1611672539-677b29cdbc8eab584ceda70868ef891f (Колесников - Лекции), страница 7

. . , wM линейно независимы в V .Дополним этот набор векторов до базиса пространства V :v1, . . . , vN −1, vN , w1, . . . , wM , u1, . . . , ukЗдесь обязательно u1, . . . , uk ∈ VN \ VN −1.Рассмотрим образы векторов ui:ϕ(ui) ∈ VN −1 ⇒ ϕ(ui) = αi1vN −1 + · · · + αi N −1v1 + wi′ ,αij ∈ F, wi′ ∈ WВозьмемu′i = ui − αi1vN − · · · − αi N −1v2,i = 1, . . . , kТогда ϕ(u′i) = wi′ ∈ W , причемv1, . .

. , vN −1, vN , w1, . . . , wM , u′1, . . . , u′kпо-прежнему линейно независимы:β1u′1 + · · · + βk u′k ∈ L(v1, . . . , vN −1, vN , w1, . . . , wM )⇓β1u1 + · · · + βk uk ∈ L(v1, . . . , vN −1, vN , w1, . . . , wM )а это возможно только при β1 = · · · = βk = 0.Таким образом, v1, . . . , vN −1, vN , w1, . .

. , wM , u′1, . . . , u′k — базис V ,W1 = L(w1, . . . , wM , u′1, . . . , u′k )— искомое ϕ-инвариантное дополнение.// Индукция по N завершена //Имеем:V = U 1 ⊕ W1U1 = L(v1, . . . , vN ) — линейная оболочка цепочки ⇒ ϕU1 нильпотентныйиндекса N ,ϕW1 — нильпотентный оператор.По предположению индукции (по n)W1 = U 2 ⊕ · · · ⊕ U m ⇒ V = U 1 ⊕ W1 = U 1 ⊕ U 2 ⊕ · · · ⊕ U m ,что и требовалось.Следствие. Пусть ϕ : V → V — нильпотентный линейный оператор.Тогда существует такой базис v1, . . .

, vn пространства V , в котором матрицаоператора ϕ имеет видA1 0 . . . 0 A2 ...[ϕ]v1,...,vn = ...0000 . . . Amгде0 1 0 ... 000 0 1 . . ....Ai = 0 0 0 . . . ∈ Mn (F ),i10 0 0 ... 0n1 + · · · + nm = n.Канонический вид матрицы нильпотентного оператора(?) Единственностьdim V = n, ϕ — нильпотентный индекса N , A — матрица ϕ в каком-либобазисе;Каждая клетка Ai соответствует цепочке векторов пространства V ;Количество цепочек и их длина однозначно определены оператором ϕ:dim V1 = dim Ker (ϕ) = n − r(A)— количество всех цепочек;dim V2 − dim V1 = r(A) − r(A2)— количество цепочек длины ≥ 2;......dim V3 − dim V2 = r(A2) − r(A3)— количество цепочек длины ≥ 3;dim Vk − dim Vk−1 = r(Ak−1) − r(Ak ) — количество цепочек длины ≥ k;......Количество цепочек длины ровно k: k−1kkk+1r(A) − r(A ) − r(A ) − r(A) = r(Ak+1) − 2r(Ak ) + r(Ak−1)Поэтому канонический вид матрицы нильпотентного оператора единственс точностью до перестановки клеток AiПример.V = {f (x, y) ∈ F [x, y] | deg f ≤ 2}базис: 1, x, y, x2, y 2, xy,dim V = 6∂f∂f+ϕ(f ) =∂x∂y∂f ∂f,— частные производные по x, y соответственно∂x ∂yϕ — нильпотентный оператор индекса ≤ 3.Матрица в базисе 1, x, y, x2, y 2, xy:000[ϕ] = A = 000100000100000020000002000011000Найдем подпространства V1 ⊂ V2 ⊂ V3 = V :000A = 000V1 = {v | ϕ(v) = 0} :ф.с.р.

:это многочлены100000100000020000002000011000Ax = 0 1 0 0 ,0  001,0 1 −1 0 , 0 00 0  0 −1−12x − y, 2xy − x2 − y 20002A = 000V2 = {v | ϕ2(v) = 0} :ф.с.р. :это многочлены000000000000A2x = 0, 1 0 0 ,0  001,200000200000200000  000 1 0 ,0  0x,0 0 1 ,0  00 0  0  1 ,−1000 0 ,0 1 −1y, x2 − y 2, y 2 − xy∂f∂fϕ(f ) =+∂x∂yВыберем v3 ∈ V3 \ V2, например,v3 = xyПостроим цепочку: v2 = ϕ(v3) = x + y, v1 = ϕ(v2) = 2Дополним L(v2) + V1 до базиса V2, например, вектором u2 = x2 − y 2.Построим вторую цепочку: ϕ(u2) = 2(x − y) = u1Дополним u1, v1 до базиса V1, например, вектором w1 = 2xy − x2 − y 2.Получаем базис v1, v2, v3, u1, u2, w1:v3 7→ v2 7→ v1 7→ 0u2 7→ u1 7→ 0w1 7→ 0В этом базисе 2, x + y, xy, 2(x − y), x2 − y 2, 2xy − x2 − y 2 матрица оператораϕ имеет вид00000010000001000000000000010000000013.

Линейные операторы на векторных пространствах(продолжение)Корневые подпространстваF алгебраически замкнутое полеV — конечномерное векторное пространство над Fϕ : V → V — линейный операторλ ∈ F — его собственное значениеКорневым подпространством оператора ϕ,соответствующим собственному значению λ, называетсяV (λ) = {v ∈ V | (ϕ − λ id)m(v) = 0 для некоторого m ≥ 1}Если v — собственный вектор, соответствующий с.з. λ, то v ∈ V (λ):(ϕ − λ id)(v) = 0(m = 1).Предложение (Основные свойства корневых подпространств)1) {0} 6= V (λ) ⊆ V — подпространство;2) V (λ) является ϕ-инвариантным подпространством;3) Индуцированный оператор (ϕ − µid)V (λ), µ ∈ F ,является нильпотентным при λ = µ,невырожденным — при λ 6= µ;4) Оператор ϕV (λ) имеет только одно собственное значение λ.Доказательство.Заметим, что для любых λ, µ ∈ F(ϕ − λ id)(ϕ − µ id) = (ϕ − µ id)(ϕ − λ id)1) u, v ∈ V (λ):(ϕ − λ id)m1 (u) = 0,(ϕ − λ id)m2 (v) = 0,поэтому для любых α, β ∈ F(ϕ − λ id)m(αu + βv) = 0при m = max{m1, m2}.Следовательно, V (λ) — подпространство в V .2) v ∈ V (λ) ⇒ (ϕ − λ id)m(v) = 0 ⇒(ϕ − λ id)m(ϕ(v)) = ϕ((ϕ − λ id)m(v)) = 0.Следовательно, ϕ(v) ∈ V (λ).Более того, для любого µ ∈ F подпространство V (λ) инвариантноотносительно ϕ − µ id.3) При µ = λ: v1, .

. . , vk — базис V (λ),(ϕ − λid)mi (vi) = 0,i = 1, . . . , km = max{m1, . . . , mk }(ϕ − λid)m(vi) = 0 ⇒ (ϕ − λid)mV (λ) = 0.При λ 6= µ: допустим, оператор (ϕ − µid)V (λ) имеет ненулевое ядро, т.е.найдетсяv ∈ V (λ), v 6= 0, (ϕ − µ id)(v) = 0.Среди всех таких векторов выберем тот, у которого такое число m ≥ 1,что(ϕ − λid)m(v) = 0минимально.Если m = 1, то имеем(ϕ − µ id)(v) = 0, (ϕ − λ id)(v) = 0 ⇒ ϕ(v) = λv = µv,что невозможно при λ 6= µ, v 6= 0.Если m > 1, тоv ′ = (ϕ − λ id)(v) 6= 0по-прежнему лежит в ядре ϕ − µ id, но(ϕ − λ id)m−1(v ′) = 0— противоречие с выбором v.4) Если α ∈ F — собственное значение ϕV (λ), то α − λ — собственноезначение (ϕ − λ id)V (λ).Этот оператор нильпотентен, поэтому α − λ = 0.Корневое разложение векторного пространстваF алгебраически замкнутое поле,V — конечномерное векторное пространство над F ,ϕ : V → V — линейный операторχϕ(t) = (λ1 − t)m1 .

. . (λk − t)mk , λi 6= λj при i 6= j.Теорема.V =kMi=1V (λi),dim V (λi) = mi.Доказательство.χϕ(t) = (λ1 − t)m1 . . . (λk − t)mk , λi 6= λj при i 6= jpi = (λi − t)mi , i = 1, . . . , k, — попарно взаимно простые многочленыχϕ(t) = p1(t) . . . pk (t)p1(t) . . . pk (t)χϕ(t)=∈ F [t],Pi(t) =mi(t − λi)pi(t)i = 1, . . . , kПо теореме о диофантовых уравнениях в кольце многочленовнайдутся h1, . . . , hk ∈ F [t] такие, чтоP1(t)h1(t) + · · · + Pk (t)hk (t) = 1.Следовательно,P1(ϕ)h1(ϕ) + · · · + Pk (ϕ)hk (ϕ) = id .Для каждого v ∈ V обозначимvi = Pi(ϕ)(hi(ϕ)(v)),i = 1, . .

. , k.Тогдаv1 + · · · + vk = id(v) = v.Заметим, что vi ∈ V (λi):(ϕ − λi id)mi (vi) = (ϕ − λi id)mi (Pi(ϕ)(hi(ϕ)(v)))miPi(ϕ)} (hi(ϕ)(v)) = 0.= |(ϕ − λi id){zχϕ (ϕ)Таким образом,V = V (λ1) + · · · + V (λk ).Эта сумма прямая: в противном случае найдется i такое, чтоU = V (λi) ∩kXj=1,j6=iV (λj ) 6= {0}Оператор ϕ − λi id нильпотентен на V (λi) и невырожден на V (λj ) прикаждом j 6= i. Поэтомуϕ − λi idневырожден наkXV (λj )j=1,j6=iи, следовательно, (ϕ − λi id)U одновременно нильпотентен и невырожден,что невозможно при U 6= {0}.dim V (λi) =?Зафиксируем в каждом V (λi) какой-нибудь базис и составим из этихбазисов базис всего пространства V . В таком базисе матрица оператораϕ имеет видA1 .

. ....A = [ϕ] = 00. . . Ak,Ai = [ϕV (λi)].В частности,χϕ(t) = χA(t) = χA1 (t) . . . χAk (t) =Пусть dim V (λi) = di.kYi=1χϕV (λ ) (t).iТогда χϕV (λ ) (t) = (λi − t)di , т.е.ikYi=1(λi − t)mi = χϕ(t) =kYi=1(λi − t)di .Факториальность кольца F [t] влечет di = mi для всех i = 1, . .

. , k.Жорданово разложение оператораF алгебраически замкнутое поле,V — конечномерное векторное пространство над F .ϕ : V → V — линейный оператор.Жордановым разложением оператора ϕ называется его представление ввидеϕ = ϕ1 + ϕ0 ,гдеϕ1 — полупростой оператор,ϕ0 — нильпотентный оператор,причем ϕ1ϕ0 = ϕ0ϕ1.Теорема (существование жорданова разложения).Для любого линейного оператора ϕ : V → V существует жордановоразложениеϕ = ϕ1 + ϕ0 ,причем такое, что ϕ1 = x(ϕ), ϕ0 = y(ϕ)для некоторых многочленов x(t), y(t) ∈ F [t].Доказательство.χϕ(t) = (λ1 − t)m1 . . . (λk − t)mk , λi 6= λj при i 6= j.Обозначимpi(t) = (λi − t)mi ∈ F [t],i = 1, .

. . , k— попарно взаимно простые.По Китайской теореме об остатках (для ri(t) = λi) найдется x(t) ∈ F [t]такой, чтоx(t) − λi = pi(t)qi(t),i = 1, . . . , kдля некоторых q1, . . . , qk ∈ F [t].Положим ϕ1 = x(ϕ) :ϕ1 − λi id = pi(ϕ)qi(ϕ) = (ϕ − λi id)mi qi(ϕ).ϕ1 − λi id = pi(ϕ)qi(ϕ) = (ϕ − λi id)mi qi(ϕ)Для любого v ∈ V (λi) имеем:qi(ϕ)(v) ∈ V (λi) ⇒ (ϕ1 − λi id)(v) = (ϕ − λi id)mi (qi(ϕ)(v)) = 0Следовательно, любой ненулевой вектор из V (λi) является собственнымдля оператора ϕ1.Значит, оператор ϕ1 в базисе V , составленном из базисов подпространствV (λi), имеет диагональную матрицу ⇒ полупростой.Далее, ϕ0 = ϕ − ϕ1Видим, что ϕ0 = y(ϕ) для y(t) = t − x(t).Заметим, чтоϕ0(v) = (ϕ − ϕ1)(v) = ϕ(v) − λiv = (ϕ − λi id)(v)для любого v ∈ V (λi). Поэтому ϕ0 нильпотентен:mϕm0 (v) = (ϕ − λi id) (v) = 0на всех векторах базиса, составленного из базисовкорневых подпространств.Наконец, ϕ1 = многочлен от ϕ ⇒ ϕ1ϕ = ϕϕ1.

Отсюдаϕ1(ϕ1 + ϕ0) = (ϕ1 + ϕ0)ϕ1 ⇒ ϕ1ϕ0 = ϕ0ϕ1.Следствие (жорданова форма матрицы оператора).Для любого линейного оператора ϕ найдется базис,в котором одновременно матрица ϕ1 диагональна и матрица ϕ0 имеетканонический вид.Доказательство.λ1, . . . , λk — все (попарно различные) соб.значения ϕ;χϕ(t) = (λ1 − t)m1 . . . (λk − t)mk — характеристический многочлен;V = V (λ1) ⊕ · · · ⊕ V (λk ) — корневое разложение пространства V ;ϕi = ϕV (λi) — индуцированные операторы;ψi = ϕi − λi id — нильпотентные операторы на V (λi).Для каждого i = 1, . .

. , k находим базис vi1, . . . , vimi пространства V (λi),в котором матрица ψi имеет канонический вид:Ai1 0 . . .0 0Ai2 . . .0 [ψi] = ,...00 . . . A i kiгде0 1 0 ... 000 0 1 . . ....Aij = 0 0 0 . . .10 0 0 ... 0В этом базисе матрица ϕi имеет вид[ϕi] = [ψi] + λiEmi ,Bi1 0 . . .0 0Bi2 . . .0 [ϕi] = ,...00 .