Описание сигналов и линейных нестационарных систем управления в базисах вейвлетов и их анализ в вычислительных средах

Предназначеко для студентов специальности Прикладная математика", Оно также может быть полезно студентам и аспирантам других специальностей, изучающих современные методы теории управления и занимающихся вопросами проектирования систем управления. Рецензенты: кафедра Автоматизация биотехнических систем" МГУ вязав. каф. В.о. Попов); В.Б. Чадов 18ВХ 5-7035-1299-9 © Московский авиационный институт (государственный технический университет), 2003 Динамический расчет систем автоматического управления является одним из наиболее сложных этапов их проектирования.

Конец прошлого века характеризуется появлением нового спектрального метода расчета нестационарных систем автоматического управления, специально приспособленного для ЦВМ ~1— 4~. Его истоки лежат в представлении сигналов и временных характеристик в виде ортогональных рядов. Коэффициенты этих Временных Рядов, Отделенные От самих Рядов т Рассматривйются как характеристики сигналОВ и систем управления. Эти ' харак. СИФкйяялъннй:,апйарФт,.В~Ф$О%5ф7' ' 3Ф$фм~мФРЙФтЮин,ФМ~!ИЗ~ИОФ цв~~:: э (~Ф1, 366.:: ЙЯРЙ~ЙФфРМ4!Пай:: '0 НОРмирОванных функций В п~~ледиее д~~ятилет~~ в практике цифровой Обработки сигналов 7пироко применям)тся Вейвлет"преобразования ~6=Я сходные с обычным.

преобразованием Фурье, но лучнге оцисыВаняцин локальные свойства функций: в спектральной Облаети. .В данном п~соб~и. Рассмотрим вейвлнт-преобразования дли находя~цихся под ~оздейст~ием детерминированных и случайных Сигн~~ов ~1:1~. Одним из ортоиормироваииых базисов гильбертова пространства является система комплексных вкспоненциальных функций е~ '~, которые порождают прямое и обратное преобразования Фурье: Х~(о) = — Г х~т) е ~ сй Ик Преобразование Фурье дает хорошее представление о частот- ной характеристике х(т), но информация, касающаяся времен- ной локализации, не всегда может быть извлечена из Х(а) .

Для преодоления этих трудностей использовалось оконное преобразо- вание Фурье (61, а в настоящее время вейвлет-преобразование, одна из форм которого выглядит как (6, 7) Т(а,Щ=~а~' ~ х~1)~~ ~ )Ж, (1*4) где а, Ь е В, а ~0, а для заданных а (параметр сжатия) и Ь (параметр сдвига) функция ~(а, Ь, 1) — ~а~/' ~* и есть вейвлет. Если в этом представлении оба параметра (сжа- тия а и сдвига Ь) будут принимать только дискретные значения, фу фф ю:аф,:.ф:(р$л,-:щ;В), Ффф"'::654,":,(3В)::: пффц".4ф~й,'::44~~-'::+:3';.::$~~:. у~,,:3;:; н4 эа .~6, 7$ 'Ращаботщщюб" Мал'иа, я М6йеРфи'. ~$,: 9), Кратномаспттабиое приближение Ъ (В) представляет собой У~=...ЭЯ'. зЯЙ~ 2Вй"~ ~, уе3' ...

<= У 2 ~= T ~ с: Р~- с= Г~ с:.)'й <",.:,: Х.'(В) = Э В',.= ... И~, Ю й", В Н', 9 ..., (1.6) 1) П „т,.=)О,, о)оа ~=~Д „~Я=А (Л); 2) $' = )" В И', у е Я; 3) ддя ВСЕХ Х Е Х, (В) И ВСЕХ (Е Е Х(т) Е уу (=( Х(2'С) я 1'+~ т : . (т е(тч): й,е(йгх-'йг)..6леудоватдеиено, и ()))г,е(тг) (йн К вЂ”. питое' тов 1у. ~(т) , "я е Я1 для Х (В), где у ~(т) =.2~ ЧК2~ т — й), что для всех х(т) е 1, (В) Р,. г х = Р х г ~ (х, т) ) т) „, Фя 2 где Р— оператор ортогонального проектирования на К .

( ! заметим, что р(2г х — й) (т(2) х — й)) получена иа одного еейелета ()~ (одной масштабирующей функции (()) в результате двоичного сжатия в 2У раз и двухпараметрического сдвига на А/2(. Следовательно, если задан ортонормированный вейвлет-базис ((Р,,й'Ч~;,а~ * т 2 то любая функция х я Ь (В) полностью характеризуется ее вейвлет-коэффициентами з ~ и д ~ разложения по этому базису, кор, й у, й торые можно вычислить по формулам 1 Ъ$Ю$Й:,'ВПВО функций Хаара ие ивляютси непрерывными 'и обладают плос беск~~ечны~~ но~~~~~ями представл~~т собой ортонормированный базис с частотно-временными свойствами, противоположными свойствам базиса Хаара. Для него базисным вейвлетом является фт) = — (в!и ~2пт) — 81п ~ис)) .

1 За последние 30 лет было построено большое количество ортонормированных базисов вейвлетов для Ь (В), обладающих лучшими качествами, чем базис Хаара и Лителвуда — Пели. Среди этих базисов выделим семейство базисов вейвлетов Добеши порядка М с компактными носителями. Частным случаем этого базиса является базис Хаара. Масштабирующая функция д(Ц и вейвлет ~р(т) Дабеши не имеют явных аналитических формул„за исключением базиса Добеши — Хаара (1.12). Тем не менее, если д непрерь|вна„для заданного т мо~кно вь1числить фт) с любой точностью. Построение цепочки пространств ~У) . ~ кратномасштабного анализа обычно начинают с Выбора масштабирующей функции которая является решением ураВнения при выбранных коэффициентах Ь„.

Затем определяют Р'. как замкнутые подпространства, натянутые на д ~, у е Я, где д ~(т) = 2'р12~ т — й) и добиваются выполнения условий "1"— '*5" кратномасштабного анализа и некоторых дополнительных условий, обеспечивающих требуемые свойства вейвлетов. Далее базисный вейвлет выражают через маспгтабирующую функцию. Ра~см~~р~м построение вейвлетов Добещи ~ порядка М с коъпхактньхии ноийтелнмк, Сймим лайем сщ1собом.

6бзсщ%и%5 ) ' 1 ~ ~~(х) ср(х — т) дх = О, (1.20) ПОЛ~7~ХИМ ~ЧУ~х) фх — т) сКх = а=о с=о 2М вЂ” 1 2ЛХ вЂ” 1 =,'Г 'Г д, ь, ь, „,„, = о 3=0 1=0 10 Откуда находим следующее уравнение." В уравнениях (1.19) и (1,21) отличны от нуля только коэффициенты йо, Й~, ..., Ь~~и ~ . Позтому для М = 1 находим уравнение ~о ~'о+~~ "т =0 (1.22) Оно имеет очевидное решение: яо —— Ь~, д = — Ь0. Для М = 2 находим систему уравнений ~ д, Ьо+д Ь +д А~+уз йз -— 0; (1,23) Й" ф,=О.

(1.31) Подставляя (1.16) в условие нормировки ) ~р(х) дх= 1. (1.32) 2М вЂ” 1 2М вЂ” 1 ~дух) Йх= Г2 ~ Й~ ~~(2х — В) Шх= ~ ~ Й~ -— 1, А.= 0 Ж А=О (1.33) Умножая второе уравнение системы (1.34) на 2 н складывая полученный результат с первым уравнением, получаем 2 2 Ьо+ 62 + Ь~+ 62 = 1. (1,35) Возведя четвертое уравнение системы (1.34) в квадрат, по- лучим а,=+ (з+ж).

а,-+ «1+ Гз). второго ио$1йдкй;, КОзффищМЙты для. Зейвмет0В Дббнпи болФе .за,:-м696ЙФдфйМОтй .фФЙФ к иерархической и быстрой схеме вычисления вейвлет-коэффициентов данной функции х(т). Допустим, что скалярное произведение х и д ~ для некоторого заданного мелкого масштаба уже вычислено. Масштабируя х(т), будем предполагать, что номер этого уровня у =,У. Тогда легко вычислить х, у Ь для ~ < У вЂ” 1, Прежде всего, имеем (р('с) = ~Г2,) Ь, ~р (2т — Ь); (1.40) у~('с) = ~Г2,~ д' ~р (2т — Ь), (1.41) где ~„=( — 1)" Ь~м „~ для вейвлетов Добеши порядка М.

Следовательно, ч; „я=2'ю~2"-в)=2 ' ~; к„д(и" ° -2в-в)= =Х ~ Ч~ 1,2 О=Х а„2 ч „О. (1.4з) П и Вычисляя скалярные произведения х,~р, 1 и ~х у 1 с / (1.52) Соотношение (1.52) перепишем в матричном виде Я =НИ +Со (1.53) ТоГда процедура Вычиелений Вейвлет коэффициентов 8 у по зйданннм 66ЙВлет "коэффиЦЙюнтйм 8Р у ЗО ~ В1 ~ ° у В1 1 и фОР'" ИУЛЭМ (3 Кф,' (Х.ЬЗ) ХМ667 ММД-. ИОКФФИЩНф.НВ РИФ* 3;,3. фт) = )пп т~~ ~ 2 р й~, (1. 54) тле Чр~ 2 'Л! = 2о (~р, Е «), т'=О, 1, 2, ... — лослеоолетельлость КУСОЧНО-ИОСтояниая На ИентеРВВЛЛХ ~ 2 ~И вЂ” 1/2)р 2 (И + 1У'2)~ р Л'Н Яе.

а рпРН, Е =. 1 ОПР6ДЕЛЕИа Как КУСОЧНО"ЛИЯФИИЭЙ' ЭЙ' ЙНЩФЙ- ' ллл..з тл . 3, 'рл+ 1)), ил.л. й ЛК КВК ер ЯВЛЯЕтея 'ЕДИНСтВЕННОй ФУНКЦИЕЙ 1'т ЛЛРЙКтЕРИЗУ- (р. р, „) = ~о „; П.55~ ~р', у„,.ь) О .лра «:.>:О:, В л Х, (1,бар е не непрерывона, то 11~~ по-прежнему .сходится к «р В Х . Бол~е Следовательно, каскадный алгоритм быстрого вычисления приближенных значений фт) с произвольно высокой точностью включает следующие шаги: 1. Полагаем (1.57) 2.

Вычисляем т) (2 ~ и), и е Я. На каждом )-м шаге такого каскада вычисляется вдвое больше значений: значения в "четных точках" 2 ~~21) вычисляются по значениям на предыдущем шаге: т~ —. = ~2 ,'р 62~~„~ Я. 1 —., ~1.Д8) значения в "нечетных точках" 2 ~(2Й+ 1) вычисляются в пер- вый раз: Ч' . = Г2 ~~~, Ь т~ 3. Интерполируем ц'(2 ~ и) в недиадических точках т для 1 получения т~:(т) . Например, для вычисления д(т) в базисе Добеши второго порядка в формулах (1.58) и (1.59) отличны от нуля только коэфФициенты Ьо, Ь~, Ь2, Йз. ПоэтомУ ФоРмУлы (1.58) и (1.59) можно переписать для этого случае в виде ,т- ~ .

(1 бб) ;,У ~ ц' ~- — ~ при п=2й+1 и й =О, 1, ..., У2 0 и ос"Ральяйх случаях, Коли в =1, то ф~Ф ®. )~йэффй'б~фвиии:;фа', вз;ффффф, ЦФю.,р пбы~иво .иеполь.флот фавлющ~й~е--фф~йции фФ) —.иа ~ФваеиюФ® интервале, 'например (О, Ц. Ясли функция..т("~) задана иа конечном ин'Гервале, то' для ее анализа мозкяо использовать обычные базисы лейвлетов. Например, доопределим функцию х(т); полагая ее равной нулю вне 10, Ц, Тогда при восстановлении функции по формуле обращения (1.11), получим искусственные "скачки" на' краях отрезка, отраженные в значениях коэффициентов вейвлетов.

Таким образом, полезными были бы вейвлеты, приспособленные для "жизни на интервале". Одним из способов достижения этого является использование периодизированных вейвлетов. Рассмотрим этот подход 161. Для данного кратномасштабного анализа с масштабирующей функцией у и вейвлетом у, имеющими разумное убывание (Ц, Ц < С(1+ ~т~ ')) или компактный носитель, можно построить периодизированную масштабирующую функцию у и периодизированный вейвлет ~ . Тогда кратномасшатбное приближение с использованием периодизнрованных вейвлетов осуществляется по цепочке кратномашсатбных пространств целое, не превосходящее т) с помощью обычных (непериодизированных) вейвлетов.