М.М. Хрусталёв - Методы теории инвариантности в задачах синтеза законов терминального управления летательными аппаратами (1014468), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Колет оказаться„ что уравчезпе (3.3) ,азрещкмс, ко управление О.(1,.х,ы) ке ограждено ы, как следствие, )равыеаяе (1.1) не змеет зы одного рещевыя, определенного на зсеы кктервеле ~Ф,,ЗД при Ф,<1, . Кибер функции <р требует некоторого искусства и проникиовевия в ьвт*ыаткческую и физическую суляость реыае— мой задачи. К частности, есяз удается воспользоваться теоремой 3.1, ыеудачыай выооо фузкцчш 'Ф может привести к тс.~:, что по~т~- ЯНЯКЕ Е , Сс- ОхзжУГСЯ ОЧЕЫЬ иЗЛ~, 'ЫООР фУЬЛПЫЫ ~Р МОЗЕт бвтЬ направлен на уееличезые коестант с',,Ящ вплоть до выпоыевья равеыств Р,' = Ь,,'У ~(6=7 .
Некоторые рекомендации по выбору функции су будут дани в з 3.2-3.2. Взжыым аолоквтельвым качеством предлагаемого подхода является то, что в силу теоремы 2.1 деже при не очепь удачном выборе функции (у гарантируется точное релеыие задачи в некоторой опрев сивости траектории Ж.'(х) пои достаточно мыах вариапиях возмущешш ъ"(). К злу ве векторыого критерия (1.3) ("й > 1) пры числе управлений Зщ= 'К сиктез стратегии (А($,х,ю') проводится аналогично. Коли уже выбравы в соответствии с требованием 1 к -мерыые вектор— фуккции ч ,,ы и вектор Ая Й~, то стратегия а находится из системы к уравнений вида (3.2).
.Коли Мчъ % , то часть коыпонечт стратегии(1 мокко выбрать произвольно. если желез < щ, то фувкцзи М= (Ч'„(уь," .> Фщ~, /щ= =(ул Ьзе,,~цф', ВЕКтОр Д=(АЗ,АЗ, „,АЗ) И СтратЕГИЮЮЬ,Х,Ы) ПрИХОдИтся выбирать совместно (если ови существуют) и задача скытеза значительно усложняется. Кеорема, аналогичная теореме 2.1, имеет место и в векторном случае ( щ Ф 1). Коли все предположения о стратегии (4.(Ь,х,р) проверить яе удается, то предложевыый алгорвтм мокко использовать кзк звристическое 'средство для генерации подлежащих рассмотрению заркавтов.
Ь атом случае работоспособность получеыыого закоыа уыраькеыия проверяется пепосредствеквым моделировавием. Коли рассматривается задача синтеза системы, ыквариавтной только по возмущениям (с ком~цап теоремы 1. ), то все рассулдения остаются в силе, необходимо лмзь замевить равенства (2.2), (2.4) болев проотьаи равенствами Кч(с,х,м,Ю= ~4(й ) (1,х)е Ь,юе~(Ф,х), (2.5) )а Ь)= )С~~ ЬзХ М.(А Й,Ю' (6) > С6 ~1~ Ъз ~, (2.6) соответственно. Приведем црсстбй пример, демонстрирующий уиазеяыые возможно- сти синтеза. 21, п~ Й=ъ, ~=~, о.1) ~ а -'=Х +Хь — '= ХРХ +Щ, д .---Х +(Ь, (2.7) критерий Л= х,(Ч~~, возмущение 'Ф и управлевие Я ые огрзвичеыы (()=У= Й ) . множество Ь = Ье,,й,1к(Аь, Ь,=~Ре„1Дх((з.
' Воспользуемся равенством (2.Ь) ° положив рЮ= й,йы Ь ,,М. Коли фувкцию (у определить равенством 9(1,Ф=- ОО~+ И-М(Хь~Хд, (2.8) то получим стратегию М.= — 'р.— хз+ Хь — ось, Можно подобрать функцию Ср так, что стратегия (А яе будет зависеть от коордикаты Хз . А иыеыыо, если (УЬ х~ (~+ ь(1 Мь)х~+ Ь Мха+ Ь й 1х тс (Х= )) + Хь Хз 1ь ~Ъ Фз) (ХзтХз), Коли фуикцкю 9 задать равенством (Р(~,х~= Ц',(6х . ЧЯ~~Х„+ЧЯЮОс где „()= Аа(ф-Ф-Ъ 4,.-$Ь-")Г Ф(,,) Г; Гь'(,1Я з Ф М= И( й-Е з( ) '(ь (с- Ч Ч'.ай=а К '('~'~ ЬйФ(~-1,) то стратегия (А ые зависит от всех фазовых координат (1=-')ь ~ .
— й~ — (з-т,~~~Г. г ~х(ч-М,(ь аыЯ(~-з ~ Однако в етом случае стратегия АА рещает задачу инвариаытно- сти лвзь при 1ь- (.,„с 1;, ь'(з Йесмотря на то, что исходная система (3.7) линейка,.сущест— вуат и нелинейные по фазсвым координатам стра*егии 9., решающие задачу инваризптыости. Например, есш фущкцчю (у зацать равеыст- 19 вом Ф(™)=- х»т (1-1»)(хк+хк)+ — "(1,-к) хк, то стратегия 1х буДет кнезь взД 1(=-)У-Х~+Хк-Х~-(1-1)(Х~ Хк 9)~„-~з .
Если прнмейтть уоковкя абсолютной инвариантности теоремы 1.3, а функцию т задать равенством (2.8), то 1»=-1К-й»+Хе-ХЬ- — '-+ ' э Ах А(х тх ) (е-ч )х (1-1,) где Аяй, А)0 . В этом случае на любых траекториех сиате»ю (3,7) и при любых вазмущевивх критерий ) равен нулю. стратегвя 1ь(1,х,1г), найденная из условий абсолютной инвариантнссти теореиы 1.3, обкадает слекукнвм замечательным свойством. Пусть дян простоты рассуждений вачахьная точка (1,,х,)я(щк»о и 'Е=Ф.»-~ .
Тогда на некотором интервале [й, 1'1, 1,'с1,, можно ые использовать стратегию Ф., а использонать любую другую стратегию 11~(ч,х,чй „выбираемую произвольно. Если до момента х включительно траектория системы не покинет множества4», то, исполь— вуя в дакьнейяем (при й >й ) стратегию (Х, мы будем иметь на цолучивяейсн траектории та ье самое значение критерия, что и при иснояьзсвении стратегии (А. на всем иатерваке [т „1, '] . Зта особенность стратегии (А(1,х,1») позволяет учитывать всевозыажзые дополнительные ограничения на процесс управления. В частности, если п)ик оинтезе стратегии М не учитывахось ограничение 1» Я 1), то можно использовать эвристические соображения для формирования стратегии М" . целиком лежащей в () .
Важно лзиь, чтобы в моменты (. „близкие к момевту1», стратегия(ь» совпала со стратегией(1, выбираемой из условий абсолютной инваризвтности. Зта особенность отражена в теораме 1.3 в там, что требуетоя выполнение условия 1) люки на интервале [Ф, - Т, 1») ~ Т . Не следуот думать, что стретегюэ М" можно выбирать сове)юенно провзвольно. Неудачный ее выбор может привести к тому„что ' траектория системы покинет множестно (б„» и не сможет в нега нерв дуться (вплоть до момента Т=Ф.» )' и условия изнариантностп не будут выполнены. Один из эвристических способов построения стратегик1» (Ф,х,н) удовлетворяющей ограничению М"я'1), состоит в определении ее из ускавкн ))»(Ч,Х,1»~(1,Х,1)),)У))= 1щьФь )Р(1,Х,»»,М)) (2 ° 9) неы где Р(1,х,1»,ъг)= Кр(1,х,м,1У)-~)»(1)-А»У(1,х))(1»-1) . (2.10) 20 В» ку, в которых стратегия»»(т„х,Ж, ней , .„,,-:щ девке»е.': ':.
':,»И)'; УДовкетноРЯет огРеыкченвю ы(1,хРМ» ) и ""::: фуратегкя чь" ° опредакяеыая из (2,11), автомати— чео)))~,,,'ф()(((((йефт со стратегией Ю . Учрнах)»й»ЕНИЕ (2 9) ЗедзхщЕЕ СтратЕГИЮ 1Г(1 Х Г) а тэККЕ уран- иаййк (3.2), (2.5), используемые в более простых случаях, будем взвывать евиеми, видения. ПВимеэ 2.2. Пусть система (1.1) имеет вид с(х /»(1 = К+ О, 1 н [1,, 0), (2.11] где х,м,г е И, )Щя 2,, М <1, критерий (1.2) задан в виде Д= =Х(с) .
Требуется синтезировать стратегию, обесцечивакеюю абсолют- ную инвариантность сиате»ю (2.11). Возьмем)»(1)=0, Ф=Х, тогда, используя уравнение уыравления (2.3), цолучим снедуюкув стратегию управления: ьк=-чу+А1'х, а ис- пользун (2.9), получим стратегюэ (-О+ А'Г'х, если ) А1 х-ю)э2,, '[ЕоО)щ(А1 х-Ю), если ! А1 Х-Ф)>Ъ, которая при Ат1 обеспечивает значение критерия ) =Х(0)=0 во всех слученх, в которых принципиально возможно приведение системы в точку Х(0)=0.
0 3.2. НЕФСИНИЬНЬК ИНТЕРПРЕТАЦИЯ УСЕСВИИ ИНВ»РИЬНТНССТИ Здесь предлагается несколько вариантов неформальной интер— претации условий инеариантности, позволяющих понять существо ме— тода и призванных выработать интуицию в выборе функций Р и)ы определэющих свнтеэ ннвариантной системы. 2.2.1. Геомет кческея инте ет .
Условия инва)зкатности теоремы 1.1 имеют простую геометрическую интерпретацию. Стратегня 1» уравнением управкевия (2.5) задается так, чтобы при фиксированной начальной точке (1,,х )яь, и при любах возмущениях чу(.) траектория систезм (1.1) не покидала поверхности, задаваемой равенств вом Ф(1,х)+~ )ы(б) Ь= со»ко~, (2.12) в пространстве переменных 1.,Х (рис. 2.1). Поэтому прий=1» система попадает на многообразие, представкякщее собой пересечение поверхности (2.12) с плоскостью Х=1» .
Условие 2) теоремы 1.1 ооеспечивает принадлежность этого многооаразин поверхности уровня фунвпии Г(х) . тем самим и обеспечивается ннзарназтность системн, Значение критерия (1.2) будет таким же н для всех других пав чальных точек ($„х.,)яВ,, лежачею: в указанной поверхности. поверхности ница (2.12) представлаот собой однопарзметрнче— ское семейство, заполнзхщее зсе множество Ь . Рнс.
2.2 Рис. 2.1 В случае абсолютной нзвариантности (пусть для простоты'Е= =Т~-1,„) стратегия О. уравнением управления (2.2) задается так, чтобы для начальной точки (1,,се,~я Ь,, принадлежащей поверхности (р(~,х)= Ф(6 (2.13) в пространстве К~' , где 9(9 — ханое-лнбо решение уразнення (1.15) (нли (1.17)), при любых возмущениях ()-(.) траектория Х( ) системы (1.1) остазалась в этой поверхности. Поверхности (2,13), кзл и (2.12), представляют собой сднопараметрнческсе семейство, заполнзюцее множества точек($„466,1<Т~, но в отлячне от (2.12) этн поверхности пересезвются с плоскостью ФлЪ~ по одному и тому же многообразию, на потором Г(Х)= М(~а) /А = ссюе1, что н обеспечиьает постоянство критерия (1.3) для всех(х(),ю(-))е я3~,, т.е.
абсолютную ннзарзантность системы (1.1) (рис. е.х), Не следует думать, что условия знварнантностн навязызают очень жестзий способ управления. Необходимо иметь в впцу, что семейство псзерхностей (2.12) нлн (2.13) монет гнбзо зноирагься с помощью фувицзи Ч, а в случае (3.13) н с помощью числа А, определнеммх условиями иннаривнтности неоднозначно. Зтим рассматринаеман здесь задача слабой ннзариентности звгодно отличается от задачи сильной инзармзнтирсти, в жоторой указаанне поверхности жв— стпо навнзнззюися видом фуниционзла. 2.2.3.
Геомет ическ в в спе ной системе асор))))нат. Пусть тепзрь задазм опорзие возмущение Ф'(т') , управ— ленив (С (Й и траехтория Ос'(О , а функция м(9 задана равенством (2.8). Обозначим (р'®= ч (и,.х'Ьй, (2.14) а(у(В,."с)= Ч(ц,х')- М'И. (2.15) Для изваривнтной по нозмущенвмц системы (1.1), синтезированной с помощью теоремн 1.1, наз зто следует из предндущих рассуя— дений и (2.12), на любой траектории ХФ, (зьй,м(.))63м спраледлино равенство а~У(ф.,бей)= О, $ и ~1а,й~) . (2*16) Поэтому в плосиооти переменнмх (х,еЮ поверхности (3.13) переходят в прямые линии, пярацлальнне сои ю (рис. 2.3). для системы, обладехщей свойством абсолютной иннарзнзтности, синтезированной на основе теорезе 1.3, величина а(р(ч,ец(ч)), язл зто следует из (1.16), эволюционирует в соответстваи с уравнением ф а Ю,бей+ А Ь,-йТ'я Ф(т,Х(6-0, йяЬ,М, (3.17) решение которого имеет нзд я(р = ь(р, (ъ,-й" (Т,-ТД".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
