1611672539-677b29cdbc8eab584ceda70868ef891f (Колесников - Лекции), страница 9

 b  2 b1тогдаxa a2 . . . am−1 amx  n+m  1 n+m+1xn+m−1 1 0 ... xn+m 00.. = AYn...Yn+1 = .00 . =  0 1 .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  x xn+2 n+3 xn+10 0 ...10xn+2Yn+1 = AYn ⇒ Yn = AnY0χA(t) = (−1)m(tm − a1tm−1 − · · · − am−1t − am) = (λ1 − t)m1 . . . (λk − t)mk ,m1 + · · · + mk = m.Жорданова форма J матрицы A содержит по одной клетке c каждым λiразмера ровно mi:a − λi a2 .

. . am−1 am 11−λi . . .00 =m−1r(A − λiEm) = r 01...00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .00 ...1−λiт.к. нижний левый минор порядка m − 1 не равен нулю,а число жорд.клеток с λi равно m − r(A − λiEm).Поэтому коэффициенты J n содержатся средиn(n − 1) . . . (n − mi + 2) n−mi+1n−1 n(n − 1) n−2n,λi , . . . ,λiλi , nλi ,2!(mi − 1)!следовательно, являются линейными комбинациямиn 2 nmi −1 λn ,λni , nλi , n λi , . . . , nii = 1, .

. . , k,с коэффициентами, не зависящими от n:=nλn−1i1 nnλi ,λi1 2 n1n(n − 1) n−2n,=λinλnλ−ii22!2λ22λii...(λi 6= 0 т.к. am 6= 0).A = T JT −1Коэффициенты матрицы An = T J nT −1 выражаютсялинейными комбинациями этих же функцийn , n2λn , . . . , nmi −1 λn ,λn,nλiiiii = 1, . . . , k,Коэффициенты столбца Yn = AnY0 также выражаются в виде линейныхкомбинаций этих функций.Следовательно,xn+1 =k Xi=1n + ··· + cmi −1λnci1λn+cnλni2i miiiiКоэффициенты cij можно определить из начальных данных:xn+1 = bn+1приn = 0, . .

. , m − 1.Матричная экспонентаЭкспоненциальная функция:α2α3αe =1+α+++ ...,2!Формула Эйлера:3!α∈Cea+ib = ea(cos b + i sin b)f (t) = ext ⇒ f ′(t) = xext(x ∈ C)a, b ∈ RПростейшее дифференциальное уравнение:y ′ = ay,где y = y(x) — неизвестная гладкая функция R → R,a ∈ R — константа.Общее решение:y = Ceax,где C — произвольная константа.Система линейных дифф.уравнений с постоянными коэффициентами:y1′ = a11y1 + a12y2 + · · · + a1nyn,y2′ = a21y1 + a22y2 + · · · + a2nyn,...′ = a y + a y + ··· + a y ,ynnn nn1 1n2 2где y1, . . .

, yn — неизвестные гладкие функции, aij — константы.Можно переписать в матричной форме:  ′y1a11 a12 . . . a1ny1 ay ′  21 a22 . . . a2n  y2  2  ..  = . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ...  . ′ynan1 an2 . . . annynилиY ′ = AY ,y1y  Y =  ..2  .

ynОбщее решение:Y = exAC,(?) Что такое exAc1c  C =  ..2  — произвольные константы..cnНапомним, чтоext = 1 + xt +1 2 21x t + x3 t 3 + . . .2!3!— сумма бесконечного ряда.Аналогично для A ∈ Mn(R) (или Mn(C)):1 3 31 2 2xAe = En + xA + x A + x A + . . .2!3!— суммы бесконечных рядов в каждой компоненте, все они сходятся.Вычислим частичную сумму этого ряда для A = Jd,λ:ОбозначимnX1 k kx t .fn(t) =k!k=0Заметим, чтоi1x(i)(i)fn (t) = xifn−i(t) ⇒fn (λ) = fn−i(λ),i!i!поэтому по формуле для многочлена от жордановой клеткиfn(λ) xfn−1(λ) 0fn(λ)fn(Jd,λ) =  00x22! fn−2(λ)xfn−1(λ)...0xd−1...f(λ)(d−1)! n−d+1..........fn(λ)xfn−1(λ)0fn(λ)В пределе при n → ∞:fn(λ) → eλx,xixi λx1 (i)fn (λ) = fn−i(λ) → e ,i!i!i!откудаλx xeλxe 0fn(Jd,λ) →  00eλxx2 eλx2!xeλx...0.........eλx0xd−1 eλx(d−1)!...xJ = e d,λxeλx eλxТак вычисляется матричная экспонента от жордановой клетки.Для произвольной матрицы A:J d1,λi1A∼J =......0)f (J n d1,λifn(J) = при n → ∞.10.........0...fn(JdN ,λi )N0JdN ,λiN,e → exJ = xJd1 ,λi01.........0xJd ,λie N NA = T JT −1xA ⇒ exA = T exJ T −1lim fn(J) = exJ⇒limf(A)=enn→∞n→∞fn(A) = T fn(J)T −1Представление матричной экспоненты многочленомПусть A ∈ Mn(C),µA(t) = (t − λ1)m1 .

. . (t − λk )mk — минимальный многочлен, λi 6= λj приi 6= j,m = m1 + · · · + mk ≤ n.Лемма (обобщенная интерполяция). Для любых aij ∈ C, i = 1, . . . , k,j = 0, . . . , mi −1, существует единственный многочлен p(t) ∈ C[t], deg p < m,такой, чтоp(j)(λi) = aij ,i = 1, . . .

, k, j = 0, . . . , mi − 1.Доказательство.(?) Существование: индукцией по k.k = 1 — формула Тейлора:11a1 m1−1(t − λ1)m1−1.p(t) = a10 + a11(t − λ1) + a12(t − λ1)2 + · · · +2!(m1 − 1)!k − 1 → k: Допустим, построен многочлен q(t) такой, чтоq (j)(λi) = aij ,i = 1, . . . , k − 1, j = 0, . . . , mi − 1.Построим искомый многочлен в видеp(t) = q(t) + (t − λ1)m1 . . . (t − λk−1)mk−1 g(t)где g(t) — некоторый неизвестный многочлен, deg g < mk , который надоподобрать так, чтобыp(j)(λk ) = akj ,j = 0, . . .

, mk − 1.Обозначим Φ(t) = (t − λ1)m1 . . . (t − λk−1)mk−1 , тогдаp(t) = q(t) + Φ(t)g(t)Вычислим производные в точке t = λk :p(λk ) = ak0 = q(λk ) + Φ(λk )g(λk )⇒ g(λk )p′(λk ) = ak1 = q ′(λk ) + Φ′(λk )g(λk ) + Φ(λk )g ′(λk )......p(mk −1)(λk ) = ak mk −1 = q (mk −1)(λk ) + · · · + Φ(λk )g (mk −1)(λk )Зная всеg (j)(λk ),j = 0, 1, . .

. , mk − 1,найдем нужный многочлен g(t) по формуле Тейлора.⇒ g ′(λk )⇒ g (mk −1)(λk )Единственность:Для нахождения p(t), deg p < m1 + · · · + mk ,p(j)(λi) = aij ,i = 1, . . . , k, j = 0, . . . , mi − 1,можно было бы составить систему линейных уравнений на коэффициентымногочлена p(t):p(t) = x0 + x1t + · · · + xm−1tm−1,xi ∈ C.В этой системе m неизвестных и m уравнений, причем для любого набораправых частейaij , i = 1, . . . , k, j = 0, .

. . , mi − 1,решение существует. Следовательно, система невырождена и ее решениеединственно.Пусть A ∈ Mn(C),µA(t) = (t − λ1)m1 . . . (t − λk )mk — минимальный многочлен,λi 6= λj при i 6= j, x ∈ C.По лемме найдем p(t) такой, чтоxj xλi(j)p (λi) = e ,j!i = 1, .

. . , k, j = 0, . . . , mi − 1.Тогда p(A) = exA, посколькуA = T JT −1exA = T exJ T −1,p(A) = T p(J)T −1exJ = p(J)в силу выбора многочлена p(t). Отсюда еще раз вытекает, что матрицаexA не зависит от выбора жордановой формы J и матрицы перехода T .Пример. Вычислим двумя способами exA дляA=!3 −1.4 −1χA(t) = t2 − 2t + 1 = (t − 1)2, λ1 = λ2 = 1.r(A − 1E2) = 1 ⇒ одна жорданова клетка (размера 2)Первый способ:J=!1 1,0 1A = T JT −1,exA = T exJ T −1 =!2 14 0T =ex xex0 ex!2xex + ex−xex=4xex−2xex + ex!!2 1.4 0!0 1/41 −1/2Второй способ:µA(t) = µJ (t) = (t − 1)2.Многочлен p(t):p(1) = ex,p′(1) = xex,deg p ≤ 1 :p(t) = at + ba = xex, b = ex − xex,p(A) = aA + bE2 = xexA + (ex − xex)E2=3xex + (ex − xex)−xex4xex−xex + (ex − xex)!=2xex + ex−xex4xex−2xex + ex!Упражнение.

Вычислить exA для:а) A =!0 1,1 0б) A =0 π−π 0!Упражнение. Верно ли, что для любых A, B ∈ Mn(C)exAexB = ex(A+B)?14. Евклидовы и унитарные пространстваЕвклидово пространство — конечномерное векторное пространство Vнад F = R,снабженное отображением V × V → F , (u, v) →7 hu, vi, таким, что:1. hαu1 + βu2, vi = αhu1, vi + βhu2, vi;2. hu, vi = hv, ui;3. hu, ui — вещественное положительное число для всех u 6= 0(u, v, u1, u2 ∈ V , α, β ∈ R)Такое отображениеh·, ·i : V × V → Rназывается (евклидовым) скалярным произведением.Унитарное пространство = эрмитово пространство — конечномерноевекторное пространство V над F = C,снабженное отображением V × V → F , (u, v) 7→ hu, vi, таким, что:1.

hαu1 + βu2, vi = αhu1, vi + βhu2, vi;2. hu, vi = hv, ui;3. hu, ui — вещественное положительное число для всех u 6= 0(u, v, u1, u2 ∈ V , α, β ∈ C)Такое отображениеh·, ·i : V × V → Cназывается (эрмитовым) скалярным произведением.Из аксиом 1 и 2) следует, чтоhu, αv1 + βv2i = ᾱhu, v1i + β̄hu, v2i:hu, αv1 + βv2i = hαv1 + βv2, ui = αhv1, ui + βhv2, ui= ᾱhv1, ui + β̄hv2, ui = ᾱhu, v1i + β̄hu, v2i.Примеры.(1) V = Cn:x1 .. u =  . ,xny1 ..

v =  .  ⇒ hu, vi = x1ȳ1 + · · · + xnȳn,yn— унитарное пространство (для Rn — евклидово).(2) V = R[x]n (многочлены степени ≤ n):hf, gi =— евклидово пространство.Z10f (x)g(x) dxУпражнение (неравенство Коши — Буняковского).Пусть V — унитарное пространство. Докажите, что для любых u, v ∈ V|hu, vi| ≤qhu, uihv, vi,причем равенство достигается тогда и только тогда, когда u и v линейнозависимы.Упражнение (форма следа).Пусть V = Mn(C). Докажите, что операцияhA, Bi = tr(B ⊺A)является эрмитовым скалярным произведением на V .ОртогональностьV— унитарное или евклидово пространствоВекторы u, v ∈ V ортогональны, если hu, vi = 0;Система векторов v1, .

. . , vn ∈ V называется ортогональной,если hvi, vj i = 0 при i 6= j.Лемма 1.Ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов, являетсялинейно независимой.Доказательство.α1v1 + · · · + αnvn = 0 ·, vii ⇒ 0 = αihvi, vii ⇒ αi = 0для всех i = 1, . . . , n.Лемма 2 (процесс Грама — Шмидта).Для любой системы векторов v1, . .

. , vn ∈ V (n ≥ 1) найдется ортогональнаясистема u1, . . . , un ∈ V такая, чтоL(v1, . . . , vn) = L(u1, . . . , un).Среди u1, . . . , um могут встречаться нулевыеДоказательство. Индукцией по n.u1 = v1 ;n → n + 1:Пусть даны v1, .

. . , vn, vn+1 ∈ V . По предположению индукции найдем ортогонасистему u1, . . . , un такую, что L(v1, . . . , vn) = L(u1, . . . , un);n = 1:Если vn+1 ∈ L(u1, . . . , un), то u1, . . . , un, 0 — искомая система,Если vn+1 ∈/ L(u1, . . . , un), то рассмотримhvn+1, u2ihvn+1, unihvn+1, u1iu1 −u2 − · · · −un .un+1 = vn+1 −hu1, u1ihu2, u2ihun, uniОчевидно, hun+1, uii = 0 при i = 1, .

. . , n и vn+1 ∈ L(u1, . . . , un, un+1).Следовательно, u1, . . . , un, un+1 — искомая система.Теорема (об изоморфизме евклидовых/унитарных пространств).Для любого евклидова (унитарного) пространства V размерности nнайдется изоморфизм векторных пространствϕ : V → Rn (Cn)такой, чтоhu, vi = hϕ(u), ϕ(v)i— скалярное произведение из примера 1.Доказательство.По лемме 2 найдем ортогональный базис пространства V :u1, . . .

, un ∈ V такие, что V = L(u1, . . . , un), ui 6= 0.1Нормируем их: ei = qui, i = 1, . . . , n.hui, uiiПостроенная система обладает следующим свойством:hei, ej i = δij =1,0,— ортонормированная система векторов.Векторы e1, . . . , en образуют базис V .i = j,i 6= jЗафиксировав этот базис, построим изоморфизм векторных пространствϕ : V → Fn(F = R, C)по известному правилуx1 ϕ(x1e1 + · · · + xnen) =  ...  ∈ Fn.xnЕслиu = x 1 e 1 + · · · + xn e n ,v = y1 e 1 + · · · + yn e nтоhu, vi =nXi,j=1hxiei, yj ej i =nXi,j=1xiȳj hei, ej i = x1ȳ1 + · · · + xnȳn.Следствие.Пусть e1, .

. . , en — ортонормированный базис пространства V , v ∈ V .Тогдаv = hv, e1ie1 + hv, e2ie2 + · · · + hv, enien.Ортогональное дополнениеПусть V — евклидово или унитарное пространство,S ⊆ V — подмножество.ТогдаS ⊥ = {v ∈ V | hu, vi = 0 для всех u ∈ S}называется ортогональным дополнением к подмножеству S в V .Предложение (основные свойства ортогонального дополнения).1) {0}⊥ = V , V ⊥ = {0};2) Для любого S ⊆ V множество S ⊥ является подпространствомв V;3) Если U ⊆ V — подпространство, то V = U ⊕ U ⊥Доказательство.1) h0, vi = h0 · v, vi = 0hv, vi = 0 для любого v ∈ V ,hu, vi = 0 для любого v ∈ V ⇒ для v = u: hu, ui = 0 ⇒ u = 0.2) u, v ∈ S ⊥ ⇒ αu + βv ∈ S ⊥:hαu + βv, wi = αhu, wi + βhv, wi = 0 + 0 = 0для любого w ∈ S.3) Очевидно, U ∩ U ⊥ = {0}, поэтому U ⊕ U ⊥ ⊆ V .

Определим размерностьU ⊥.Пусть e1, . . . , en — ортонормированный базис V(существует по Граму — Шмидту),u1, . . . , um — какой-то базис подпространства U ⊆ V .Рассмотрим координатыu1 = a11e1 + · · · + a1nen,...um = am1e1 + · · · + amnen.a11 . . . a1nA = . . . . . . . . . . . . . . ∈ Mm,n(F ),am1 . .