1611672539-677b29cdbc8eab584ceda70868ef891f (Колесников - Лекции)

II СЕМЕСТРОсновные темы:• Кольца с однозначным разложением на простые множители– Факториальные кольца;– Евклидовы кольца;– Факториальность кольца многочленов от нескольких переменных• Симметрические многочлены– Элементарные симметрические многочлены и формулы Виета;– Симметрические функции корней многочлена;– Результант и дискриминант;– Доказательство основной теоремы алгебры• Линейные операторы на векторных пространствах– Собственные значения и собственные векторы линейногопреобразования;– Характеристический многочлен, корневое разложение;– Жорданово разложение линейного преобразования• Линейные операторы на евклидовых/унитарных пространствах– Билинейные формы;– Скалярное произведение над R и над C;– Нормальные преобразования;– Эрмитовы (симметрические) и унитарные преобразования;– Полярное и сингулярное разложения матрицы линейногоотображения;– Квадратичные формыПотоковая контрольнаяПримерно в середине апреля: вместо очередной лекцииТеория (формулировки и доказательства)и практика (решение стандартных задач)11.

Кольца с однозначным разложениемна простые множителиОбратимые элементы и отношение ассоциированностиНетривиальное коммутативное кольцо R с единицей 1 без делителей нулябудем для краткости называть целостным кольцом:ab = ba;a1 = 1a = a;ab = 0 ⇒ a = 0 или b = 0Примеры:• Любое поле является целостным кольцом (Q, R, C, .

. . );• Любое подкольцоцелостного кольца является целостным кольцом√(Z, Z[i], Z[ 2], . . . );• R = S[x] (S целостное).Элемент a ∈ R называется обратимым (регулярным), если он имеетобратный по умножению:∃a−1 ∈ R : aa−1 = a−1a = 1,a−1 ∈ RПримеры (обратимые элементы в кольцах)• R = Z: a = ±1 ∈ Z (других нет);• R = F [x]: a ∈ F × = F \ {0} ⊂ F [x] (других нет);• R = Z[i]: ±1, ±i ∈ Z[i] (Упражнение: доказать, что другихнет).Лемма.Пусть R — целостное кольцо, b, c ∈ R.(1) Если bc — обратимый, то b и c — обратимые элементы;(2) Если b и c — обратимые элементы, то bc — обратимый.Доказательство.(1) a = bc, x = a−1 ⇒ 1 = ax = (bc)x = b(cx) ⇒ cx = b−1.(2) (bc)−1 = c−1b−1.Элементы b и c целостного кольца R называются ассоциированными, еслиb = ac,a — некоторый обратимый элемент кольца R.Обозначение (в этом разделе):b∼c[a] = {x ∈ R | x ∼ a},Примеры:• R = Z: b ∼ c ⇐⇒ b = ±c;• R = F [x]: f ∼ g ⇐⇒ f = ag, a ∈ F ×;• R = Z[i]: b ∼ c ⇐⇒ b = ±c или b = ±ic.a∈RПростые и составные элементыR — целостное кольцо.p ∈ R, p 6= 0.Элемент p называется составным, еслиp = bc где b и c — необратимые элементы(в частности, p необратим).Необратимый элемент p называется простым,если он не является составным.(?) Если b ∼ c, тоb — обратимый ⇐⇒ c — обратимый.b — простой (составной) ⇐⇒ c — простой (составной).Элементы любого целостного кольца R делятся на непересекающиесяклассы:• Нулевой элемент;• Обратимые элементы (включая единицу);• Простые элементы;• Составные элементы.Примеры (простые элементы с точностью до ассоциированности):• R = Z: простые натуральные числа (p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, .

. . );• R = F [x]: унитарные (со старшим коэффициентом = 1) неприводимыенад F многочлены.Пример:R = Z[i]2 = (1 + i)(1 − i) — составной элемент;3 — простой элемент;5 = (1 + 2i)(1 − 2i) — составной элемент;7 — простой элемент;11 — простой элемент;13 = (3 + 2i)(3 − 2i) — составной элемент.Упражнения.• Найдите с точностью до ассоциированности все простые элементыкольца формальных степенных рядов F [[x]].• Выясните, для каких простых чисел p многочлен x2+1 являетсянеприводимым над полем Zp.Подсказка: Ищите корни уравнения x2 = −1 в Zp. Используйтетеорему Лагранжа для группы ненулевых элементов поля Zp.Отношение делимостиR — целостное кольцо.a, b ∈ R, a 6= 0. Говорят, что a делит b, если существует такое q ∈ R,что b = qa.Обозначение: a | b.Предложение.Основные свойства отношения делимости (a, b, c ∈ R, a 6= 0):1.

a | 0, a | a, 1 | b;2. a | b, b 6= 0, b | a ⇐⇒ a ∼ b;3. a | b, b ∼ c ⇒ a | c;4. a ∼ b, a | c ⇒ b | c;5. a | b, b 6= 0, b | c ⇒ a | c;6. a | b ⇒ a | bc;7. b 6= 0, ab | ac ⇐⇒ b | c ;8. a | b, a | c ⇒ a | (b + c).Факториальные кольцаЦелостное кольцо R называется факториальным(= с однозначным разложением на простые множители), если:(Ф1) Любой ненулевой необратимый элемент b ∈ R может бытьпредставлен в видеb = p1 . . .

pk ,где p1, . . . , pk — простые элементы (k ≥ 1);(Ф2) Данное представление единственно в следующем смысле: еслиb = p 1 . . . p k = q1 . . . qm ,pi, qj — простые,то k = m и при некотором σ ∈ Smpi ∼ qσ(i),i = 1, . . . , m.Лемма.Пусть p — простой элемент факториального кольца R.Тогдаp | p1 . . . pk , pi — простые ⇐⇒Доказательство.⇐ очевидно;p ∼ pi для некоторого i ∈ {1, . . . , k}.⇒ k = 1: очевидно (p | p1 ⇐⇒ p ∼ p1);Пусть k ≥ 2. p1 .

. . pk = pq ⇒ q = q2 . . . qk , где все qi — простые;p1 . . . pk = pq = pq2 . . . qk — два разложения на простые множители ⇒ p ∼ piдля некоторого i.Теорема (критерий факториальности).Целостное кольцо R является факториальным тогда и только тогда,когда выполнены следующие условия:1. любой ненулевой необратимый элемент разлагается в произведениепростых (Ф1);2. для любого простого p ∈ R и любых b, c ∈ Rp | bc ⇒ p | b или p | c.Доказательство.⇒ Пусть R факториально. Тогда условие (1) выполнено по определению,а (2) — по лемме:p | bc = p...p q ...q⇒ p ∼ pi или p ∼ qj .| 1 {z k}| 1 {z m}bc⇐ Достаточно проверить единственность разложения.

Допустим,b = p 1 . . . p k = q1 . . . qm ,pi, qj — простые, k ≤ m.Индукцией по k покажем, что k = m и pi ∼ qi после некоторой перестановкимножителей.k = 1: p1 = q1 . . . qm — простой элемент ⇒ m = 1, q1 = p1.k − 1 → k: p1 | q1 . . . qm ⇒ p1 ∼ qi.Без ограничения общности полагаем, что i = 1, p1 = aq1, a — обратимый:b = (aq1)p2 . . . pk = q1q2 . .

. qm ⇒ (ap2) . . . pk = q2 . . . qm— разложение на k−1 простых множителей. По предположению индукции,m − 1 = k − 1 и pi ∼ qi после некоторой перестановки (i = 2, . . . , m).Пример не факториального целостного кольца√√R = Z[ 5] = {a + b 5 | a, b ∈ Z}подкольцо в поле R ⇒ целостное.√√(3 + 5)(3 − 5) = 4 = 2 · 2√(?) Числа 2 и 3 ± 5 являются простыми в R:√22Введем N (x) = a − 5b для x = a + b 5, a, b ∈ Z.Легко проверить, что N (xy) = N (x)N (y) для всех x, y ∈ R.N (1) = 1, поэтому N (x) = ±1 ⇐⇒ x — обратимый элемент в R.√N (2) = N (3 ± 5) = 4.Если 2 = xy, x и y — необратимые, то N (x) = N (y) = ±2.Возможно ли такое: a2 − 5b2 = ±2 для a, b ∈ Z?Нет: достаточно рассмотреть последнюю цифру в десятичной записи a2и 5b2.НОД и НОКПусть R — целостное кольцо, a, b ∈ R.Элемент d ∈ R (d 6= 0) называется наибольшим общим делителем (НОД)элементов a и b, если:• d | a, d | b;• ∀h ∈ R (h 6= 0) h | a, h | b ⇒ h | d.Если a, b 6= 0, тоэлемент c ∈ R (c 6= 0) называется наименьшим общим кратным (НОК)элементов a и b, если:• a | c, b | c;• ∀h ∈ R a | h, b | h ⇒ c | h.Лемма.Пусть a, b ∈ R.• Если d1 и d2 — два НОД элементов a, b, то d1 ∼ d2;• Если d1 — НОД элементов a, b ∈ R и d2 ∼ d1, то d2 — НОД a, b.Упражнение.Докажите аналог этой леммы для НОК (least common multiple)lcm(a, b) = {c ∈ R | c — НОК элементов a, b}Таким образом, НОД определен с точностью до ассоциированности, —это класс ассоциированных элементов.Обозначение: gcd(a, b) (greatest common divisor).gcd(a, b) = {d ∈ R | d — НОД элементов a, b}d1 ∈ gcd(a, b), d1 ∼ d2 ⇒ d2 ∈ gcd(a, b);d1, d2 ∈ gcd(a, b) ⇒ d1 ∼ d2.Простейшие свойства НОД:• a1 ∼ a2, b1 ∼ b2 ⇒ gcd(a1, b1) = gcd(a2, b2);• gcd(a, 1) = [1] — множество всех обратимых элементов;• gcd(a, 0) = [a] (a 6= 0);Взаимно простые элементыНенулевые элементы a, b целостного кольца R называютсявзаимно простыми, если gcd(a, b) = [1].Предложение (свойства взаимно простых элементов).Пусть R — факториальное кольцо, a, b ∈ R взаимно простые.Тогда для любого c ∈ R1.

a | bc ⇒ a | c;2. a | c, b | c ⇒ ab | c.Доказательство.(1) Индукцией по k, где a = p1 . . . pk , pi — простые (k ≥ 0).k = 0: a — обратимый элемент. В этом случае a | c всегда;k = 1: a — простой элемент. В этом случае искомое утверждение =критерий факториальности;k − 1 → k: p1 | a ⇒ p1 6 | b так как в противном случаеp1 | a, p1 | b ⇒ p1 | 1 ∈ gcd(a, b),что невозможно.Значит, p1 | a | bc ⇒ p1 | c по критерию факториальности ⇒ a′ = p2 . . . pk |bc′, c′p1 = c.Поскольку a′ и b взаимно просты,p2 . . . pk | c′ по предположению индукции.Таким образом, a | c.(2) Вытекает из (1):a | c = bq ⇒ a | q ⇒ q = aq ′ ⇒ c = bq = abq ′.Существование НОД и НОК в факториальном кольцеТеорема.В факториальном кольце R всегда существует НОД и НОК элементовa, b ∈ R, a, b 6= 0.Доказательство.Для НОД a, b ∈ R, a, b 6= 0:a = p1 . . .

pk , b = q1 . . . qm где pi, qj — простые.Индукцией по k (k ≥ 0).k = 0 (a — обратимый) — очевидно: gcd(a, b) = [1];k = 1 (a — простой) — по критерию факториальности:gcd(a, b) =[a],[1]a | b,иначе.k − 1 → k:a = p1p2 . . . pk . Обозначим p = pk , a′ = p1 . . .

pk−1.a = pa′(?) Если p | b, b = pb′, то gcd(a, b) = p gcd(a′, b′);(?) Если p 6 | b, то gcd(a, b) = gcd(a′, b).Проверим истинность первого утверждения(второе проверяется аналогично).d ∈ gcd(a′, b′) ⇒ pd | a = pa′, pd | b = pb′т.е. pd — общий делитель. Почему наибольший?Пусть h | a, h | b — другой общий делитель.p | h ⇒ h = ph′, h′ | a′, h′ | b′ ⇒ h′ | d ⇒ h = ph′ | pd;p 6 | h ⇒ gcd(p, h) = [1], h | pa′ ⇒ h | a′, h | pb′ ⇒ h | b′ ⇒ h | d | pd.Для НОК: пусть d ∈ gcd(a, b), a = a1d, b = b1d. Тогдаc = ab1 = a1b = a1b1d ∈ lcm(a, b).Действительно, c — обшее кратное для a и b.Пусть h = h1d — другое общее кратное:a | h ⇒ a 1 | h1 ,b | h ⇒ b 1 | h1Заметим, что a1, b1 взаимно просты:d′ | a1, d′ | b1 ⇒ d′d | a, d′d | b ⇒ d′d | d ⇒ d′ ∼ 1.По свойству взаимно простых элементовa1b1 | h1 ⇒ a1b1d = a1b = ab1 | h1d = h.Упражнение Докажите, что для любых a, b, c 6= 0 в факториальномкольце выполненоgcd(a, d) = gcd(h, c)для h ∈ gcd(a, b), d ∈ gcd(b, c).11.

Кольца с однозначным разложениемна простые множители (продолжение)Евклидовы кольцаЦелостное кольцо R называется евклидовым,если определено отображениеδ : R \ {0} → Z+ = {0, 1, 2, . . . }такое, что для любых ненулевых a, b ∈ R(E1) δ(ab) ≥ δ(a);(E2) существуют такие q, r ∈ R, что b = aq + r, где r = 0 илиδ(r) < δ(a).Примеры.(0) Любое поле является евклидовым кольцом (δ(a) = 1);(1) R = Z, δ(a) = |a|;(2) R = F [x] (F — поле), δ(f ) = deg f ;(3) Упражнение: R = Z[i], δ(a + ib) = a2 + b2.Предложение.Любое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.Доказательство.I ⊳ R, I 6= {0} ⇒ 0 6= a ∈ I, δ(a) → min среди всех ненулевых элементов I;Тогда I = (a).Алгоритм ЕвклидаТеорема. В евклидовом кольце R существует НОД для любых ненулевыхa, b ∈ R.Доказательство.Индукцией по n = min{δ(a), δ(b)}.n = 0: Если δ(a) = 0, то a — обратимый элемент.В этом случае gcd(a, b) = gcd(1, b) = [1].Пусть n = δ(a) ≤ δ(b) для определенности.