М.М. Хрусталёв - Методы теории инвариантности в задачах синтеза законов терминального управления летательными аппаратами (1014468), страница 2
Текст из файла (страница 2)
хаи жаж даме расеетривается задача слабой ииваривмгнооти, термин "слабая" будем опуоиать. Задана синтеза выверавитмой системы состоит в отысмзнии стратягаи (ь(с,сс,п.), обес~ечввазв(ей выполнение условия (1.3) мжи (1.4). Сонврззнно ясно, взиое отемение сформулированная задача аввет н задаче терминального управления. условие Г(зс(СЯ=ЦФ,(с,) мви условие у(хЫ)=3, и задает термввазыве ьесгообраэие, на но,- торое нужно привести систее, а иомпоненты вентер-фбжжции Р(х) вычисляеиой прв ссш 5с(хз), являются инварвввтами систеи. Кан следует вв постановки задачи„предполагается, что момент йз окончания процесса управления фивсиромн.
Коли момент йь не 4азсирован, но среди условий (- (1,,зс(~„)~=О, ~=с,й,...,й, задающая терминальное многообрзаие ( Рз — бннвцви„звдвввне на й"~ со значенввми ив Р ), найдется тазов, что соотвзтствузщап в [21. Ж работе [21 прццмьчвтаегся, чта Оя 1), ыо зто ыеаузскаг— мане, мвыо, что 'Ч'ю' й(- Шд~«ьг г Рю 1 г 1 теоремы 1.1 аетате веа двы ивваряаюгыоаты системы (1.1). М« .з. ли «~ ю Р 4.1 ° иеобхадиюсть вытекает из того факта, что условия 1)-3) теоремы 1.2 слабее условий теоремы 1.1 (при их сравнении вужво считать, что р(Ю)=О,СеТ ).
яиио««лл е~ 9 . я р ж~ з 1.2, явкяется решевием дифференциального уравыевыя в частвых прсиэюквых первого порицая Кч(Т,х,М~+,х,М'),~г ')= ='Рг,[Ч,ЭС1((С,Х,М(С,Х,Ф")ГГ )+УС(с~ХМ, (ГХ)ЕВ,(1.7) с креавым усковкем 9[с,,х~=Г(х~, хе Ь(М. (1.8) г«юю ~. с «,ю р~цк 1 ввй 1), 2) теоремы 1.2, если покожюгь 17=1)«. Зжщшие 1,~. Жоли взйкеыы фувкции ч,/с, удавкетворяюкие условиям теоремы 1.1, тс, как кетрудко вздеть, фуикция гус, определяемая равеыстюм гг*(9,х) = ч'[с,хг+~,)к(Й с[к, (е,хм ь, (1,2) удовпетворяет усксввиы этой теореми ври /«[с)=О,1я 7, теизм абра зсм, не ограничивая общности, можно быю бы всегда полагать ы(()= = О, ч ят . Однако величие функции )ы в условиях извариавтвосги удобно при вх практическом испольаовавии.
5 1.3, УСАОВИЯ АБО(ИИНОЙ Ы(ЗАРИАНТНОСТИ Для приложеыай ваибопее интересеы случай абсолютной иызариавтыости, т.е. иывариавтноати системы (1.1) атыоситежвс критерия (1.2) одвовремезыо цо возмущевиям )г(г)я ч' и ыачельывм Условиям (с., х.') я В .. г«р~ьз. 1. ю ~ <х.а бава абсолюгыо ввварзаытва отвосительио крмгерия (1.2) ( % = 1), достаточно существоваыия фузкцви Ме ))(Г(Ю, фуккции )А(с), заданной ыа ивтерваке Т со зиачевкзмк в М, суммвруемой ва Т и вепрерыввой прк 1=Тс, и постоянных Т,)('г О, таких, что выполвевы уоюввяг 1) при почти всех ТЕ [х;Т,ТД выполняется равенство )сч(ч,х,ы(г,хР),з)=()«(С)-М(с,х))[сто),'ХсЬ[г),чав,х); (1 1О) 2) %(С~ х)= Г(х), хе В(сй .
2с. Жели УсловиЯ 1), 2) выполнены, то длп всех (х(),Ы())Юм Ю(х(),))'Я= /ыМ /й. (1.11) Зс. Жсж дополнительно фуякция „М(С) чдовхетворяет условюо Агпшица в окрестности точки Т= 1г с констаытой М , а 4 'г 1 , то дла всех (х(),ый)ЯЪи ва ивтеРваке [Тс-с,сд), 2> О спРаведлива оцевка [Кч(с,х(6,(с[с,х[г) к(й),сф) ы '+а(г)/Я. (1 12) (мш««~, а «.у1а«., ««и«1~«„. Т« 1„=асах[с,,сс-ч) . Так как Т>О и.. па предпохожеввю Тс >Т« тс Т„<йс.
Функция ЧЙ=ЧЬ,х(ч)) . как следует из условия П, на интер- вале [с«, 1, ) удовпетворяет дифререгппгзльноыу уравыеыкю [с,-Ю „'~ % [с')+ йФ(х) = р(~~. (1.13) Жго решезия имеют ввд Щ= [Ьг-С)~~ — а«, сЬ+'Р(С«)( — ), ЛЯ[С«,Сс), (1.14) с. (с; )а«ч сг-с« и вследствие непрерывности фукьчгги /а при 1«Ъг удовкетворяют условию С другой стороны, в силу непрерывности функции су па В Б ~ с,-сч(г)= Ч[с„х(с,)), позтаыу 'ч(Г«,х(г„1)=,«М/А, . Но из условия 2) теоремы следует, что Л(х(1,ъг())=Ч'[с,,х(с,')) . А тогда 5(х(.),и(.))=рМ/4 = сони(.
Так как точка (Г.,х)яВ и пара (х(),с(О)ыЪм произвохьвы, пос- леднее равенство означает, что система (1.1) абсолютно инвариаыт- на и сира«едливо равенство (1.11). Справедливость угмрждения и. Зс теоремы предлагается дока- з ть в качестве аквевия. Замечание 1.2. Как видно из доказательства теоремы 1.3, уев ловие 2) теоремы можно ослабить, потреоовав вместо него выпопне— нвя условия с«(с,,х~= Г(х) ляль в точках мнокества Ь[ь;) , для ко- торых, Ч((,„х) = )а(ЬгД /й а Ч([ 12 13 Заметим также, что теорема 1.3 справедлива для любого юоие- ствз В, удовлетворяющего условиюйм~Ь .
Поэтому, если оцепить множество достижимости В < ве представляется воэможвым, всегда можно положить Ь=Тзк~ . Однако в этом случке приходится вздев взть функцию ~У на кеогракиченком мкожестве, что ке всегда удобВсли щатерий (1.2) векторный ['[тт' 1), то„как для получения условий инвариавтвссти по возмущениям с помощью теорем 1.1, 1.2, так и для яолучевия условий абсолютной иввариавтности с помощью теоремы 1.3, следует записать условия соответствуацей теоремы для каждой компоненты критерия [1,2) отдельно„используя каждый раз свои функции Ч, м и свою константу А (для'теоремы 1.3), В ре— зультате условия впаариавткости будут содержать % -ыервые вектор- фуккцки Ч'= (М~,'Фь, -„Фй), )з=(р~,рь,...,)ый~ и вектор А= =(А~,Аэ,...,Ай~ .
Одвзко зти условия ве будут независимы, так как искомяя стрзтегия м(т,к,ы) должка быть одна и та же для всех ком- поыевт функционала (1.2). Условия теоремы 1.3, кзк показывает опыт решения прикладных задач, квапотся достаточно гибкими, тем ке менее, скк суть лшпь достаточные условия абсолютвой иквериактыости, поэтому вх вщп не едикствевко возмсжкый.
Основная идея зткх условий сос*оит 'в том, что стратегия 4[(т,х,ы'), фувкцви [у, р и число А ныбиракшся так, чтобы заставить фувкциш [УЯ=Ч'Ь,эс(з)) кзмевяться во времеви в соответствии с уравнением (1.13), или, что то ке самое, с урав- нением э(ЯЙ = (,)ь(()- Ам®) И,-К (1.15) независимо от вмбора элементе (ас(),Ы( ))Е ))м . Уравнение [1.15) имеет особую точку типа узла при т = 1~ , так что любое его реше— пке удовлетворяет условвю Ф (Мш р(М/А (1. ВВ) Равенство (1.16) совместно с требовевием 2) теоремы 1.3 и гарак— тирует постоянство критерия (1.2), Мозно использовать и другие уравнения, вмыщке особую точку, например уравнение "— „'= Г(~3(6), [1. 17) в котором непрерывная на й и принимающая звачения в Р функпдя $ Г(т.,~у) обладает тем свойством, что, каково бы ни было число ФЕЙ и момевт (.,ш7, Ъ,<.Ь~, рещение уравнения [1.17) с начальным условием Гу(т,)=о.
определено ка всем интервзле[т,,т~) и Ф(та=с где С а Р. есть постояввая. В этом случае равенство (1.10) в теореме 1.3 следует замекить равенством )4М (т,х,'Ы(т Х Й Г) Г(т Ч(т Х)) М аЬ(Й,ЫПЧ(т И . (1 19) Уравнение [1.17) и условие (1.18) (или (1.15) и (1.10)) по существу вопкошзют следующую общую идею, Так как в силУ Условии 2) теоРемы 1.3 длЯ всех (ээ[.),ый~е()ш спРаведливо Равенство Л(к(.),9())=Ч(тюк(ь~~), то длЯ обеспечеккп абсолютвой кнвариевтности достаточво синтезыровать стратегию упре.— влевия 4о(т,'ч) простейэей одномерной системой э(Ф/~К= (С, (1.19) приводлщую ее из любого начального состояния:Ч'(Ь,~=я„Ф,<т~, в зздавкое конечное Ч'Ь~Д= С. В случае уравнения [1 16) $0=(~а(й-АЧ')(Ц-Е7, а в случае уравнения (1.Г?) ьо= Г(Ф,Гу).
1.4. ИЬВ4Я ДБО)йЮИМИ У))ВЬВИЕЙ~Х ЛИНЬМИЧЕС)[ИХ СИСТВМ В этом карагра1ю идеи абсолютной инвариавтности используются для решения другой важвой задачи теории управлевия дивемкческвми системеми — слабой декомпозкцви. Понятие слабой девомпозицви (зуеа1 Йеомрт(а~ ) впервые было предюжево в работе (9(, автори которой указывают, что ва введелие этого термина их вдохвовжки работы ~1, 21. Здесь мы рассмотрим более общую, чем в (9], постановку задачи слабой декомпозюди. Пусть управляемзя дивзмическая систеьа имеет вид Я= у((,м,м(т,х,ы;му),Ф,, ГТ 20) аналогичный (1.1) .
Здесь перемеквые х, х, ц, у, и. фузкция у((,х,м,п') сохраняют тот же смысл, что и в урзввекик' (1.1). Отли- чие состоит в том, что стратегия Я зависит от нового управлевия щ — - (м,,эп,,...,зуш) пас К~, где множество% ймксиРовзко, Задан Ф-мерный выход системы (1.20) ' ' $= ф И,ээ(т)1,' '2=(1~,~а,.") "~йщ й, где функция Ф(4;Ю оцределенв ка множестве Ь Мш м хт.с~ игл,, ) юц~ ~р декомпозицию система [1.20), если для каждой фиксировзввой вачвль- ,~ <ь, ыой точки (т.,г.) ы Ь.~Яи любых допустимых возмущениях ж(.) звачевие ~ -й компокевты ~[; (ч1 мыска системи в момент 1=1~ определяется ~.
-й в только $ -й компонентой М. ( ') Управлевияму . При этом, из- менЯЯ М„-(.1, мозно изменить Яй(ч.х) ж здесь ю будем считать, что функции 1г(),мг(.) измеримы и ограничена и что множество досткввмостж Ва~Тъй»' есть множест- во точек кз 1'хР~, в которые может попасть система (1.20) из то- чек мвсиества Ь, щш всевозмсивых )1(:) и Ю Я . Прш этом будем предполагать, что при за~бык (х,,л,)н(ь., д(:) ь0(.) решение урав- нения (1.20) с начальзым условием СС(1,)=йс, определено ва всем иктервале [(„1 1 . Иыожество Ь сохраняет тот же смысл, что и равьше. ~.~.~р ж р~ рр )0зж того чтобы стратегия м.(ч,х,ж,ыг1 осуществжялв слабую де- композицию системы (1.20), достаточно существования ж-вершой век- тоР~$Уыкцви Щ,м~=(Ч (4,зс),Чь(з,ох~,,94,(ч,жз), каждаа компонен- та которой 9; шЭЦ(Ь~, такой что: 1) щжх почти всех хш )' выполняются равенства (4-4,2...,,4х) )~И. (ч1ЗХ,М(т~сх мз)Йэф= Иуь > соя В[Й,М аЧ(х.л), ЮНМ) 2) 9" (Цц,бз~= ф„(к~по), бхп Ь(Фх), ЬА,В, °,'К .
;мущ~~. ц и В...1 ь. ар ою д пуствмые зсмк, 'в(0, ыг( 1 (в частыости, 'удовлетворвшцие урзлыевию (1.20)). В силу условия 1) теоремы, есж учесть обозыачевие (1.5), при всех 4=4,2,...,% для фувкцки 9„(ч1 ху;(Ф,сх(91 будем иметь уравкекие [9„.,(Е/[й= Юй(й, й~Ь.,й.~, ив которого вщцио, что зыачевие ЧСЬ,1= 91(Ь,,М+~, мк;ЯМ 4зикцди хрь(й) при Ф,=тх зависит лишь от вачвльвой точки (ч,,сх,) и фуыкции Ф; Я, так кек вследствие условия 2) теораих 91(тД= = чь(хц,х(жх))= фь(тх,ж9ф~ьЦ, то и величава чй(ФчД зависит лвиь от Ь~,2~1 ы 4Ш1[Ъ ° Непустота мвожествв(мЩ гарантирует, как нетрудно видеть, возможность ивмеыевия любой компоненты вектора М (4~) ва счет вы- бора соответстиумцей компоненты управлеввя 40(.) ж н практических задачах управкевкя стратегия цй(ч,л,м,мг) мо- жет реаливовываться вычислительной выживай, а вектор управления кг может быть предоставлен оператору для ручного управлевия терии- 14 валькам значением вектора выхода ~Ь,.) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
