Формы математического описания линейных систем, страница 4

Рписывая соединение с обратной связью по рис. 0.1,в с использованием формулы (4 3) системой Уравнений ХМ Ф,И Е(а)' Х® ® Ц (3) ~ (3) ," Еге) 6'-М -Х,(~), Показательные' фуякцж~ - и тригонометрической форме: Йа)СИ~ЫЮ+ФСид» +~Ф~й4)йп ~йРЮ + ФМ» = - ~ 410-Нсосисис с ~) 416-с3ссвисис. ис' юи Отсюда следует дна соотношения, содериащие только нещестженные фяиции: ф~и)с,с1и9 'и~и)1 - ~ и1 сс-с1 ис иссси; в Ф(и1 сссс1иО ~и<и)1 = ~ иск-с1 ссиисис'. сси Оранниная зти ныражения с формулой (3.4), делаем нынад: если на нход стационарной линейной системы ж бесконечно прошлый момент времени подать гармонический сигнал частотной й , то наблкщаемый н текущий момент ныходной сигнал системы бУдет также гармонической функцией нремени той же частоты, что и ныходной сигнал, но амплитуда ныходного сигнала будет отличаться от амплитуды нходного сигнала н Дю) раз, а фаза на у~а~~ радиан, где ФМ и ФГМ - значения амплитудной и Мазаной частотных характеристик на частоте нходного сигнала.

Таким образом, гармонический сигнал янляется тем специальным сигналом, срорму которого стационарная линейная система не 1жняет, и изменение днух параметрон которого - амплитуды и Фазы-описынается частотной характеристикой системы. Аналогично монна'было бы рассмотреть 1~1ИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Ж15) ° ;,'а нпянленных закономерностях оснонан способ экспериментального определения частотной характеристики устойчиной системы с помощью гармонических ноздзйстний. Связь час'.отной1 характеристики с передаточной щункцией, апоеделенной с помо" ью преобразонанпя Лапласа, оченпдна: Ф(1и) .= иссс3 ( ' сс сс1' 10370"ц сР'сссс Б Х с ~ — е ы х 0 д,:СОРси70 ссс 'спОЕлссисс частотная ха'3Г'.

-".:;1ст1п1а "„'3.'" .",сте1,."'.'1ш:раненных нозде11стниях и нулсннх 11с 1С;1ь:11к услонлх, пыта;;с-" 1.я (4.3): (4.22) (4,Р4), ~п~слзниьи и и:~О; 2 чес'." о». !::ет цо1.' построен»л ч''' тот~'ы»'. характерис ":л с смн~~х с' 'о"~ 'она: !~ч»; '~сто"'. ь виде о:.".пл'Г-'бедных, »азовых, Х~'М = ~С~УМ ~( а) . ' (4.18) Связь в о - в ы х о при. случайном воздействии, приложенном к системе в беоконечно прошлый момент времени, имеют вид Л $(в) ~Куи~~ Г»и~, 5 ~ а~3 =Ю~~ау~уи~, ( ) где 5~М, $ йи), ~~9~.

- спектральные и взаимная спектральная плотности стационарных входного и выходного сигналов систомы. Эти жырааения выводится, например, из (3.44), (3.47) применением преобразования Фурье о учетом (4 .12), (1.33), (1.36) . Если входной сигнал есть стационарный "белый" шум, то ~ФМ ~а ~ И~(Р") ~ ~~ ( ~~) ~~ ~(Ф (4.20) Па последних Формулах и (4.19), (4 .20) основаны статистические методы экспериментального определения частотных характеристик. Из выражеиия (4.7) вытекает связь частотной хаоактеристики с дсй~еренциальньи уравнением и~с, ~Ри) Ф ... + д! ~й ~ Рд которая позволяет легко найти У(и), Гй4 , Ф(ю), 4ТЮ3 Связи частотных характеристик соединений с частотны.п характернст'кеми звеньев вытекают из (4 .8) - ~4 .10).

змее:,;: д.и пооаллельного соединения й~ум — 3К(~м + Ф~ ~уа), ,'ул последовательного соедчненпя й5М = ~,~Уж~ ~К ОМ, (4.23) соед.:непя с обратной свнзью Ф~М 1+ й~~уМФвфы) Диод~,"„Р ~ "-~ (4 'э1) (4 'У..~) лдц~т в осно -г-;.,-'а1~'„' 'веских этом параграфов дан применительно к одномерным системам.

Обобще-' ние на многомерный случай, как и ныше, проюдится на осноэе пред отепления передаточных Функций н матричной йорма. Нужно будет обратитЬ внимание на то, что ьсе сжзп, спранвд.п1ные для нестационарных систем, диКиренциальные или интегральные и области нремени, остаются тако~~и и и об~во~~ комплексного переменного. Поэтому применение преобразонаний Лапласа и .,)урьв нв приносит н анализ нвстационарных систем значительных упрощений, как н случае систем с постояннюи параметрами.

а амет ичвикая п в аточная з линейной системы определена следующей Формулой: НС~,8)=,~ Ф(8,~)ю ) ~К~, Если лнести переменную у = 8- с ~место т , то можно уищеть, что параметрическая передаточная Функция является преобразованием Лапласа от сопряженной импульсной реакции систе- МИ: в Н(л, 8)= ) Ф<8,8-'тле ~сЬ~. (4.ге) Очееидно, что ~+~Об 5 Юф Ф(8,8-~у)= —. ~ н~ь,6)е ~Й (4.27) Лщ . Параметрическая передаточная $ункция яыяется ~нкцией комплексной переменной ~ и нремвни 8 Если система оказынается стационарной, то параметрическая передаточная Функция преьращаетоя ь передаточную Функцию У Дейстнительно, для стационарной системы (4.25) принимает щд д й с~, 8) =) ~ ~9- т)е ~~ с~т. П~ онодя замену переменной ~ на р= 8- ~ , получим с учатом (4.1) Мз,8)= ~Ф~у)е "Й~ =Ъ7С~). ' о Если я.1всто преобразояання Лапласа используется преобразоганпе Фурье, то рассматриваемую систеьзую характеристику назы- т, ЕЫЧЧС ~чг 11 А(~,81= Х, (Ю) ~~ (8.1 Т<Ю,~)=И~С~Д» 8) — Ю8.

х (8) Сеязь е х О д - е ц х О д,;ъотсруз устанаьииеавт параметричес;:ая п811811аточнан луьъц1~А пр11 "'8".'ОО1.''111'1ООБанпых Боздейстенях, ».1 .,гР ЕН11 с+у ~(д),—, ~ ~ с~, 8) а(ю е ЛУ/ с у~р (''1.30) .',ля Быеода зтой:.„.-р.1улы нулино Б Быуаиен11и (3.4) у(И) предо'."ае11ть с помоцьв формУлы ООраценпЯ через Ю1з) и Учесть (4.25) ° Р81118ние ОсноенОЙ зодачи анал11за с помо1~ыс пара1118тр11ческой передаточной ':,'1У11кш111 прОБОдится е тои ъо порядие, что и дж стац11онарньи С11С'18, (см.

$ 4.1). Ко нужно обратить енг1ание'на ТО, Что Х(5,6) Н(5,9)б(3) Не 8Сть П080бразОБЗНл8 Лапласа БыходНОГО сиГнала ~ Х 14рд) на эыеа1от' параметрпчиск1и преоорэз О еан118ы Лапла- са Бцходноуо сигнвщ, (",1ьчзь параметрической передаточной функции с ди 4ервнциаль- ны угаенон1:8.';: с11стемы упраеден11я иь188Т двоякий характер, по- ° с1'О.'".Ьку щ".миетр11ческая передаточная ф7н1щл яБулется янкцлей ,.;е,",х мэГ~71ОПТОБ 8 и л е А 1пл.'11но, с,'/щестеуРТ део УраБнения, ;8..:ен1м111 которых ян1иетсч эта хьоалер11СТ1пса. Чостро1е1 мно нз 1 1ж — ДиБнен11О Б Об11ас" .

Бре':;Он:1, еоспсльзоеэБ1:п1сь ~"Раенением (3,3) р8118нием -'ОторОГО яед.18тсп 1 Б)мал1ь1!Зя 1."сп;~'.1ьсная реакЦ1и Знт,'8.18ДЗН118У (С1 Я$) ПЗУ;1;*,18Т;ДАОС. О~', П8Р8;1С, ОЧ11О~ ~ 1..„РДЦ11И Чеоез дй' ;:П.;,иЬСН~1 )ЪЩОмеР ~тофиг.~"„.-, —,.',-; Час";.; -ОЗ=Р;ъ1.;",Я (3 '1) т;с~ ~ и интеГрируя их по м От — оо,:18 Ю, пол,,'ч::::;, „'ч.:.Тпеап (4.2О), а св) — "„~нд,ю>е' ~ ' +а ~В~ — ~Вся,Ф>е' 1~ с~ е~, и'е лд +д СН)Ц1~ У)а~~=~ (8) — + '+О(д) — — + д (Ю>~ Р ~Б~ т ~ ~~у Видим, что произведение Нр,8)е~~ является решением дпс~- Ференциального уравнения системы управления при воздействии ~(8)= е . Этот результат выражает уже известный нам факт: ~о,8)е есть реакция системы на воздействие в виде в Зу ЮЮ Сокращая в уравнении (4.31) справа и слева е'~, получим дифференциальное уравнение относительно И(,5,8), где независимой переменной является воемя 8 ЮА<З,Ю) ЙНСЗ,У) ~ Ш Л(в Ы) Ш ВМ,В> 3десь Ф 4(5,8) =й„(8)~ + " + а, (8)4 + а (д), (4.33) В(~,8)= Б, (8)л + ° "+ Ь,(В)ь+ Ь,(8).

Порядок этого уравнения равен порядку исходного уравнеши системы. Его начальные условия могут быть приняты следуюцими: Ь и, 0) Й ~(~,0) ~ Н(в,0) — '; — ~- ~ =О, с У,..., а-~ А(Я,О) ' ФО ~8 () Если козффициенты дифференциального уравнения меняются медленно, то пропзводные параметрической передаточной 4ункцпи малы и она может быть приближенно определена из (4.32): Б, (8),к~+* ° .+ Б~(8) Н(л,8)- а (8)л "+ ° ° + а,(8,) Приходим к методу заморожвнйых коз$фициентов. Рассмотрим теперь уравнение параме;рпческой передаточной Функции в области комплексной переменной. 3 обцем случае зто уравнение является интегральным ~9, кн.

3, ч. 1, гл. Ы ~. В частном случае, когда козКаптиенты исходного ди49еренциального ураь нения системы (2.1) представляют собой полиномы, интегральное уравнение сводится к дифференциальному с независимой переменной з . Порядок зтого ди43еренциального уравнения равен наивысшему порядку полиномов, и, очевщна, можут оказаться ниже порядка уравнения системы ~2.1). 3 этом кроются причины практи- Ф ческой значимости уравнения параметрической передато'ной 4ункции (4.35) * Получим й в ИСю,В)+" +а лН<ю,02+(а„,+а У)Ж(лд)+а л Ши<з, 8) В ~ Ф Ю УФ уу фя. Итак, имеем дифФеренциальное уравнение первого порядка относительно параметрической передаточной функции системы с ди4- $еренциальным уравнением (4.34) ю -го порядка: а — ' + [а в"+ " + а,ю + а + а В]ни, В> к, Ивсе,е7 (4.36) которое решается сравнительно просто.

в области комплексного переменного, особенно в случае, когда переменные коэффициенты линейные и, следовательно, уравнение относительно НО, 8 ) имеет первый порядок. Продемонстрируем это на частном примере. Пусть система описывается уравнением ' я +" +и — у +~Ф +и Ю)л Ф" . й'х (4.34) где а ... а а а -;:.:нстапты. Запишем сопряженное ему уравфу ~"'' нение, решением которого является сопряженная импульсная реакция системы при нулевых начальных условиях: й й~ Ф ~-о ~~„[а„и(ю,х)~+ "- — [а,в~ю~~~+[а,+а г~в<у,г>=д(в-г) Введя новую переменнув ~= 8- ~ вместо ~, получим Ф" ъ/(д„У- ~) Фа~ И, У- 7) а,„'„+" +а — у' — + В ~ М + 6йд„+ а,87 иl Ю,8-$7-ю~, ~ ти(8,8- ф~'7=А~7.