М.М. Хрусталёв - Методы теории инвариантности в задачах синтеза законов терминального управления летательными аппаратами, страница 5

(3.1З) Позтому семейство поверхностей (2.13) в плоснооти перемвнзнх(Ф,ьТ) перейцет (при Д» 1) в семейство парабол (2.18), имеюцих общую вершину (рис. 2.4). 2.2.3. Абсолютная ность и авхение с огвоз а Г = Г (Х (тЛ- Г(ЗС'(Я~ назовем и огневом терминального э смака. 24 (2.1з) Ай»вием тц~той)щ. В ярактике управления летатаъвнми аппаратами Р ~»БАЮ»» У Ю»»Ю»»»Ш» Ю рии. Зти алгорщтмы строятся по следукщей схеме, Знак текущее состояние летательного аппарата Х» в момент Ь~(й, и задаваясь программой полета прн последухщем длинен»п» [задавая упражнение и предполагаемые возмущения) вплоть до терак- навьного момента времени Ъ, (заданного или определиемого по од ному из терминальных условий), кожно кайте промах пс одноыу кли не- окольквм термннальным условиям.

Наличие такой информации позволяет, варьируя по определенной схеме управление на оставшемся участке траектории, обеспечить вы- полнение терывнальыых условий при доствжении момента (, При атом прогнозирование траекторви ыожет производиться ках на основании численных расчетов ло точным уравнениям движения (с использованием бортовой ЗПВМ), так и по приближенным соотношени— вм, найценэым интегрированием упрощенных уравнений двикенкя. Теоретически прогыозироваэне нужно производить мгновенно. Практически зто делается (для задач упранлевня центром масс ЛА) с интервалом в несколько секунд.

При этом естественно при прочкх равных условиях отдать предпочтение более быстрым алгоритмам про- гнозирования. Оказывается„предлагаемый подход к конструировзнюс алгорнт— мов терминального управления можно кнтеряреткрозать как общую те- орию алгоритмов уаразкеыыя с поогыозированием. Обозначвм через М'(з,х,п') стратегию, найденную с помощью теоремы 1.1 и обеспечквахщую ннэарыаатность систе»в (1.1) по воз- мущениям.

Аналогично через Ц(т,з»,О~ будем обозначать стратегию, найценную иэ теоремы 1.3 и гарантирующую абсолютную инвариантность. Пусть в некоторый момент времени й»х»<й, система (1.1) ока- залась в состоянии Х». Зададимся гипотезой„что в будущем при всехгщ[х~,х„1 возмущение (?® совпадает с опорным )?(х)=)?»(х)„ ьспользуя прк йя [х»,т, ) стратегию Й((,,ха=Я. (). Х \г'(»)), проныв тегрирузм систему (1.1) вплоть до момента 4,=х,, подучив в ре- зультате траекторию х (х) э вычисляю величину ГЯ(1»)') критерия (1.2). Разность Замечательное свойство системы, инвариавтной по возмущениям, состоит в том, что для вычисления величины АГ нет необходимости интегрировать уравнения движения (1.1).

Кек следует из (2.16) и условия 2) теоремы 1.1, если принять во внимание ооозначенвя (2.14), (2.15) яГ = а9((', Х»), (2.20) т.е. прогноз терминального промаха вычисляется непосредственно по функции <Р в точке (1,Х» ) . В связи с этим функцию Ц' будем называть огноз ей ей. Учитывая (2.20), (2.16), нетрудыо видеть, что стратегия (А(ь,ж,п) обеспечивает постоянство ццоль траектории прогноза терминального промаха ь).

независимо от действующих возмущений. Стратегия же МЬ,х,Ж , гарантирующая абсолютную кнваризнтность, как видно иэ (2.Г?), (2.20)„ заставляет величину ьГ эволюционировать вдоль траектории в соответствии с уравнением '~ г Я().,-х) Р = О (2.21? И и обращаться в нуль при С=1.~ .

При этом предполагается. что прогноз аГ по-прежнему выполняется с помощью стратегии Й(й,х1= »9Ъ,ХФ(6)к поэтому справедливо равенство (2.20). Такзм образом, действительно, алгоритмы, построенные в соответствии с теоремами 1,1, 1.3, макнс рассматривать как алгоритмы с прогнозированием. Преимущество во сравнению с традициснннм подходом состоит в том, что точный и огнев те нзльногс и смеха ожет быть п ен в йо ме аыелнткчес ого ения аже в ае, ксгза ения»ения не ивтег и ся аызлитичес 2.2.4.

Абсолютная иыэа антность и омо ванные систе упйэвкевыя. Принимая 1о ипв»ание уравнение (2.21), нетрудно вн— деть, что увеличение константы Я приводит к более быстрому затуханию промаха ьГ (если управление не выходит за ограничение). Собственно стратегия (»(Ь,х,й), обеспечивающая аосолютпую инзариэвтность системы (1.1), реализует кдею комбинированных систем упразкежэя.

Волн начальная точка такова, что в ней промах аГ= О, то стратегия М(т,х,и') вдоль траектории созпздает со стратегией 4А'(т,х,у) (в предположении, что условие (2.6) определяет М' однозначно) и происходит мгновенная компеысация возмущений. величина козцмцизнта я в этом случае'не имеет никакого значения. Прн отклонении же от поверхности аГ=~Рй,х?- Ч' (6=О вследствие того, что аГФ О в начальной точке(т,,х,~еВ„, или вследствие дей- ставя неучтенных в модели возмущений "включается' обратная св>ккь по отклонению.

коэффициент А играет роль коэффкпкиеата уонлеыия в етой обратной связи. 2 2.3. ВНВПР ПР()РН833Ру<ОВ<< Кк)Н<(ПНН В етом параграфе будеы предполагать, чточ > (> — поотояквне множества (не зависат от'С,Х ) и множество У- компактно. В равд. 2.3.1, 2.3.2 даются два способа выбора прогнозврумкей функции (У с помощью точнах уравнений движения. В равд. 2.3.3 обсуждается вопрос об нспользомвии приближенных уравнений.

2.3.1. Использование злго ма ения без воз евий. Рассмотрим способ синтеза инзариантвой системы на основе априори известного акгоритыа терзивзльного увравкзнкя при отсутствии возмущений (формально. множество Ч(с,х') сосгоит из одного элемента )) р(с), где ю'(р) - опорное возмущение) . Итак, пусть фмксировзно опорное возмущение )>'(с), заданное на всем интервале Т . Пусть также известна стратегияЩх) изо<с „ такая, что любая траектория бс(С) системы (1.1) (замкнутой страте- гиейЙ ), начинающаяся ва заданном множестве Ь,, удовлетворяет условию З= Г(х(сМ=Ю., (2.22) где др — заданная постоянная. Пусть далее все уыомянугые траекторыи х(с1 лежат в компактном множестве ВСТх»», а В отк<в>тое вТж<(» множество, содеркащее В .

Нулем предполагать, что функция о>(ф) непрерывна, а страте- гвяЙ удовлетворяет условны Й (с,хМ (р>2 У , (с>х) а Ь , (2.23) Подставим в уравнение управления (2.2) (Се Й(к,сс),)у=)1"-(с), и, не ограничивая общности (сы. замечание 1.1), положим,ы(с)=5, А, где постоянная А т 1.

В результате, если учесть обозначение (1.5), получим уравнение в частных производяых К7 (с, х, Й (с,х1, и'(й~= А (Пр — М(с,сс4(Р>-йТ (2 24) относительно функции Ф ° Предположкак, что уравнение (2.24) на множестве Ь имеет ре— ленив, удовхетворякщее граничному условмо (Р(С>,ХЪ= Г(Х) > Х Е Ь(5>), (2.25) т,е. непрерывно дифферезцирузмая на Ь фунвцвк (<> удовлетворяет (2.25) и (2.М) при всех(к,х)цЬ >йсйк ., Тогда дкз тривиального мноивства возмущений ( Ч(к,рс) состоит из одного злемзвта )к (с) ) условия теоремы 1.3 заполнены н система <1,1) абсолютно инвариантна. Собственно,зто ясно и без теоремы 1.3 пс определен>и> стратегии(< .

Но оказывевтся, что прн некоторых щедполокениях по функции (у, найденной из <2.24), (2.25), мозно построить стратегвю, гарзнткруюкспр абсолютную инвариантность и при достаточно малых варизциах возмущения У(С) . Точным вирззвыием етого результата явкяетск теорема 2.2. Введем в рассмотрение мноззство Ь~, определяемое условиями Кайте Ь, ) 'р(С,х~ д ! <~(й С~я <2.25) где ~ > о(С(р(С Х)П В ! Ф>,Х>) )р!(Ск 'М ° (2 27) з>~ >л.:ъ > > ° >> > р -. ° >> (2.24) с граничным условием (2.25) на миозествеЬ, существуют число о >О и постояннзл ~, удовлетворякщзя условию (2.27), такие, что уравнение управкезия (2.2) разрешимо относительно переменной 4С, полученная стратегия И(к,х,ы) и фунвция у" (с х,кк>)= з$(С,СС,ЩС,Х(К~,КГ) НЕПРЕРЫЗЗЫ ПРИ ВСЕХ (С,Х)8 ВЬ,)КЕЧ Я,йя ет, а пРоизводнал кж($,х,к)) опРеделеиа и огРаничена пРи(с,ас)е ц Ьь >МИ~ (4') >18Ц„„йк') .

Пусть какие (<(Т,х,(кр(й)) = Й(с„х), (Ф,,х)е Ь~ (2.28) <если функции С((с,Х,К>) единстве>пса, то (2.28) выполняется автоматически) . Тогда сук<ествует число Е„. )О, такое, что прм замене в исходной постановке задачи множества Ч на какозествоЧ~з(с) > а кпниества В на Ьф справедливн скад)кена утверцпенняк 1) 4<(с>х>к))е У > (т.,х)е Ь~ > 'У'еч ~(к) 2] (5»~ Ь~ 3) система (1.1) абсолютно инвариантна а При доказательстве теоремы следует использовать вид (2.18) решения урзлнеяия (2.17), а таков (2,14)> (2.15), полозив С<>Р(к)и м .)р для устзновлення справедливости утверждения 2), а таке> теоремы'о непрзрввной зависимости решения дифференциального уран> ~ К-~~.Ю > кк > качестве ения заметим, что уравнение (2 ° 24) для оврщкелеыин фуню(дн Ф яв ляется сингулярным и макет не вметь решения.

Особевность уравне— ввя (2.24) и условия (2.2) для определения стратегии 4((т,Х,й) приводит к тому, что в теореме 2.2 нельзя сделать, казалось бы, упрощзкщую замену множества Ь~ ва множества Ь . Сложность решения уравнения (2.24) заставляет упрощать метод выбора прогыозирующей фуакцви ф, что приводит к способу, приве- денному в следуюцем разделе. 2.3.2. Использование и ог эьаногс ения. Будем предпо— латать, что задана стратегия управления 6 () Х), такая, что п)кц цшксировеввсм начальном условны (Г,,Х,')6 Ь, а'(х1 соответствуцщая траектория Х'(х) системы (1.1) удовлетво- ряет требуемому термнналыюму условию (2.22), т.е. г(Х'(11))=.)е. предположим, что функция цу'(О задана крк всех й 6т и обо- значим через Ь, множество точек (Ф»х,) ~ Ь,, для которцх прш примеыении стратегки К с возмущением 1)'(х) траентории Х(х) так- ке удовлетворяют граничному условию (2.22). Множество Ь, в общем случае представкяет 'собой пересечение Ь, с Ф1-мерным многообрази- ем (сэма множество Ь,сТх '»» может иметь размерность 'И.тб ).