1611688965-49eb25192487de9ca8a71123a3c272a8 (Барахнин, Шапеев), страница 8
Описание файла
PDF-файл из архива "Барахнин, Шапеев", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вычислительный практикум" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 8 страницы из PDF
®¢®ªã¯®áâì 㧫®¢ §ë¢ ¥âáï. §®áâìâãன ä®à¬ã«ëk㧫 ¬¨ ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ëá¥âª®©=Zbaf(x)dxnXk=0ck f(xk ) §ë¢ ¥âáï ¯®£à¥è®áâìî ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë. ª ¯à ¢¨«®, ®æ¥ª ¯®£à¥è®á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤jj C(b a)k ;(3:2)£¤¥ k > 1, C | ç¨á«®, § ¢¨áï饥 ®â ⨯ ª¢ ¤à âãனä®à¬ã«ë ¨ ®â ¯®¤ëâ¥£à «ì®© äãªæ¨¨ f, ® ¥ § ¢¨áï饥®â ¤«¨ë ®â१ª [a; b]. ਠ®æ¥ª¥ ¯®£à¥è®á⨠äãªæ¨ïf(x) ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï ¤®áâ â®ç® £« ¤ª®©. ⥮ਨ ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ¨á¯®«ì§ã¥âáï ᢮©á⢮ ¤¤¨â¨¢®á⨠®¯à¥¤¥«¥®£® ¨â¥£à « : ¤«ï «î¡®© â®çª¨d 2 [a; b] ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮49Zbaf(x)dx =Zdaf(x)dx +Zbdf(x)dx:ãáâì ¤«ï ¯®£à¥è®á⨠ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë (3.1) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ®æ¥ª ¢¨¤ (3.2). §®¡ì¥¬ ®â१®ª [a; b] â®çª ¬¨d1; d2; : : :; dN 1 N ç áâ¨çëå ®â१ª®¢ ¤«¨ë h=(b a)=N:[d0; d1]; [d1; d2]; : : :; [dN 1; dN ] (¯®« £ ¥¬ d0 = a, dN = b) ¨¢ëç¨á«¨¬ ¨â¥£à « ª ¦¤®¬ ¨§ ¨å ¯® ä®à¬ã«¥ (3.1), ¯à¨í⮬ ¯®£à¥è®áâì «î¡®¬ ç áâ¨ç®¬ ®â१ª¥ ®æ¥¨¢ ¥âáïá«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: b a k= Chk :j Nj C Nᯮ«ì§ãï ᢮©á⢮ ¤¤¨â¨¢®á⨠¨â¥£à « , ®æ¥¨¬ ¯®£à¥è®áâì ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢á¥¬ ®â१ª¥ [a; b]: kkjN j C N b N a = C (bN k a)1 = C(b a)hk 1: (3:3)¨á«® k1 §ë¢ îâ ¯®à浪®¬ â®ç®á⨠ª¢ ¤à âãன.â ª, à §¡¨¥¨¥ ®â१ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï N à ¢ëåç á⥩ ¯à¨¢¥«® ª 㬥ìè¥¨î ¯®£à¥è®á⨠¢ N k 1 à §.§ï¢ N ¤®áâ â®ç® ¡®«ì訬, ¬ë ¬®¦¥¬ ᤥ« âì ¯®£à¥è®áâì¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ᪮«ì 㣮¤® ¬ «®©.ä®à¬ã«ëx3.1.
à®á⥩訬 ¯à¨¥¬®¬ ¯®«ãç¥¨ï ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«ï¢«ï¥âáï § ¬¥ ¯®¤ëâ¥£à «ì®© äãªæ¨¨ f(x) ®â१ª¥[a; b] ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë¬ ¬®£®ç«¥®¬, ¯®áâà®¥ë¬ ¯® 㧫 ¬ ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë ¢¨¤ (3.1), á ¯®á«¥¤ãî騬 ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ í⮣® ¬®£®ç«¥ . ®«ãç¥ë¥ â ª¨¬ ᯮᮡ®¬ä®à¬ã«ë §ë¢ îâáï ª¢ ¤à âãà묨 ä®à¬ã« ¬¨ ¨â¥à¯®«ï樮®£® ⨯ . ᫨ ¯à¨ í⮬ á¥âª à ¢®¬¥à ï, â® ¬ë¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ä®à¬ã« ¬¨ ìîâ® | ®â¥á .
«¥¥ ¡ã¤¥¬¯®« £ âì x0 = a; xn = b, xk xk 1 = (b a)=n; k = 1; 2; : : :; n(¨áª«î票¥ á®áâ ¢«ï¥â á«ãç © n = 0, ª®£¤ ¬ë áç¨â ¥¬x0 = (a + b)=2).50¨¦¥ ¡ã¤¥â ®áãé¥á⢫¥ ¢ë¢®¤ ä®à¬ã« ¨â¥à¯®«ï樮®£® ⨯ ¤«ï n = 0; 1; 2.3.1.1. ਠn = 0 ¯®« £ ¥¬ x0 = (a + b)=2, â® ¥áâì f(x) f( a+2 b ).®£¤ ¨áª®¬ ï ª¢ ¤à âãà ï ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¢¨¤Zbaf(x)dx (b a)f( a+2 b ):(3:4) §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ¯àאַ㣮«ì¨ª®¢, ¨¡® ¯à¨¡«¨¦¥®¥ ¢ëç¨á«¥¨¥ ¨â¥£à « ä ªâ¨ç¥áª¨ ᢮¤¨âáï ª 宦¤¥¨î ¯«®é ¤¨ ¯àאַ㣮«ì¨ª á ¤«¨ ¬¨ áâ®à® (b a) ¨f( a+2 b ).楨¬ ¯®£à¥è®áâì ä®à¬ã«ë ¯àאַ㣮«ì¨ª®¢, ¨á¯®«ì§ãï à §«®¦¥¨¥ äãªæ¨¨ f(x) ¢ àï¤ ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®áâ¨â®çª¨ (a + b)=2:(x a+2 b )2;f(x) = f( a+2 b ) + f 0 ( a+2 b )(x a+2 b ) + f 00 ()2£¤¥ 2 [a; b].
ãç¥â®¬ ®ç¥¢¨¤®£® à ¢¥á⢠Zba(x a+2 b )2k 1dx = 0; k = 1; 2; : : :;¯®«ã稬, çâ®==ZbaZba(3:5)f(x)dx (b a)f( a+2 b ) =(f(x) f( a+2 b ))dx =¢®¤ï ®¡®§ 票¥Zba+b 2f 00 () (x 2 2 ) dx:aMk = xmaxjf (k) (x)j;2[a; b]¢ë¯¨è¥¬ ®æ¥ªã ¯®£à¥è®áâ¨:51(3:6)jj M2Z b (xa+b )23dx = M2 (b 24a) :(3:7)2âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ¬®£®ç«¥®¢ á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ 1ä®à¬ã« ¯àאַ㣮«ì¨ª®¢ ¤ ¥â â®ç®¥ à ¢¥á⢮.楪 (3.7) ï¥âáï ¥ã«ãçè ¥¬®©, ¨¡® ¤«ï äãªæ¨¨f(x) = (x a+2 b )2 ¨¬¥¥¬ M2 = 2, f( a+2 b ) = 0 ¨a2Zb33f(x)dx (b a)f( a +2 b ) = (b 12a) = M2 (b 24a) ;aâ® ¥áâì (3.7) ¢ë¯®«ï¥âáï á® § ª®¬ à ¢¥á⢠.à¨ à §¡¨¥¨¨ ®â१ª [a; b] N à ¢ëå ç á⥩ ¤«¨ëh = (b a)=N, ª ª íâ® ¡ë«® ®¯¨á ® ¢ëè¥, ¯à¨¬¥¥¨¥ ª ¦¤®¬ ç áâ¨ç®¬ ®â१ª¥ ä®à¬ã«ë ¢¨¤ (3.4) ¤ áâ á®áâ ¢ãîä®à¬ã«ã ¯àאַ㣮«ì¨ª®¢:Zbaf(x)dx hNXi=1f(di 1=2);£¤¥ di 1=2 = di h=2.
¥ ¯®£à¥è®áâì, ᮣ« á® (3.3), ®æ¥¨¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:2jN j M2 (b 24a)h :¥¬ á ¬ë¬ ä®à¬ã« ¯àאַ㣮«ì¨ª®¢ ¨¬¥¥â ¢â®à®© ¯®à冷ªâ®ç®áâ¨. ¤ ç 3.1. ®ª § âì, çâ® ¯à¨ x0 = a ¨«¨ x0 = b ä®à¬ã« ¯àאַ㣮«ì¨ª®¢ ¨¬¥¥â «¨èì ¯¥à¢ë© ¯®à冷ª â®ç®áâ¨.3.1.2. ¬¥ïï ¯®¤ëâ¥£à «ìãî äãªæ¨î ¨â¥à¯®«ï樮묬®£®ç«¥®¬ ¯¥à¢®© á⥯¥¨, ¯®áâà®¥ë¬ ¯® 㧫 ¬ x0 = a,x1 = b, ª®â®àë© ¨¬¥¥â ¢¨¤L1 (x) = b 1 a (x a)f(b) (x b)f(a) ;¯®«ã稬 ä®à¬ã«ã âà ¯¥æ¨©:52Zbaf(x)dx (b a) f(a) +2 f(b) :«ï ®æ¥ª¨ ¥¥ ¯®£à¥è®á⨠¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© (2.2),ᮣ« á® ª®â®à®©b) :f(x) L1(x) = f 00 ((x)) (x a)(x2âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ®=â® ¥áâìZbb) dx;f 00 ((x)) (x a)(x2ajj M2 (b 12a) :3⠮楪 ¥ã«ãçè ¥¬ , â ª ª ª ¢ ¥© ¤®á⨣ ¥âáï à ¢¥á⢮, ¯à¨¬¥à, ¯à¨ f(x) = (x a)2 .믨襬 á®áâ ¢ãî ä®à¬ã«ã âà ¯¥æ¨©:!ZbNX1f(x)dx h 12 f(d0 ) + f(di ) + 21 f(dN ) ;ai=1£¤¥ h = (b a)=N, ¨ ®æ¥¨¬ ¥¥ ¯®£à¥è®áâì:2jN j M2 (b 12a)h :â ª, ä®à¬ã« âà ¯¥æ¨©, ª ª ¨ ä®à¬ã« ¯àאַ㣮«ì¨ª®¢, ¨¬¥¥â ¢â®à®© ¯®à冷ª â®ç®áâ¨, ® ¥¥ ¯®£à¥è®áâì ®æ¥¨¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨®© ¢ ¤¢ à § ¡®«ì襩.3.1.3.
®«ã稬 ª¢ ¤à âãàãî ä®à¬ã«ã ¨â¥à¯®«ï樮®£® ⨯ á â६ï 㧫 ¬¨ x0 = a, x1 = (a + b)=2, x2 = b, § ¬¥¨¢äãªæ¨î f(x) ¬®£®ç«¥®¬ £à ¦ ¢â®à®© á⥯¥¨, ¨¬¥î騬 ¢¨¤L2 (x) = (b 2 a)2 (x a+2 b )(x b)f(a)532 (x a)(x b)f( a+2 b ) + (x a)(x a+2 b )f(b) :⥣à¨àãï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥, ¯®«ã稬 ¯à¨¡«¨¦¥®¥ à ¢¥á⢮Zbf(x)dx b 6 a (f(a) + 4f( a+2 b ) + f(b) ;a §ë¢ ¥¬®¥ ä®à¬ã«®© ¨¬¯á® ¨«¨ ä®à¬ã«®© ¯ à ¡®«. ¤ ç 3.2. ®ª § âì, çâ® ä®à¬ã« ¨¬¯á® â®ç ¤«ï «î¡®£® ¬®£®ç«¥ âà¥â쥩 á⥯¥¨.«ï ®æ¥ª¨ ¯®£à¥è®á⨠ä®à¬ã«ë ¨¬¯á® à áᬮâਬ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ ନâ âà¥â쥩 á⥯¥¨ H3(x)â ª®©, çâ®H3(a) = f(a); H3( a+2 b ) = f( a+2 b );H30 ( a+2 b ) = f 0 ( a+2 b ); H3(b) = f(b): ¯. 2.1.4 ¤®ª § ë áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì â ª®£®¬®£®ç«¥ , â ª¦¥ ¯®«ãç¥ ï¢ ï ä®à¬ ¥£® ®áâ ⪠. ¤ ®¬ ª®ªà¥â®¬ á«ãç ¥IVf(x) H3(x) = f 24() (x a)(x a+2 b )2 (x b):ᯮ«ì§ãï १ã«ìâ â § ¤ ç¨ 3.2, ¯®«ã稬 à ¢¥á⢮ZbaH3(x)dx = b 6 a (H3(a) + 4H3( a+2 b ) + H3(b) =âáî¤ == b 6 a (f(a) + 4f( a+2 b ) + f(b) :Zbf(x)dx b 6 a (f(a) + 4f( a+2 b ) + f(b) =a= ª¨¬ ®¡à §®¬,Zbaf(x) H3(x) dx:54Z b5M4jj 24 (x a)(x a+2 b )2 (x b)dx = M244 (b 120a)a¨, ®ª®ç ⥫ì®,5jj M4 (b2880a) : §¡¨¥¨¥ ®â१ª N à ¢ëå ç á⥩ ¤«¨ëh = (b a)=N ¤ áâ á®áâ ¢ãî ä®à¬ã«ã ¨¬¯á® :ZbNXf(x)dx h6 (f(di 1 ) + 4f(di 1=2) + f(di ));ai=1£¤¥ di 1=2 = di h=2.
楨¬ ¥¥ ¯®£à¥è®áâì:a)h4 :jN j M4 (b 2880 ª¨¬ ®¡à §®¬, ä®à¬ã« ¨¬¯á® , ¨¬¥îé ï ç¥â¢¥àâë© ¯®à冷ª â®ç®áâ¨, áãé¥á⢥® â®ç¥¥, 祬 ä®à¬ã«ë ¯àאַ㣮«ì¨ª®¢ ¨ âà ¯¥æ¨©.3.1.4. ª 㦥 £®¢®à¨«®áì, ª¢ ¤à âãà ï ä®à¬ã« ¨â¥à¯®«ï樮®£® ⨯ ¯®«ãç ¥âáï § ¬¥®© ¯®¤ëâ¥£à «ì®© äãªæ¨¨f(x) ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë¬ ¬®£®ç«¥®¬ £à ¦ ,Ln (x) =£¤¥!n(x) =nYnXk=0!n(x)(x xk ) !n0 (xk ) f(xk );(x xj ); !n0 (xk ) =j =0nYj 6=k(xk xj )(®â¬¥â¨¬, çâ® ¢ í⮬ ¯ãªâ¥ ¬ë ¥ âॡ㥬 à ¢®¬¥à®áâ¨á¥âª¨). ®£¤ ª®íää¨æ¨¥âë ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë (3.1)¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢¨¤Zbck = (x !xn)(x)dx; k = 0; 1; : : :; n;(3:8)k !n0 (xk )a ¥¥ ¯®£à¥è®áâì à ¢ 55n =Zbarn(x)dx;£¤¥ rn (x) | ¯®£à¥è®áâì ¨â¥à¯®«¨à®¢ ¨ï.
¯. 2.1.3 ¯®ª § ®, çâ®(n+1)n (x) ;rn (x) = f (n((x))!+ 1)!®âªã¤ Zbn = (n +1 1)! f (n+1) ((x))!n(x)dx:a ¨â®£¥ ¨¬¥¥¬ ®æ¥ªã ¯®£à¥è®á⨠ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë¨â¥à¯®«ï樮®£® ⨯ :ZbMn+1(3:9)jnj (n + 1)! j!n(x)jdx:aâáî¤ ¢¨¤®, çâ® ª¢ ¤à âãà ï ä®à¬ã« ¨â¥à¯®«ï樮®£® ⨯ , ¯®áâ஥ ï ¯® n + 1 㧫ã, â®ç ¤«ï «î¡®£® ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ n. ®¡®à®â, ¥á«¨ ª¢ ¤à âãà ï ä®à¬ã« ¢¨¤ (3.1) â®ç ¤«ï «î¡®£® ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ n, â® ® ï¥âáï ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«®© ¨â¥à¯®«ï樮®£® ⨯ , â. ¥.
¥¥ ª®íää¨æ¨¥âë ck ¢ëç¨á«ïîâáï ᮣ« á® (3.8). ¥©á⢨⥫ì®, à áᬠâਢ ï ¡ §¨áë¥ ¬®£®ç«¥ë £à ¦ 'k (x) = (x !xn)(x);k !n0 (xk )¨¬¥î騥 á⥯¥ì n, ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¨å ᢮©á⢠, ®¯¨á ë¥ ¢¯. 2.1.1, ¯®«ã稬 â®çë¥ à ¢¥á⢠Zba'k (x)dx =nXl=0cl 'k (xl ) =nXl=0cl kl = ck ;çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.3.1.5. ¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ®æ¥ª¨ ¯®£à¥è®á⨠¤«ï ä®à¬ã«¯àאַ㣮«ì¨ª®¢ ¨ ¨¬¯á® , ¯®«ãç¥ë¥ ¬¨ ¢ ¯. 3.1.1 ¨56¯. 3.1.3, ¡®«¥¥ â®çë, 祬 ®æ¥ª¨ ¤«ï íâ¨å ¦¥ ä®à¬ã«, á«¥¤ãî騥 ¨§ (3.9). ª, ᮣ« ᮠ१ã«ìâ âã § ¤ ç¨ 3.2, ä®à¬ã« ¨¬¯á® â®ç «î¡®¬ ¬®£®ç«¥¥ âà¥â쥩 á⥯¥¨,¢ ç áâ®á⨠äãªæ¨¨ f(x) = x3. ¤à㣮© áâ®à®ë,Z 1 ¯®£à¥è®áâì 2 ä®à¬ã«ë ¨¬¯á® ¤«ï ¨â¥£à « x3dx,1¢ëç¨á«¥ ï ¯® ä®à¬ã«¥ (3.9), ¥ à ¢ 0. ¤ ç 3.3.
®ª § âì, çâ® j2 j = 1=2.ª §ë¢ ¥âáï, ¯à¨ç¨ ¯®¢ë襮© â®ç®á⨠ä®à¬ã« ¯àאַ㣮«ì¨ª®¢ ¨ ¨¬¯á® § ª«îç ¥âáï ¢ ¨å ᨬ¬¥âà¨ç®áâ¨.®®¡é¥, ä®à¬ã« ¢¨¤ (3.1) §ë¢ ¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç®©, ¥á«¨¢ë¯®«ï¥âáï ᮢ®ªã¯®áâì ãá«®¢¨©:1) n ç¥â®;2) ã§«ë ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë à ᯮ«®¦¥ë ᨬ¬¥âà¨ç® ®â®á¨â¥«ì® á¥à¥¤¨ë ®â१ª [a; b], â® ¥áâìa+b x = xa + b ; k = 0; 1; : : :; n=2;(3:10)knk223) ck = cn k ; k = 0; 1; : : :; n=2:(3:11)®ª ¦¥¬, çâ® ¤«ï ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ¨â¥à¯®«ï樮®£® ⨯ ¯à¨ ç¥â®¬ n ãá«®¢¨¥ (3.11) ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ãá«®¢¨ï (3.10). ãáâì xn=2 = (a+b)=2. ®£¤ , ãç¨âë¢ ï (3.10),¨¬¥¥¬!n(x) = (x xn=2)= (x xn=2)®âªã¤ ¯à¨ «î¡®¬ t!n (xn=2 + t) = tn=Y2 1k=0n=Y2 1k=0(x xk )(x xn k ) =[(x xn=2)2 (xk xn=2)2 ];n=Y2 1k=0[t2 (xk xn=2)2 ] = !n(xn=2 t);â® ¥áâì äãªæ¨ï !n(x) ¥ç¥â ®â®á¨â¥«ì® â®çª¨ xn=2,¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥¥ ¯à®¨§¢®¤ ï !n0 (x) | ç¥â ï äãªæ¨ï®â®á¨â¥«ì® xn=2. ç áâ®áâ¨,57!n0 (xn k ) = !n0 (xk ): ª ª ª ª®íää¨æ¨¥âë ck ¯®¤áç¨âë¢ îâáï ¯® ä®à¬ã«¥ (3.8),¯®«ã稬ck cn k =Z ba!n(x)(x xk ) !n0 (xk )an!n(x)(x xn k) !n0 (xn k) dx =Z b !n(x) xk xn k= !0 (x ) (x x )(x x ) dx =kn ka n kZ b !n(x)= !0 (x ) [(x x x)k x(xn k x ) ] dx:kkn=n=2222 ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®¤ ¨â¥£à «®¬ á⮨â äãªæ¨ï, ¥ç¥â ï®â®á¨â¥«ì® â®çª¨ xn=2 | á¥à¥¤¨ë ®â१ª [a; b], â® ¥áâì¨â¥£à « à ¢¥ ã«î.
ç¨â, à ¢¥á⢮ (3.11) ¢ë¯®«ï¥âáï.¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®ª § âì, çâ® «¨ç¨¥ ᨬ¬¥âਨ ¯®¢ëè ¥â â®ç®áâì ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«.¥®à¥¬ 3.1. ãáâì à ᯮ«®¦¥¨¥ 㧫®¢ ª¢ ¤à âãனä®à¬ã«ë ¨â¥à¯®«ï樮®£® ⨯ (3.1) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (3.10), £¤¥| ç¥â®¥ ç¨á«®, ¨ ä®à¬ã« â®ç ¤«ï«î¡®£® ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ . ®£¤ ® â®ç ¨ ¤«ï «î¡®£® ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨.nnn+1®ª § ⥫ìá⢮.