1611672539-677b29cdbc8eab584ceda70868ef891f (Колесников - Лекции), страница 8

. . B i kiгдеλ 1 0 ... i 0 λi 1 . . ....Bij = 0 0 0 ...00 0 ...001λiМатрица исходного оператора ϕ в базисе, составленном из этих базисовкорневых подпространств, является блочно-диагональной с блоками [ϕi].Жордановы клеткиМатрица видаλ 100 λ 1...000.........λ000 ∈ M (F )d1λназывается жордановой клеткой размера d, обозначается Jd,λ.Теорема о жордановом разложении линейного оператора ϕ говорит, чтов подходящем базисе[ϕ] = Jd1,λi01......0. .

. JdN ,λiN — жорданова матрица.F — алгебраически замкнутое полеСледствие (жорданова форма матрицы).Пусть A ∈ Mn(F ). Тогда найдется такая невырожденная матрицаT ∈ Mn(F ), что T −1AT = J, где J — жорданова матрица.Иными словами,любая квадратная матрица A подобна некоторой жордановой матрице J:A∼JДоказательство.V = F n, ϕ : V → V определим ϕ(x) = Ax[ϕ]e1,...,en = A — в стандартном базисе.Найдем базис v1, .

. . , vn, в котором [ϕ]v1,...,vn = J — жорданова.T — матрица перехода от e1, . . . , en к v1, . . . , vnТогдаJ = T −1AT.Единственность жорданова разложенияF алгебраически замкнутое поле,V — конечномерное векторное пространство над F .ϕ : V → V — линейный оператор.Теорема. Жорданово разложение оператора ϕ единственно.Доказательство.Допустим, существует какое-нибудь другое жорданово разложение:ϕ = ψ1 + ψ0 .Здесь ψ1 — полупростой,ψ0 — нильпотентный,ψ1 ψ0 = ψ0 ψ1 .Сравним его с разложением, построенным в теореме о существованиижорд.разложения.ϕ = ϕ1 + ϕ0 ,ϕ1 = x(ϕ), ϕ0 = y(ϕ), x(t), y(t) ∈ F [t].ψ1 ψ0 = ψ0 ψ1⇓ψ1ϕ = ψ1(ψ1 + ψ0) = (ψ1 + ψ0)ψ1 = ϕψ1⇓ψ1ϕ1 = ψ1x(ϕ) = x(ϕ)ψ1 = ϕ1ψ1Поэтомуψ1 ϕ 1 = ϕ 1 ψ1 .Аналогично,ψ0 ϕ 0 = ϕ 0 ψ0 .Напомним также, что(ϕ1)V (λi) = λi id .Корневое подпространство V (λi) является ψ1-инвариантным⇒ индуцированный оператор (ψ1)V (λi) — полупростой.В каком-то базисе V (λi) оператор (ψ1)V (λi) имеет диагональную матрицу,а оператор (ϕ1)V (λi) диагонален в любом базисе пространства V (λi).Следовательно, ϕ1 и ψ1 одновременно диагонализуются ⇒ их разностьϕ1 − ψ1 — полупростой оператор.С другой стороны, очевидно, что ψ0 − ϕ0 — нильпотентный оператор:(ψ0 − ϕ0)N =NXs=0(−1)s!Nψ0N −sϕs0sТаким образом,ϕ 1 − ψ1 = ψ0 − ϕ 0 = 0т.к.

только нулевой оператор полупрост и нильпотентен одновременно.13. Линейные операторы на векторных пространствах(продолжение)Напомним утверждение о жордановой форме матрицы:Для любой A ∈ Mn(F ) над алгебраически замкнутым полем F найдетсятакая T ∈ Mn(F ), det T 6= 0, чтоT −1AT = Jгде J — жорданова матрица.F — алгебраически замкнутое полеСледствие (единственность жордановой формы матрицы).Пусть A ∈ Mn(F ), A ∼ J и A ∼ J ′ где J, J ′ — жордановы матрицы.Тогда J и J ′ совпадают с точностью до перестановки жордановых клеток.Иными словами, жорданова форма матрицы единственнас точностью до перестановки клеток.Доказательство.A ∼ J;χA(t) = (λ1 − t)m1 .

. . (λk − t)mk ;J d1,λi1J =0.........0JdN ,λiN{λi1 , . . . , λiN } = {λ1, . . . , λk }.Для каждого λi, i = 1, . . . , k, обозначимN (J, λi, d) = число жордановых клеток в J с λi на диагонали размера ≥ d,Для каждого λi, i = 1, . . . , k рассмотрим− λ i Ed1J d1,λi1J − λi En = 0......0...JdN ,λi − λiEdNNЗдесь m-я клетка (m = 1, .

. . , N ):Jdm,λim− λiEdmλ − λi1 im0λ im − λ i=000...01...0...... ∈ M (F )dm0 λ im − λ i10λ im − λ iневырожденная при λim 6= λi — имеет ранг dm,вырожденная при λim = λi — имеет ранг dm − 1.Посколькуd1 + · · · + dN = n,r(J − λiEn) =NXm=1r(Jdm,λim− λiEdm )тоn − r(J − λiEn) = N (J, λi, 1)— число всех жордановых клеток в J с λi на диагонали.m-я клетка (m = 1, . . . , N ) в квадрате:λ − λi1 im0λ im − λ i(Jdm,λim− λiEdm )2 = 0020...01...0...... ∈ M (F )dm0 λ im − λ i10λ im − λ iневырожденная при λim 6= λi — имеет ранг dm,d − 2,mвырожденная при λim = λi — имеет ранг =0,dm ≥ 2;.dm = 1Посколькуr((J − λiEn)2) =NXm=1r((Jdm,λim− λiEdm )2)тоr(J − λiEn) − r((J − λiEn)2) = N (J, λi, 2)Действительно,каждая клетка с λi размера d ≥ 2 дает вклад = 1;каждая клетка с λi размера 1 дает вклад = 0;клетка с 6= λi дает вклад =0.m-я клетка (m = 1, . . .

, N ) в степени p:λ − λi1 im0λ im − λ i(Jdm,λim− λiEdm )p = 00p0...01...0...... ∈ M (F )dm0 λ im − λ i10λ im − λ iневырожденная при λim 6= λi — имеет ранг dm,d − p,mвырожденная при λim = λi — имеет ранг =0,dm ≥ p;.dm < pПосколькуr((J − λiEn)p) =NXm=1r((Jdm,λim− λiEdm )p)тоr((J − λiEn)p−1) − r((J − λiEn)p) = N (J, λi, p)Действительно,каждая клетка с λi размера d ≥ p дает вклад = 1;каждая клетка с λi размера d < p дает вклад = 0;клетка с 6= λi дает вклад =0.Обозначим для краткостиrp = r((J − λiEn)p) = r((A − λiEn)p)Таким образом,n − r1 = N (J, λi, 1),r1 − r2 = N (J, λi, 2),...rp−1 − rp = N (J, λi, p),...Следовательно, число жордановых клеток размера ровно pc λi на диагонали равноN (J, λi, p) − N (J, λi, p + 1) = rp−1 − rp − (rp − rp+1) = rp−1 − 2rp + rp+1— однозначно определяются по матрице A.Поэтому любые две жордановы матрицы, подобные данной матрице A,имеют одинаковые жордановы клетки.Вычисление многочлена от матрицыПусть F = C.Значение n-й степени жордановой клетки размера d:λ 100 λ 1n...Jd,λ = 000.........λ0n00n n−s s = (λE + J )n =λJd,0dd,0ss=01λλn nλn−10λn=00!nXn(n−1) n−22! λnλn−1...0............

...λn nλn−10λnПерепишем эту матрицу при помощи f (t) = tn:!1 (s)n n−sf (λ) =λss!f (λ) f ′(λ) 0f (Jd,λ) =  00f (λ)1 f ′′ (λ)2!f ′(λ)...0............ ...′f (λ) f (λ)0f (λ)Поскольку здесь n — любое, эта формула верна для любого многочленаf (t) ∈ C[t].Если A — любая квадратная матрица над C, f (t) ∈ C[t], тоJ d1,λi1A∼J =00.........JdN ,λiNJ = T −1AT ⇒ A = T JT −1 ⇒ An = (T JT −1)n = T J nT −1f (A) = T f (J)T −1,f (J) = f (Jd1,λi )......00...f (JdN ,λi )1Заметим, что f (A) не зависит от выбора T и J.NЗамечание.Формулы для f (Jd,λ) (следовательно, для f (J), f (A)) имеют смысл нетолько для многочлена f (t), но и для любой функции f : C → C, у которойопределены значения производных достаточно большого порядкав нужных точках (собственных значениях): чтобы определить f (Jd,λ),нужно знатьf (λ), f ′(λ), .

. . , f (d−1)(λ).Это позволяет определять значение f (A) произвольнойдостаточно гладкой функции f от квадратной матрицы A.Минимальный многочлен линейного оператораПусть A ∈ Mn(F ) — квадратная матрица,f (t) ∈ F [t] — ненулевой многочлен.Говорят, что f (t) аннулирует матрицу A, если f (A) = 0 ∈ Mn(F ).(Например, χA(t) аннулирует A.)Унитарный многочлен минимальной степени, аннулирующий матрицу A,называется минимальным многочленом матрицы A.Лемма.Минимальный многочлен матрицы A делит любой другой многочлен,аннулирующий A.Доказательство. Пусть h(t) — минимальный.f (t) = q(t)h(t) + r(t), deg r < deg h,f (A) = 0 ⇒ 0 = f (A) = q(A)h(A) + r(A) ⇒ r(A) = 0— противоречие при r 6= 0.Следовательно, минимальный многочлен определен однозначно,обозначается µA(t).Минимальный многочлен линейного оператора ϕ — унитарный многочленнаименьшей степени, аннулирующий ϕ:µϕ(t) :µϕ(ϕ) = 0, deg µϕ → minОчевидно,µϕ(t) = µA(t),где A — матрица преобразования ϕ в любом базисе.Основные свойства:• B = T −1AT ⇒ µA(t) = µB (t) (!! обратное неверно);• µA(t) | χA(t);• χA(λ) = 0 ⇒ µA(λ) = 0;A1 0 .

. . 0 0 A... 0 2• если A = , то µA(t) ∈ lcm(µA1 (t), . . . , µAk (t))....00 . . . AkКак следствие, A ∼ J ⇒ µA(t) = µJ (t):чтобы найти минимальный многочлен матрицы, достаточно найтиминимальный многочлен ее жордановой формы.Минимальный многочлен жордановой матрицы1) Пусть A = Jd,λ — жорданова клетка.Тогда χA(t) = (λ − t)d ⇒ µA(t) = (λ − t)m, m ≤ d.Но(λEd − Jd,λ)m 6= 0при m < d.Следовательно,для A = Jd,λµA(t) = χA(t) = (λ − t)d.2) Пусть A = J — жорданова матрица,J d1,λi1A=0.........0JdN ,λiNТогдаµA(t) ∈ lcm((λi1 − t)d1 , .

. . , (λiN − t)dN )Задача о подобии матриц.Теорема.Пусть F — алгебраически замкнутое поле, A, B ∈ Mn(F ), A ∼ JA, B ∼ JB ,где JA и JB — жордановы матрицы. ТогдаA ∼ B ⇐⇒ JA совпадает с JB с точностью до перестановки клеток.Доказательство.(⇒)A ∼ B, B ∼ JB ⇒ A ∼ JB ⇒ JA и JB отличаются только перестановкойклеток ввиду единственности жордановой формы.(⇐)Если JA и JB отличаются порядком клеток, то JA = T −1JB T .(Для какой T ?)Поэтому JA ∼ JB и A ∼ JA ∼ JB ∼ B ⇒ A ∼ B.Упражнение.

Приведите пример таких двух матриц A, B ∈ Mn(C), чтоχA(t) = χB (t), µA(t) = µB (t), но A 6∼ B.Рекуррентные последовательностиПусть a1, . . . , am, b1, . . . , bm ∈ C, am 6= 0.Рассмотрим последовательность комплексных чисел {xi}i=1,2,..., заданнуюследующим образом:x1 = b 1 , x2 = b 2 , . . . , xm = b m ,xn = a1xn−1 + · · · + amxn−m,n>m— рекуррентная последовательность глубины m.Например, числа Фибоначчи определены таким правилом для m = 2,a1 = a2 = b1 = b2 = 1.(?) Как найти явную формулу для xnВведемx n+m xn+m−1. ∈ Cm ,.Yn = . xn+2 xn+1n ≥ 0,bmbm−1 . . Y0 =  .