М.М. Хрусталёв - Методы теории инвариантности в задачах синтеза законов терминального управления летательными аппаратами (1014468), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть все траектории Х(4), исходзщие из мыаиества Ь,, ле— кат в компактном множестве ЬсТх Й», а Ь вЂ” открытое вТх Й» множество, содержащее Ь Как и в предкдущем разделе, будем предполагать, что функция П'ф непрерывна и выполнено условие (2.23). прогнозирующую функцию (у(х,х) будем искать как решение линей- ного уравнения в частзых производных первого порядка Кф(4,Х,44 (С,Х),1?~®=О, (4„Х)6Ь, (2.29) с граничным условием (2.26). Уравнеыне (2.29) получается, если в условии 1) теоремы 1.1 использовать стратегию(4, полокытьУ='О'(Й и )э(т)=О .
Последнее, как следует из замечания 1.1, не уменьшает общности, Уравнение (2.2Ц, в отличие от (2.24), не выест особенности, теория таких уравнений хорошо развита (261. ьвк зто следует из теоремы 1.1, стратегия 4((С,Х) обеспечива- ет инвариантность систвшц ва ьозмущевиям, если ь качестве множе— ства Ь взятьЬ, и считать, что множество'ч'(Ф,Х') состоит из од- ного элемента Ю'(х), Более тога„ нетрудно видеть, что на поверх— ноати ~Р(4,Х)=Л,, в которой лежат зсе траектории, исходящие иэ множества Ь,, выполнено и уравнение (2.24). Вто ваэацкт на мысль использовать полученную фувкцвю ф длн синтеза системы, инварцщнт- ной по возмущениям. А именно теорема 2.2 остается справедливой, если мн~еетво Ье заманить Е -окрестностью множества Ь, при доста- точйо юдам Е > О, а условие (2.26) — на условие 4((Ф,Х,П'(х))=Щх) при(4,Х)» Ь ы (УКХ~=Д .
упрощение уравнения для определения функции (у привело н к некоторым потерям. Вместо всего множества начальвнх условий Ьь здесь удается охватить лишь окрестность множества Ь,с Ь. Преимуществом второго способа, помвма упрощения уравнения для функция Т, являвшая то, что здесь не нужыо решать задачу терминального управкевия. Лостаточно, чтобы стратегия4((х,х) осев спечивака выполнение терминального условия всего для одной траек- тории. В качестве4(.(4,х1 можно взять даже программное управление Й (т,х) ы 4А. (4). Хотя в теоремех 2.1, 2.2 и в данном разделе не содержится ин- формации о вшычвне констант Е,,Е, Е„, Е ° применение этих ре- зультатов дает уверенность в правильности политики выбора функции (9 . Практически величины Е,, Еш, Ек, Е определяются моделвро— вавием на 3ВМ.
2.3.3. Ыспольэованке иближенвых е ения, Даже в более простом случае уравнения (2.29) его ишцюгршровавие, как из- вестна (261', сводится к решению уравнений двмювыя системы (1.1), замкнутых стратегией Й(ь,Х) с возмущением ы'(х) в явном виде. Предлагаемый в (131 (для случая инзариавтности по возшущенкзм) способ, решения уравнения (2.29) ва борту 'летательного аппарата ме- тодом характеристик приводит к неоправданно граюздким алгорюмцм.
Так как в большинотзе практических задач уршзненвя дншцеивы в явном виде не ивтегрвруются, то естественно испольэовать управ щепные, но интегрируемые уравнения, Эта иден не нона. Методм прогвозировавия терминального про— маха по прнблшценнни уравнениям напользуются уже давно. Однако чаше всего такие способы унравлення имеют методическую ошибку ре- шения задачи терминального управления, она ре ается лишь прибли— женно. ьак это уже отмечалось выше, условик ьлварыаатности обладают тем замечательнши свойствам, что мссользование пркблиаезных урав- нении двшцения щш выборе щркциы 'Т не приладит к прыолыжевзвм успевал инэарнантыости, а ьюкет только сузить область отклонений вачалывх условий в ооласть возму.~ежай, компенсируемых полученыой стратегией упрзвленыя.
29 Можно предлож««ть следухщий способ построевия прогяозкрулцей фующии «Р по приблккевввм уравнениям дввжевия. 1о. С использовавкем приближеввых уравнений дввжевия строится функция (р способом, указзввым в равд. 2.3.1 или 2.3.2. 2о. Выбврается функция )«А(х) так, как указано в теоршие 2.1. Зо. Моделированием выявлзются области компевсвруевых вачальвых условий и возмущений. Решевие пралтическвх задач показывает, что, работая по етой схеме, мокко использовать очевь грубые упрощенин уравыеввй дввжеяия. Бащюмер, в задаче управлевия дальностью полета в атмосфере (см. гл.
3) ва этапе 1о используются уравкевия движевия в пустоте. Неудача многих попыток использовать щюблвжеввые модели двикения для сквтеза заковав термикальиого управления обьясвяется,. в частности, отсутствием агапа 2о в щюцедуре синтеза. Нетрудно видеть, что все результаты, приведеывые в этом па— рвграфе, легко обобщаются ва случай веиторзого крите)п«я (1.2) (Мъ1 ). й 2.4. О НРАКГИЧЕСКОИ РЕААЕЗАЦИИ ИННАРИАНТНМХ СИСТйй( На щавтике иногда вецелесообраэво разрешать уравнение управлеввя (2.2) и«ю (2.9) отыосвтазьво упразлевия (( в связи со слелузщвзю обстоятельствами Во-пе1 вх, может оказат ся, что взвоз сж о вайти уп~~ л Я. иэ (2.2) жзи (2.9) в виде явкой авалитической аависиюсти. Во-вторых, бывает, что ке все вэ переменных х,бб „«А,ЧУ «юддаются яепооредствевнсму измеревюс, в то время как фувкцию Р определяемую равенством (2.10), можно представить в виде Р (Т,ОС,4(,О) = й ~~ (й,~,ь«,СЯ, (2.30) где эиачзивя вектор-функции ~~1,х;ы,««) поддаются измерению, поэтому левая часть уравнения Щ(й,х,Ц,«Т))= О, раввосильвого (2.2), макет бить ввчислева.
Оказывается,этого и воэможности ввмеревия управления М достаточно для того, чтобы организовать процесс управхевия, сколь угодно близкий к идеальному. Более того, ве возвикает необходимости в точкам звавви вависиюети переыеввых ~ от переменных (й,ж,ч(,С') . нракполсжзм, что фующия Р(ь,«х, АФ1 непрерывка я имеет иепрервввую щхаввсдиую по перемевиой я . Тогда веобходюаю условивм 30 разрешимости уравнения управления (2.2) относительно переменной (А будет 9««р().
~ ~ ~«'~ О э (2.31) Естественно считать, что функ«п«я «Т выбрана так, что условие (2.31) вызолнено для всех реалвзуюшихсн значений с<1«,х,««,п . Тогда левая часть неравенства (2.31) не меняет знака при 1 < 1«. ьудем заказать управление «А ( 4( — с««ачяр ()=(ы,««+1 ) нел решение уразневия «ч«(п ~ О, -ь О. («~~ ), (А > М'; )«Ц,®, 4( <Ы<и+; ««за ж ~ О, - х Я («ф $ «ь ш «А (2.32) !.5. ~ Т«%~ТЫ«бс««й«ВАРИАНТНОСТЬ 'Н з ь««цно з обо)з«<ев««я проолеыы синтеза ю«вариантных спев теы ()2.1), фуыкцвн «У , а значит, и с«ратегиз ч.
, оосспечизаю- где постоянная )«имеет знак, совпадающий со знанол«левой части неравенства (2.31). Нри достаточно большом значении ) Х) уравнение (2.32) сколь угодно точво реализует стратегию М(х,с«,«)) , опоеделяемую уравнением управления (2.2) илв (2.9) ° Если переменная (А не может быть измерена, то для приск«п«заной реализации (2.2) или (2.9) можно использовать всевозмо аые экстремальные регуляторы. В связи со сказанным во многих случаях становится неактуальной критика иввариавтвых систем, связанная с необходимостью измерения возыушею«й. На самом деле, нужно измерять зе зозмущевия, а некоторые комбипеции переменных 1 ,сс,«А,"«« (переменыые «« ), ко— торые часто доступны измерению.
Например, в задачах упра«ы«ения полетам летательных аппаратов необходю«о измерять перегрузки, действующие ва летательный а«п«а— рат,. и фазовые координаты или, цекоторые их номспнацви. Нри оольшом значении параыетра ~Ц з (2.32) могут получиться сольшяе значения )с(м/«(Ц , которые не у««ается реализовать, еслв пере««ен««; я «А достаточно инерционна. Н атом слу «ае условия зава— рпзнтности аучно исс««едозать с привлечением уразнезий, опясыьюа„«зх дю«вьюку изменения переменной (« . Здесь мы предполага«п, что гереыенные «з« могут быть измерены точно. опросы синтеза «««« "ар«««в«тыых систем при неточных пзызропиях рассмотрепы в « Е.Н.
щие ивваркавтвость, чаще всего ве едияствеввы. Квк уие отмечалось, зтот факт мокко использовать для удовлетвореввя доволвительвых требовавй к стратегии Я . Покажем, как мокко добвться везависымости стратегии Ю от возмущений \~(х), т.е. обеспечить тек называемую структураую инва)пввтыость.
При этом ограввчвмся случаем, когда функция 1 в ураввевви (1.1) такова. что У(х,-"С,4(,Ф= т'Ь,Х,(Ь)+ Т'(Х,Х,иМ, (2.33) где 3~=(з ',х ~..., 1~"), $ )у=У; ~У')у;, Будем тапке предполагать, что ывокество У яостоявво и имеет вепустую выутреввость. ТейНема 2.3. Пусть стратегия М(х,зз) такова, что для системы (1.1), замквугой атой стратегией, выполнены предположения теоремы 1.2. Дкя того чтобы система (1.1) была инвариантна по возыущевиям относительно функционала (1.2), остаточно и яеобхо о существовевие фувкцви (т(ч,зс), такой, но выполнены условия: 1) функция (у непрерывно двфреревцкруема на множестве В 2) Ф„(~,ХМ~,бс,и(4,ХЯ~+ ЧЦ~,Зс~= О, (х,Х)Ш Ь; (2.34) 3) <Р(1ь,3с) = ) (зз1, обе Ьйь); (2.35) 4) Ч (4 ЫР(4 Х>Я(Й,ХЯ)=0, (т,Х)Е Ь л (2,36) Дойайатеи~твй. Достаточность вытекает непосредственно вз теоремы 1.2, если применить ее к системе (1.1), учитывая (2.33).
Необхсдвмссть предлагается оказать в качестве ажкевия с использовавием теоремы 1.2. В общем случае синтеза ияварыаптной системы, рассмотреввом в з 2.1 ° функция (у и стратегия (1 должны удовлетворять лишь одному ураввеввю (1.7), вытекаюцему из условия 1) теоремы 1.2 или из услбвия 1) теорема 1.1. В рассьштриваемом же здесь случае условие 1) теоремы 1.2 распадается ва Ф'+4 уравнение (2.34), (2.36), из которых вукяо найти Ш+4 фувкцию. В связи о етым, вообще говоря, естественно предполагать, что Ф' ч Мп . В случае Р = шч вполне может случиться, что условия (2.34)-(2.36) определяют единственную фувкцзю 9 и едиыствеввую стратегвю Я .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
