ФФ ...~аГРЗ-~-~ 4Яы~~Ь)йт ° а<Ю~МРф~~М = Ое 43О -ОФ -$„<0) — ф -...+1,<03~ф6. Сравнивая зто уравнение с (2.1) видим„что с~в,) = ~ МЯВ~Мйх. Ф Учитывая условие Физической реализуемости (3.1), имеем эквивалентное выраиение: а ~~6 Г "Ядр~>й ' ~з.4) Здесь интегрирование по т идет до момента Ю включительно: ~х~ д. Это и есть искомая связь, которую устанавливает импульсная переходная функция между выходным и нудным сигналами системы при нулевых начальных условиях.

Ясли воздействие ~Те) приложено в момент т -0 , то ению (3.4) эквивалентно с(8) = МЯВОМ~)Ю. (ЗЛ) У Иноц~а импульсную переходную 45'нкцию называют функцией веса. Физический смысл, вкладываемый в это название, становится ясным, если, например, в выражении (ЗЛ) заменить операцию интегрирования приближенной операцией суммирования жЯ~ ) = Х, Ф ~д Р,) ~(г„) лт, (3,6) где т„= кзт, к- ~,.„, ~ Видим, что значение А~О р„) показывает, с каким весом ордината входного сигнала в момент $'„ входит в значение выходного сигнала системы в момент 9„, з» Т~ е Полезно обратить внимание также на то, что значение выходного сигнала в момент 9 определяется взвешенными ординатами входного сигнала в момент 9 „ и во все моменты времени", предшествуюцие,,моменту О 'Памятью системы называется отрезок времени, отсчитываемый от данного момента времени О в прошлое, за пределами которого ординаты входного сигнала практически не влияют на значение выходного сигнала в момент д .

Павкть системы определяетоя ее сопряженной импульсной реакцией и зависит от времени О . Связи о -выхо и ейный воз ействиях. Форщ~лы (3.4), (3.5) справедливы и для реализаций случайных процессов. Далее будем считать, что система начинает работать в момент времени У=О = О и поэтому будем пользоваться Формулой (3.5).

Усредним по множеству реализаций правую и левую части вы- переходная функция в этой точке непрерывны и ран~ы нулю. Теперь ясно, что импульсную переходную функцию аг~ В,т) можно получить решением однородного ураьнения д~ ~~ш~Юг) ~4у~Щ д) ~~ ) ц (З ~~) Д~ ''' ~ Ыд о с начальными услокими ~3.26). В данном случае происходит замена дельта-функции в правой части уравнения ~3.15) ненулеьыми;лчальными условиями. Начальные значения импульсной переходной функции - Й~ И,~~ равны нулю при ~=0,~, „,,ж-м-8.

При ~ =в-м -~, ",и-~ они в общем случае не равны нулю и зависят от коэффициентов уравнения. Лельта-4ункция в правой части уравнения (3.3) также может быть заменена нулевыми начальными условиями. Ящ~еделение " а ого е о льсг ой пе еходной функции. Пусть известна импульсная переходная функ ьи системы в виде (3.24) и начальные ее значения: Требуется определить порядок правой и левой частей урзвнеппя ~2.1) и его коэффициенты. Порядок левой части уравнения е фактически изхес":он сро:;;, поскольку число слагаемых в ~3.24) задано. КоэКицие ...

и„~ '~ найдем из системы алгебраических уравнений ~' ~ (д~~~~~ о где принято а„ф3 =1 . Эта система получается подста; о;.о. однородное, уравнение, соответствующее искомому (2.1!, функции ~~ ~д), входящей в фундаментальную систему Порядок правой части уравнения ж наход::.":., зн.'.;. ~ - и ло которого ылючительно ~В. -0 .

Коэффициен-.ы;;,--:, -. ч:,; 6, ~О) РычпсГЯ8::.. По формулам ~б,с160~ Матричная форма записи последовательного выражения, имеющего смысл связи вход-выход,' которую устанавливает импульсная пере- ходная лункам многомерной системы при нулевых начальных услови- ях, имеет вид в жв/-Г4%/к~/' 0 и по Форме не отличается от (3.5).

(3.54) Ьге,х~ - С~е~аК ~8(), Г л а в а 3У. ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРИЯВНЫХ СИСТЕМ ИНТЕГРАПЬНй$1 ПРЕОБРАЗОВАНИБМИ Системными характеристиками в рассматриваемой Форме матема- тического описания систем являются передаточные $ункции, определенные через интегральные преобразования, в основном Лапласа и Фурье. .Подобным образом, используя матричное представление характеристик, моано обобщить на виогомерный случай все сжзи, рассмотреныые в 5 3.1.

3 заключение остановимся на пРедотавлении имщГльсной пере ходной фчпции многомерной системы, описываемой уравнениями состояния. В этом случае связь вход-выход дается фор//улой (2.44). Считая в этой формуле начальное значение вектора состояния нулевым аЯ~~ =б и сравнивая ее с .(3.54)„ получаем выражение импульсной педеходной функции многомерной системы чеоеэ матрицу % Коши: (4.~) найдем из нее Х®- ', ~(м * ФК® (4 11) 1+ К Ы Юа(5.' ,'1скоиая передаточная фуюп'ция 4Р! г) согласно 4ормуле (4,3) связывает изобраиения входного и выходного сигналов выраиением Х® = Д~® К® .

Поэ ому из (4'11) имеем (4.10). $ +...+~Я Ф~ (4Л) ©®В® + ... +й5 ~ ~~ Передаточная функция стационарной системы является дробно- рациональной функцией комплексной переменной ~ . Г"ликом, стоящий в числителе, определяется коэффициентами и порядком правой части дифференциального ураэнения (3 48); полином, стояЩий в знаменателе — коэффициентами и порядком левой части уравнения. Для физически реальных систем ~в ~ е~ .

Полюсы передаточной функции совпадают с корнями хЩиктеристическогс уравнения и Определяют, в частности, устойчивость систеи~. ~~йй.ий~~~й ° - ~ Ф» . ~„' ® - передаточные ФУнкции стационарных звеньев на рис. 1. Тогда передаточная Функция параллельного соединения (рис.0.1,а) ИЮ = и~®+~,М; (4 8) последовательного соединения (рис. 0.1,б) Ю® = й, ~ю ь',®; соединения с Обратной связью (рис. 0.1,в) Ю® - ~~') (4.10) ~+ к~й) Ке~) Продемонстрируем для примера вывод лишь формулы (4.10).