М.М. Хрусталёв - Методы теории инвариантности в задачах синтеза законов терминального управления летательными аппаратами (1014468), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Оператор может наблюдать велкчиыы ч; ',Й) и принимать решеыае сб взмевении компонент вектора Су . процесс,управления облегчаетса тем., что каждую компоненту ~р,(х), а тем самым и ~);(т,) можво измеяцтц незавксикс. Р л а в а 2„ЛНАПИТ~ЯЕСЖБ НОТОН С)йййсА УюпАРИЬНПЬХ СИС1Е4 '',! 2.1. ИРИЖЦ%ИА)ИНАЯ НРОПЕ))УРА СИП'ИЗА Формалпо, как уже отмечалось во зьвцепш.„задача синтеза ивваркавтвоы система может бать легко сведеыа к задаче теории дифпереюшальаа: жр. Например, стратегия управления )А[) р,Ы -и зацаняого класса ы' , обеспечивающая ассслстную ипвариавтпость системы (1.1) стыосжтыьас функцкснала (1.2), если она существуп1., очевидно,.
Удовлетворяет услснпз з) м, Ф 1 [МО),в)= О, 3 Я() Е, (2,1) Здесь ) (4АЯ,З)=[Г(х(чД-й,)"; Р,у,яй . Равенство (2.1) являет- ся и достаточным условием для того, чтобы стратегия 41(') ссл:ча- ла требуемым свойством. Ззддча ыахсждекжя стратегии Ы( ) из услсвы (2.1), зак пе- трудно видеть, представляет собой одну жз задач теории джцфере~— цжальюгх ьг"й. Однако такой путь решения приклацвых зацач едва ли можае пркзпать удовлетворительным. Нрв сведении зацачи к двфрерищиаль- ной игре мы сразу приобретаеь. все неприятности, свяжете с реше- нием игрсвих задач, которые являются однлы из ыапоолее сложных в теории управлеыл, Если оы зацача синтеза иявариентных систем в сушествеыво ые- лиыейных случаях решалась только числеыыо, как зто имеет место в теория оптюыальнсго управления ж тем более в теории диф)шреяцк— альных пгр, например, так, как предлагается делать в [131, деыяый подход к реыекию задач терыипзлного упраыаевия практически поте- рял бы своп пРевмуществз перед дРугиа~.
Специфкка задачи кнзариаатности состоит в том. что стратегия 'Ы(х,ж,д), как правило„неедвпствепяа, что позволяет упростить процесс решения, иногда вплоть дс получепая стратегии Щ) в форме аналитического вырачавжя. Эта неедпыстыенассгп позволяет такие учесть дспслнительпые требования к стратегяы, не вошедшие в псставсьцу з4~~чв 1З ему фуыкция Гь К,".с(й) вдоль траекторий системы изменяется монотонно, то мокко от независимой перемезвой й перейти к новой перемеы- пой Т=Е~Ь,~с) и тогда зщкзча сведется к рассматриваемой. Можно распросграввть теорию и ва несколько более общий слу— чзй. Но из-за огрзвичевности объема пособия зто обобщение здесь ве приводвтся.
з 1.2, УСЛОВИИ )ПЙАРИзВТНОСТИ ПО ВСВМУзДНИЯМ Пусть 3»с Тх Н» — множество достиквыссти системы (1.1), т.е. множество точек(1,."С)ЕТхй», через которые проходит хотя бы одна траектория системы (1.1), начввающзяся на мнокестве Ь,, при кеком-либо возмущевыи М() . Очевидно, Ь,с ю„. Через Ь обозначим подмыожество взТ»'»», открытое вТ»ы» и удовлетворяющее условию Ь~ ю», а через Ь(ч) — сечение множества Ь ыри фвксыровеывом Т е 7 Введем в рассмотрение клесс))5(Ь) фувкцвй 9К,х~, заданвых ва Ь со звачеввяыи в Й, локапьво удовлетворзкщих условию липкапа ва Ь и диЦюревцирузмых всюду ыа(т')х Щ при почти всех йбТ. Введем тыкве конструкцию К,,(~,эс,м,м1= у„,ь,хЯ(т.х,м,й+чьЬ,М, (1л) определевыую при почти всех ТОТ и хмЬ(с),мпм~з ек», где » йт % ( =Е -ь Я' й=(м~,хь °" осе ~, (= Й„1ь,...„1 Рассмотрим сначала едучей окзлярвого критерия (1.2) (% = 1). Лалее будет укезаво, кзк свести выдачу с зевторввм критерием в рассмотрению скалярного случая.
и, дХ.Я . б ~р ~ (1.?)б Р ~ [1.2). изи2~ ю стратегви Ш%., фувкцвиЧщЭ~Щ) и суммкруемой ыа ивтервзле 7 вещественной фувзщзи )ц(т), таких, что: 1) при почти всех хбТ ввполвяется равенство Кю(~,зс,м(й,зс,г~,Ф=р(й, осщ Ь®, Ч(~,х); 2) 9(Ф~,х)= Г(М, хе Ь(1Д ° ~ »~ (м»д[4аэ . жд $$ 5(хй,ий)= ~(хЬЛ-'У(т,хМ+'УЬ..М+~ ~~ЧЬ,х(й~ Ь. учвтывея правило дифферевцировавия сложной фувкцви и обозю- чевие ~1.6), получаем 31$ З(хр),ы()1=Г(хМ-'У(~.хЬ4+Ц(ь.,х) ~,К„(~ х(фиЬхй)паз(Юй. Таксе представление фувкциовзла впервые было предложено В.Ф.
Кротовым (23). В силу условий 1). 2) теоремы ~(- ..(»=(... е( ' Жоли теперь обозначить ~(.р.~= Ч(ь.,х.)+ 1,,) йН~, то равенство (1.а) можно переписать в виде 1(х(),ОФ= С(Те,сс:). Так кек (хй,пй) — прсизвольвый элемевт изЪм, пооледвее равен- ство означает справедливость теоремы~ Теорема 1.1 идейно близка условиям оптвмвльвости В.Ф. Крото- ва (2З). Дкя того чтобы условия теоремы 1.1 были ые только достаточ— вымя, ыо и веобходвмыыи, нужно сделать дополвктельвые предположе- вия.
п~~щоксжев~ 1,1. множество ч — постоянно, множество Ь, открыто, Ь= В~д, функция у и стратегия М тзксвы, что для неко- торого фиксвроваавого ч»щЧ фувкция 6(1,зс)=Щ,х,м(т,сс,Ф),чт) вепрерывва и имеет непрерывную во Сб провзводвую ва мвожествеЬ, фУвкцил Цм~ непРеРывно диф)аРевциРУема ва Ь(хь), возмУщевии))() выбираются из ~шбого класса, содержащего кусочно-ыостояывые фувк- цви и содержащегося в классе взмервмых огравичеввых фувкцзй.
ТеоПе~~.2. Пусть выполнены предположевия 1.1. Тогда для того, чтобы динамическая система (1.1) быка вввариаытва отвосир (1.2), д~~~р урШ~ л фуыьции 9(т,зс), запевкой ва Ь со зыачеввяии в й, удовлетворню— щей условиям: '1) КчФ,."с,ий,бс,с),И=О, (1,бс)щЬ, ч)щ~(; 2) ~у(т,,х)= Г(х'), ссщ Ь(1д; 3) функция ~У непрерывно дзфференцыруема на мзожестве Ь а.
)(остяточность условвй теоремы непосредственна вытекает вз теоремы 1.1, если положять |А(~)=С,$6'7 . Необходимость доказева Технику синтеза, в основном, будем изучать на примере запачи абсозхшной инвариэнтности, ках наиболее интересной для приложений. В случае инэариантности тольКо по возмущениям Сиитез осушестзля— ется эыалогично. Формально все требуемые соотношения получаются лз рассматриваемого случая, если положить А=О,Т=Т.„-1.
и заменить,к (т) яа,ц И 9; ь) . Предположим сначала. что Фй;-Т (упражнение И вЂ” сквляр), к= 1 <слахярный критерий), ограничения за управление М. отсутствухш, т.е. <)= Р.. Будем талке использовать лапь Функции <з, непрернвно дияференпируемне всюлу на множестве Ь ~~. ~'. *~~ Ь << так, чтобы она удовлетворяла условию 2 теоремы 1.5. Зтому условию удовлетворяют, например, функции т (т,зс)= Г(х), ~' (т сс)= = Г(х)+(1МФ(т,х), если ф)оп<цииГ(х),ЗКх') непрерывно днфферен— цируемы на множестве Ь, и другие. Суымируемую ва интервале Т и непрерывную в точке <.=1~ функцию ы(х) и число А ь О выберем произвольно <дэлее мы обежим их ахияние на стратегию << ).
2 . Так лаи функция <у уже задана, то условве 1) теоремы .о 1.5 можно рассматривать кал уравнение для определения стратегии <Ь . А именно пусть вз равенства Кй(ь,эс,<х,хг)= (Р(х)-А<у(тМ(ч-х), (х,х)бЬ иБЧ(тх1 <2.2) можно выразить цеременвую <Ь вак фуницию (т,сс,и), при этом по— лученная стратегия <ь(С,х,<г) является допустимой в смысле огово— ренэых выше требомлвй (<хезИ~ и справедливо включеыие <Б„с Ь э этом случае стратегия <х(1,х,<Й обеспечвгает абсолютную ипэаризытность системы <1.1) .
Неодноэвачность выбора функций ф,~М и постоянной А может быть использована для следушцих целей: а) выполнения ограничений на управление 4< (если УФ <х ); б) обеспечения неэависвмости функции М. от возмущения О. (струитурвая ынвариантность), или некоторых компонент вектора Х; в) оптимизации .инвариантной системы по какому-либо зритерию; г) нахохдевия стратегии О, в форме достаточно простого ава— литического выражения. В чвстыости, ныбор функции 1< при заданной функции <т можыо подчинить требованию, состоящему в том, что при заданном началь— яом условии(1„х,)яЬ, и некотором опорном возмущеыии )1~(з) траектория системы (1.1) долина совпадать о желаемой — СС'(Я, которую нэзовем опорной, получэхщейся в результате решения уравнения 15 ;„.файф) О'(т)),ьеЫаА1,х'М= хо, <2.3) при э йм"'й))ббраммном управлении М'(х) ' <опорном управлении).
Для. етбрй: фуницню <з нузно определить рамнствои Р(й)'"(йнй)КТ(1,х'ЮЖ,п'(Й)+Ат(<.,х'(6),йя[ъ,',х,1, <2.4) При МК~„,Т; ) Фунжция <ы (М доопределяется произвольно. Если Фуниция <Х($,з<,и') равенством <2.2) в точиах(Т,х'(<) П'(Ь1), х6'ьх,",Ф,), определяется однозначно и траектория уравнения <2.3) единственна, то' указанное выше требование будет выполнено.
Такой способ выбора функции Ц(г) позволяет дать локальное решение задачи синтеза инзаризнтной системы и прн наличии ограничений на управление < У-г к ). Пусть множество Ч постоэнно. Обозначим череэЧ з(т) хпюжество тех у'ЕЧ, для которых((й-р~(Щей,, через Ь; - ынозвство(х„х,)яЦ, для история(ИГ+((х-х'„))азу~~, а через Ь '~ - множество (С,м) н Ь, удовлетворюздих неравенствам<)х-х'(з)(<е Ям, (Щ,сс~- -ГУ(х,л%%зу(т,-ь) . ВдесьЮ,,Ез,Еж,~ - половжтельные константы. 'в~ г~.
з ~'.=~: - '~ л (х,ж);я,'(Ьаай<),хяТ; <1"(х),<). (х) непрерывны. Пусть тамв существуют ионстэнтыэз,еж, $, такие, что стратегияИ(х,эх,<Г), найденная из условия <2.2) в соответствии с приведенным виве алгоритмом, и ф~нхция $~~1,х,п)=Щ,х,<<(т,сс,<г),п) непрерывны при всех (ь,сс~щ Ьу",)ущЧ '®,йеТ; Я(т,ж'Ю,п'(ь))=<х'(9 «1кТ > а производнаяТ» (т,х,й) фунхции ( определена и ограничена при (~ ."с)ы Ь~", <гщЧ~" (О .Т.я М ь ) Тот)(а найдутся постоянные Е,,Е,„,Е„, > О,,таяне, что и 4<Ь,х,п) '() ри Ь,жМ Ьг~", ))иЧ~ Ю,тыт 2) если в постановке 'задачи синтеза абсолютно ннзариантной системы заменить множества Ьа,Ч(х,ос), Ь на множества Ьо', Чеза, Ьэ" соответственно, то множество достиинмости Ф,с с Ь~~м и система <1.1) абсолютно инвариантна а Доказательство этого результата опирается на приведенное ниже „равнение <2.17) н его решение <2.13), а тыве на взвестнуш теорему о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от параметров.
Пгеллаггаеется провести доказательство в иачестм ~ппезыения. Дале в случае та='и=1 и при отсутствии ограничений на управление не следует думать, что задача синтеза знвариантной системы 17 с помощью пРивекеыногс езтгсРктыа рожается тРывиальыо. Неудачпый выбор фуыкцви (р может прызести к аеразрещымссты (деве зршяшпи— ельней) уравнения (3.3,' откосытельыо перемеаной'(С . Например, может сказаться, что переыевызя ы. вообще ые войдет з отзьую часть уравкеыья (3.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
