Описание сигналов и линейных нестационарных систем управления в базисах вейвлетов и их анализ в вычислительных средах, страница 3

~х(1гн =х (г, гг г2.гббг Р(.гг* Ф, 6„, г) О О Р р(Р., «,Е г где столбец А~1) =- ~р(г, ~, О)1. Следсгивие, Полагая и = 1, 2, ..., и в выражении (2.104) и ИОдставляя друг В друга полученные равенства, находим Выражеиие Для. Вычисления НСХ Й-й производиОЙ искомой фуикции х(9), которое В, матричиой фОрме записи-:имое% .Вид Матричная форма записи выржкения (2.108) имеет вид Я т Ях('О) = т ()(~,~)Х(~). Рр Свойство 4.

Инве сия ницци в емени. Пусть задана НСХ функции Я(х(9)~ = Х(1, а). Тогда НСХ инверсной Функции х(1 — 9) связана с НСХ функции времени х~О) соотношением Я (х(г — 6)~ = ~ (2 ' (д, 1, 1, с) Я [х(9)~, (2.112) р(Ь, 1, 0) р(а, 2, е) где матрица инверсии Матричная форма записи выражения (2.112) имеет вид ~2. 114) Свойство 5 функций х~~6) и вим выражения Вычисляя НСХ ния, находим НСХ све тки.

В свертку двух непрерывных х~~О), определяемую равенством (2.36), подстах~ и х~ в виде обратного преобразования (2.90). от левой и правой частей полученного выраже- ~:.:-1:::.р"::(ж; ~.:::6) ':3: ~кч)~: ~р'ь;::Ф,":-В:: —.'4-::ив:,'г:, В)'~~и9:::;-':,(й!1Ы)' Обрати~~о заиисимость иайдем, если В (2.121) положить 1= О и учесть, что при р(0, 8, 6) = 1/Й 1, (й, ~, ~, ~) = 'Р Р ' (~, ~, ~, ~) . (2.122) РР Р РР Тогда получим И' (Ь, О, 8, ~) = ~,Г Р (Ь, ~, ~, й) И'(и, ~), (2,123) откуда следует искомая сВязь И'(и, ~) = 4 ',Г Р (и, Ь, 1, Ц Й' (Ь, О, ~, ~) .

(2.124) Р РР РР Свойство 7, Матрицы ДНПФ стационарной системы переста- НОВОЧНЫ: Свойство 8. Матрицы ДНПФ усилительных звеньев с произВОльными кОэффициентами передачи перестанОвочны, Спектральные связи вход-выход при детерминированных и случайных воздействиях и нулевых начальных условиях на конечных интервалах времени полностью совпадают по Форме с аналогичными характеристиками (2.45), (2.47), (2.48), (2.49), определенными на Л при условии, что вместо КМ НСП надо использовать понятие интервальных НСХ или просто НСХ. Формулы связи ДНПФ линейных непрерывных звеньев, заданных на конечных интервалах времени, и их параллельного (рис.

2.1,п), последовательного (рис. 2.1,6) соединений и соединении с обратной свизью (рис. 2.1,.е)„описываются формулами ощупи для ДНИФ (2.56), (2,57), (2,$$) или. Периодиаирщмииых сингер..(2,79), (2.Э()),,:-~ф;,;81). .:,4',~4$ФВф~фф~ВЦМ-::ф4Щ$3ф.::МИ~Я::Я; -:$фф.. 6 'Иефембй1ььмм' кОэффВ~ЦФВИ,ФАЙФ где Из выражений (2.128) — (2.135) видно,что если решение уравнения Вольтера второго рода (2.128) ф8) найдено, то искомое решение задачи Коши (2.126), (2.127) найдем квадратурой из (2,131). Найдем теперь НСХ выходного сигнала линейной непрерывной системы, задаваемой дифференциальным уравнением (2.126) и начальными условиями (2.127) или интегральным уравнением (2.128) и уравнением связи (2.130).

Предварительно заметим, Р — 1 что ядро интех$ильиого оператора в (2 131) есть ИПФ (а-1)1 иктег$4щуябщего:ззекВ и. ЙО' 'пбффщВа;Выящ~йщ тюлар%' НСК О',:г ф~ьЗ(~)~ '.мФ~ОДЯЯ". — матрица ДНПФ системы управления, а Заметим, что решение (2.138) найдено в предположении существования матрицы, обратной двухсторонней к матрице Щ, Ф). Преобразуем теперь найденное решение (2.138) к другому виду. Для этого выражение в первой фигурной скобке в правой части (2.137), поменяв порядок суммирования, представим в Виде х ~ А зЯЭР (й, Ф) Рз(1, й) й=О Таким образом, НСХ выходного сигнала непрерывной системы находится з общем случае по НСХ входного сигнала О, начальным условиям входного и выходного сигналов с помощью ДНПФ системы И' и передаточных функций начальных условий (2.3.4Ц, (2.142), Выше были рассмотрены отдельные связи между характеристиками спектральной формы математического описания непрерывных систем.

Подводя итог, можно кратко описать общий порядок решения основной задачи анализа непрерывных систем как при детерминированных„так и при случайных воздействиях. Вначале определяем НСХ входного сигнала С на основе формулы (2.82). Далее находим ДНПФ системы И». Для этого составляем расчетную схему системы, выделяя в ней элементарные и типовые звенья, или звенья, описываемые дифференциальными (интегральными) уравнениями (2.126). Затем составляем выражение для ДНПФ системы через ДНПФ выделенных звеньев на основе формул (2.56) †(2.58) для параллельного соединения (рис. 2.1,а)„ последовательного соединения (рис.

2.1,6) и соединения с обратной связью (рис. 2.1,в). И, наконец, определяем НСХ реакции системы Х по формуле (2.45) и НСП моментных характеристик системы Я~, Я„, Я„,~ по формулам 1 (2.47) — -(2.49). Реакцию системы находим как функцию времени по формулам обращения (2.90) — (2.92). ф.2. Вычисление вейвлета Добеши второго порядка по данным о масштабирующей функции Если масштабирующая функция уже известна, то базисный вейвлет строится по формуле (1.17). Эта формула в вейвлет-базисе Добеши второго порядка приобретает вид где Ьа задаются формулами (1.39), а ее программная реализация обеспечивает вычисление значений ~р на системе заданных точек.

Программный модуль, реализующий этот алгоритм в системе Ма$Ьсай, показан на рис. 3.2. Входными данными этого х — точка, в которой вычисляется ~~, и)-я масплтабирующая Функция Добеши второго порядка; у — параметр сжатия (у > О); а — параметр сдвига (п е Я). Результат работы атой программы при у = О, а = О, х е ~О, 3) показан на рис.

3.5. Явлл~отсл масп~табирукпцими вейвлет-функциими. Так как система функций ~~ З(т) ", Й 6 Я ~~ Образуе~ Ортонормированный базис на /-м уровне разринеииЯ, а кикДЗЯ из фуикЦий Этого ба- ЗИОЗ. Обладает сиОЙОТВОМ ЛОКяльиОЗТИ, т. -6.:ИМ66Т КомиИИтимЙ иосиуель; то ирп Вйчибл6иии Йпщоййймиру$6щпх ИОзффициеигов по:формуяе (3*2):зто м~Фик~ учМи.. Вмиедем алгОритм Вычислении Фййроксимирук~щил козффиииеигов в бИзисе Добеп~н Второго поридка (М= 2). Так как носителем функции фт) и этйм случае явли6тся Отрезок ~О~ Я, то Носителем фф(кции,фу,,~('Ф) ' ЯВлиез Вя .

О7р63ОК Учитывая, что квадратуриая формула для Вычисления интеграла по методу Гаусса на произвольном отрезке (а„Ь1 моясет быть представлена в виде Ь вЂ” а г Ь вЂ” а ) х(т) ~й = — ~ х — (т + 1) + а ат = 2 ~ 2 Ь вЂ” 1 Ь вЂ” а Ь вЂ” а 2 ,'~ со х — (т + 1) + а и 2 и=О где Ж вЂ” количество используемых нулей и весов квадратурного алгоритма Гаусса, формулу (3.5) преобразуем к виду 60 Нули квадратурного алгоритма Гаусса в этом случае преобразуются на отрезок (3.4), который является компактным носителем Функции д ~(т). Однако аппроксимирующие коэффициенты можно вычислить по методу Гаусса, предварительно разбив отрезок (3.4) на несколько частей.

Вид графика масштабирующей функции Добеши второго порядка подсказывает (рис. 3.5), что этот отрезок надо разбить на три отрезка равной длины. Тогда формулу (З.б) можно переписать в виде где и = — 2, — 1, О, ..., 2 — 1 и Ф > 2 — 1. Следовательно, задача отыскания Я ~ ~ при Ф = — 2, — 1, ..., 2'~ — 1 из системы (3.18) сво- Ф дится к решению матричного уравнения [р,(~) ~р,~~~~ ~,. = ~р„~~) х~~~~, где Ю~, ьЮ = "~ Ч'.т, ЬЮ ' х~М) — матрица-строка дискретной выборки из х~т): х~М) = х(то), х(т ), ..., х(т~ ~) (р (М) — матрица-строка 2 + 1 базисных функций (р~ ~(т), эначения которой вычисленные в точках т, (1 = О, 1, ..., М вЂ” 1), развернуты в вертикальный столбец: (Р~, — 2(то) Ю.~, 2М 'Р,~,-2(тж- 1) (Р.у,- Фм- 1) * Ю,2'- Фм ~) Определитель метриды ~рд(Ж) рд(Н)~ леп определитель Гримма системы ортонормированных элементов «р~ ~р(т) (Й = = — 2, — 1...

2 — 1) положителен, а усеченная матрица-столбец я,т ~~~ЖЕ/М1ФяЖй(Ж ($.2())т миаацией суммы А~ Х(т~) — „~ ф,~,(Ф~) 8ф ф т Зта программа вычисляет усеченную БМ НСХ порядка М1 х 3 в базисе вейвлет-функций Добеши второго порядка по аналитически заданной функции д~(т) по следующей схеме: 1) по аналитически заданной функции д(т) программа Ыс1рИ2(д,Х1) вычисляет аппроксимирующие коэффициенты на .)'-м мелком уровне детализации ()'=1п (Ф1)/1п (2) — параметр сжатия) для параметра сдвига й = — 2%1, — 2Ф1 + 1..„, — 1, О, 1...,, 3(Ф1 — 1); 2) по общей схеме алгоритма быстрого преобразования (1,44), (1.45) аппроксимирующие коэффициенты сигнала д(т) на ~-м уровне детализации преобразуются в аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты для уровней )' — 1, 1 — 2, ..., О; 3) по найденной информации формируется усеченная КМ НСХ Х порядка Х1 х 3. Обобщение этого алгоритма связано с вычислением всех аппроксимирующих и всех детализирующих коэффициентов на отрезке ( — р, 1+ Ц.

Эти коэффициенты, вычисленные по общей схеме (1.44), (1,45) быстрого преобразования„находятся по аппрОксимируюхцим коэффициентам„заданиьхм нй д-м уровне детйлнзацин .для парзъ$етрВ смйщеннй Ф-'.::.Я'"ф~',', Я '~у+ -3,:~:Ф:,Фу', 4у'Ф~*.'1ф':.,".'»ФФф'..'3(й: „. 1):+ 3Г"А Обращени~ уаечнИиай Ева НЮХ н аннроксимируи~щне коэффициенты У-ГО уровня разбнваетсй иа два этапа. Ба первом ~~~~~ Ординаты КМ Н(:Х перенумеровывйются так„чтобы сформировалисъ аппроксимируюхцйе и детализирующие КОвффнцненты 8О, ЗО,.01, ...„.РХ х. На втором этапе по Найденным новффнцнйнтйм.:8О „Эр, ЭХ у..

«~ Ру::х .и НО.- формулам (1.52), (1.53) ию."ОДим ВпнромОймир$7нхЩйе козффициенты Ях . Программный модуль, реализуюхций этОт алгоритм в системе МаФЬсай, показан на рис. 3.10, Эта программа обрахцает усеченную КМ БСХ в вейвлет-базисе Добехпи порядка два в усеченную мйтрицу-столбец Ж~~ ~ ординйты которого Яу на еХ" м уровне рйзрепхения, Определяются параметром сдвига Рис.