Описание сигналов и линейных нестационарных систем управления в базисах вейвлетов и их анализ в вычислительных средах, страница 2

И хотя ~ уже периоднчна, на границах О, 1 снова возникают скачки . Избежать скачков Ба х раницах можнО, заменив функцию х«т), заданную ня Отрезке инверснопернодизированной функцией «рис, 1.3,6) 2. ОПИСАНГЕ СИ1'НАЛОВ И ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРЛЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В БАЗИСАХ ВЕЙВЛЕТОВ И ИХ МЕТОДИКА АНАЛИЗА 2.1. Основные понятия и определения Пусть задан ортонормированный вейвлет-базис ~д ~, ~у ), й у„ й Тогда любая функция х с Х, (Л) полностью характеризуется ее 2 вейвлет-коэффициентами (1.9) и (1.10) и может быть восстановлена по формуле (1.11). Для описания сигналов и систем управления преобразуем заданный вейвлет-базис в интервальный вейвлет-базис, т.

е. переобозначим определенным образом базисные функции. '1'огдя получим Для интервального вейвлет-базиса (2.1) условие ортонормированности (1.8) для и-го уровня разрешения можно записать в (кь,. 4р)=5ь,~5,р. (2.2) В дальнейшем будем предполагать, что уровень разрешения п задан или равен нулю и индекс и будем опускать. Кроме того, будем считать, ч*о маспгтабная ~етка, определяемая пара- 23 ВЭФФ Х =Х (~) =-~~Х (0„~), Х (1„~)„Х (2, ~)...„Х (6, ~), ...~~, (2.5) О('с) = 6(т, 1) = ..., 0 ~(т, 1), бо(т, 1), В~(т, 1), ...",, (2.6) Я(х1=Х= ~ С(т) х('с) ~Й; (2.8) Я (хЗ = Х = ~ С (т) х(т) пт; С С ГЛ ГИ Аналогично вводится понятие КМ НСХ функций многих переменных.

Так, для функций двух переменных х(О, т) КМ двумерная НСХ (КМ ДНСХ) имеет вид 'Я,'(~) =- Я„(т„~ . (2.15) Второй КМ НСП или просто КМ НСП Я~' (Ь, ~) случайного его корреляционной функции В .„: 83'(Ь, Г~ = 8 „~В„Д, (2.16) функцзжи В.„~ цен'ццфОВщцющ ялу~и$фОРо еВРнФцщ.,4 =,д,ун;,. КМ: неюттфцй44щ~щ~ФЙ:..;,~ЙВпмй4Ф'::еиВк%фнлйВОф:.фмйФмо4тьм~ хФ.РРелжщ 8~~!:;.(Ф'„$) =':::Д:::: ~:$В::-~,:;:::.--:::-: .:.: ..::(2,17) ' "Ф:.:',::-;:-'-,=--: -;: %~ ' Цбф Ракж1ф4щмкщф,.сл7Фйф3ФОх'О е~~цВла ' ФВ~: ~ М" -.,:,.Й-, '06ущее73ийхет по формулам обращения (2.Ы), (2.14): (2.18) ~ху ~ (8ху~ * ЯР Дадим теперь определение КМ нестационарных передаточных функций (КМ НПФ) линейных одномерных непрерывных КМ нормальной НПФ (КМ ННПФ) линейной системы назовем КМ НСХ ее нормальной импульсной реакции: М (Ь, х) = У д (Ь, 0) А(О, т) оО . (2.19) КМ сопряженной НПФ (КМ СНПФ) линейной системы назовем комплексно-сопряженную КМ НСХ ее сопряженной импульсной реакции: Н„(~, О) = ~ р„(~, т) я(О, т) ИО .

(2.20) КМ двумерной НПФ (КМ ДНПФ) линейной системы назовем КМ ДНСХ ее импульсной переходной функции: ~'и щ(" ~)= 1 ЧтФ О) ~ ~(О т)Р„Р, т) ~т~й. (2.21) Обратный переход от КМ НПФ (2.Х9) — (2.21) и импульсной я(б,,с). =.-Я(6) ..' Я' Р~(т)-=,:::436):.' М(~$:-'=:И' ~':: =:-':::Ф~,'::::.В.::а ~Ф::,-: 38~:;-::":.-,"::::::::::::-:.. --"."::::::(й':.Ф) (~Р' фР' Р,„„(Ь, ~) = ~ р,„(Ь, О) ~ 4(О, т) р„(т„т) (й ИО; (2.25) 8 ~х(Е, тД т =я[ 8 Ех(В, т)1 Я (х(0, т)1 = Я 1 Я ~х(О, т)) .

р* ~ Рт Это свойство непосредственно следует нз определения КМ НСХ. 'Ф ' 3 в произвольном порядке. Например, для непрерывной функции двух аргументов х(6, т) будем иметь Свойство 3. Интег ал от и оизведения наций в еменн. Пусть Действительно, подставляя в (2.30) х~ и х~ в виде (2.10), находим где Г ~й, ~, ь) — трехмерная КМ НСХ (КМ ТНСХ) множи- ~'.й, П, О ФФ' 4' 7едьиого звена: х1Ф) и х~~О), опРеделяемую равенством ~1~~) — ~ х~(Π— т) х~(т) (й, (2.36) подставив выражения х1 и х~, выраженные через обратное пре- образование ~2.10), получим где трехмерная КМ НСХ ~КМ ТНСХ) оператора свертки 30 у. (6, 1, ц) = ~ ~ д* (Ь, О) д„(~, Π— т) д' (и, О) ~й ИО .

(2.38) В матричной форме соотношение (2.37) можно записать в Виде (2.39) 1 2 ' где под знаком ~ будем понимать произведение одномерных КМ НСХ через КМ ТНСХ оператора свертки. Свойство б. Изменение базисной системы КМ НСХ непрерывного сигнала производится по формуле (2.40) где Л „(Ь, ~) — КМ ДНПФ оператора тождественного преобра- ~~~~В,,'ж~::::=::,':(;~(В,:,Щу~$,::Щж: . ":.,::::::-:::-::~2;411 Спектральные связи вход-выход при случайных воздействиях найдем следующим образом.

Усредняя по множеству реализаций правую и левую части выражения (2.45) и учитывая свойство первой КМ НСП, описываемое формулой где. М вЂ” символ операции вычисления математического ожида- ния, получаем алгоритм, устанавливающий связь между первой КМ НСХ входного и выходного сигналов через КМ ДНПФ ис- комой системы: Используя последнюю формулу, записываем Усредняя по множеству реализаций правую и левую части полученного выражения и учитывая свойство КМ НСХ, описываемое формулой х сл сл получаем алгоритм, устанавливающий связь между КМ НСП входного и выходного случайных сигналов через КМ ДНПФ исномой системы: 2 — 2М, О ~ 2 — 2М, 2 — 2М 1 л= " — 1,2 — 2М '~0,2- ЯМ Ф~)":=::~6д'-:: ~Ф)'';::-~,"~М1;--";:;."Й,.1~~)::,:::~(ф~-'.: - "(Й:6$) наложены на входные сигналы и систему управления.

Поэтому при их обращении получим, искусственные '*скачки'" на краях области задания. Другой подход к описанию и анализу сигналов и систем управления в вейвлет-базисах связан с заменой сигналов и систем, заданных на Я, периодизированными сигналами и системами. Пусть, например, на отрезке ~0, Ц задан входной сигнал своей непрерывной функцией х(0), а система ИПФ вЂ” й(0, т). Тогда периодизированная функция х ~0), заданная на В, имеет 36 Ф"(О, т) = — ~ Й(Π— и, т — а) Л„1(Π— и) Л„1«т — и), (2,65) Заметим, что если входной сигнал х(О) — случайная функция, для которой заданы математическое ожидание т (О) и корреляционная функция Я (О, т), то их периодизированные аналоги можно соответственно задать формулами, аналогичными формулам «2,64), (2.65). Тогда, например, в базисе вейвлетов Добеши порядка М формулы прямого интервального вейвлетпреобразования (2.3) и (2.11) на нулевом уровне разрешения приМут вид О О 0 "~о, о л, 0 0 Аналогично выводятся формулы„связывающие интервальные ДНПФ линейных непрерывных периодизированных звеньев и их параллельного (рис.

2.1,а), последовательного (рис. 2.1,6) соединения и соединения с обратной связью (рис. 2.1,в). Из системы уравнений (2.50) — (2.52) имеем: для параллельного соединения ~0=~~0+~20' ~10=1~10 (О' Х20=)+20'('0" для последовательного соединения ~0 = "'20 ~ 10 %10 = И'20 ~О ' 0 0 х=(... о о 0 0 ~ ... о о О 0...~ 0 0 Я 0— - И~О. 8 ),' (2.71) ~ О = ~ О ' 8до ' ~ О (2. 72) Решая эти системы уравнений, т.

е. исключая из них матрицы-столбцы интервальных НС.л. промежуточных сигналов, иодля параллельного соединения Хо= ~1о+ ~ао ~о ' (2.76) для последовательного соединения ~а= )~го И'1о ~о: (2. 77) для соединения с обратной связью -1 Хо= .Е+ й~ о й'во И'~об -;.-'4к~~',::.:~''.:.+ ~Ф~ .": ~Р~::: ...-О . «даметим, что интервальные Б~'Х и ДББФ вычисляются использованием кратномас~птабного анализа с непериодическими мас1птабирующей функцией ~ и ВейВлетом 'т', но можно использовать для Описания сигналОВ и систем периодизированные вейвлеты 11.67) и (1.68) для конечного интервала времени в форм~ ~1.69), РассмОт)генный подход к описанию линейных систем упраВ- используе~ базис~ вейвлетов для Х. (В).

Б настоящее Время для Фналиаа систем ухфавлеии%Г . щМ~Фейяейъя спектраль'ный метод, Фналйза'. нентацйокарких иком' яа. конФчмхйЗ.. Зщтер-' вязхах:; щ~)ВЭБА ~1-.,::4$'::::::ЭМФАЗ. ЯФФОд.:,ЙСФОльз и6Йзлетьх, задаиний:. Иа кмжВФЙ44 ПВФ6ф$физ «:5' "щи 4ФВЙФЙФИ нериодиниронанные нейвлеты'(1;-69),'. а также нейнлеты, предложенные Мейером 19, 61, которые коьструируются из ортонормированных базисов вейвлетов с компактными носителями, заданными на Л, Преимущества вейвлетов Мейера по сравнению с периодизированными вейвлетами Добеши заключаются в том, что они не вызывают краевые эффекты на границах интервала, однако применение периодизированных вейвлетов к инверсно-периодизированным функциям и системам приводит к уничтожению разрывности, которая возникает после периодизации, Ортонормированные базисы вейвлетов, заданные на конечных интервалах, расширяют возможности спектрального метода анализа нестационарных систем управления, не меняя спектральных алгоритмов описания и анализа систем управления.

Рассмотрим эти алгоритмы. Основные характеристики спектрального метода. В основе спектрального метода лежит понятие нестационарной спектральной характеристики (НСХ), которое порождает весь спектр ха- рактеристик, используемых для описания сигналов и систем. Это следующие характеристики: — НСХ для Функции одной переменной х(О) Х 1х(ОН = Х(», ~) = ~ р (», ~, 6) х(6)»»6; Р Р ДНСХ Функции двух переменных х(О, т) Х ~х(6, т)~ = Х(й, », й, ~) = РР РР (2.83) = ~р 0~, ~, В) /Ж, ~, 1) хЮ, 1) й~ Ю; — НСХ математического ожидания»»»„случайной Функции И~»в',:Ф»,=,,:~р:':::»а.,:::й:".9:::~Щ':Ю',;'.,:.„' ' (И;;14» 0:. н„»ж, », ». г> = ~р"»ш, 1, а ~~1,',1, «» ж 'в, Х„: (й:„»:, Ф, $) м ~р:(В,-Ф,-Щ 1ф»:, т,'Ф) В'-~9, т) 4т49'"; ф2;36): Х (Ь, 1, т) = ~р (й, О)»»(О, т) 46; (2.87) где Р— матрица-строка, составленная из системы базисных функций (р~~)). Спектральные алгоритмы вычисления элементарных и типовых звеньев.

Элементарными называют динамические звенья, которые не могут быть представлены в виде комбинации конечного числа более простых звеньев. К элементарным звеньям непрерывной системы относятся звенья, приведенные в табл. 2.1, ДНПФ звена получена подстановкой ИПФ искомого звена в формулу «2.89), ННПФ и СНПФ в таблице не приводятся, так как в практическом анализе они обычно находятся по ДНПФ с использованием формул связи (2.24).

Заметим, что для дифференцирующего звена заданы две ДНПФ 12.95) и (2.96). ДНПФ (2.96) дифференцирующего звена задается во временной области Среди типовых звеньев отметим только диФФеренцирующее и интегрирующее звенья и-го порядка, представляющие собой последовательное соединение л диФференцирующих или л интегрирующих звеньев. Рассмотрим некоторые свойства непрерывных сигналов и систем.

Заметим, что свойства КМ НСХ и КМ НПФ (2.28), (2,29), (2,31), (2.35), (2,39), (2.41) справедливы и для интервальных НСХ н НПФ. Поэтому рассмотрим только те свойства„ которые связаны с конечными интервалами, Свойство 1. НСХ и оизводной нкции в емени, Пусть задана НСХ (и — 1)-й производной Я ду — 1 х(О) непрерывной дО"-' функпии хг,'О) при нулевых начальных условиях хо = хг',0) а' 0=-О и = О, 1, ..., гт — 1 по системе функций (р(1, ~, 0)), тогда НСХ и-й производной связана с НСХ (и — 1)-й производной соотношением р(ь, й, е) ~гг — .г рг',й,г,1,1) Я х~О) р(гг, г, е'г дΠ— хо Л~Ь, 1), (2.104) Р '4-'Х; ' .г ~ыгг, ~ ...