1611672539-677b29cdbc8eab584ceda70868ef891f (Колесников - Лекции), страница 10

. amnr(A) = m,Пусть v = x1e1 + · · · + xnen ∈ V .v ∈ U ⊥ ⇐⇒ hui, vi = 0, i = 1, . . . , m ⇐⇒ hui, vi =(F = R, C)nXj=1aij x̄j = 0,т.е.x̄1 .. x =  .  — решение системы Ax = 0 ⇐⇒ x1e1 + · · · + xnen ∈ U ⊥.x̄nПространство решений системы Ax = 0 имеет размерностьn − r(A) = n − m = n − dim U .Значит, dim U ⊥ = n − dim U , откуда U ⊕ U ⊥ = V .Упражнение.Пусть U1, U2 — подпространства евклидова (унитарного)пространства V . Верны ли следующие равенства:(U1⊥)⊥ = U1,(U1 + U2)⊥ = U1⊥ ∩ U2⊥,(U1 ∩ U2)⊥ = U1⊥ + U2⊥?Упражнение.Докажите, что для любого подмножества S евклидова (унитарного)пространства V выполняется равенство (S ⊥)⊥ = L(S).Линейные функционалы на векторных пространствахV — конечномерное векторное пространство над полем F .Линейное отображение ϕ : V → F называетсялинейным функционалом на V(F рассматривается как векторное пространство размерности 1 над F ).Пространство Hom(V, F ) всех линейных функционалов на Vобозначается V ∗,называется дуальным (двойственным, сопряженным)векторным пространством к V .dim V ∗ = dim Hom(V, F ) = dim M1,n(F ) = n, где n = dim V .Следовательно, dim V ∗ = dim V .Пример.Пусть V — евклидово (унитарное) пространство, u ∈ V .

Тогда отображениеh·, ui :V → F(F = R, C),v 7→ hv, ui,является линейным функционалом на V .v ∈ V,Если u1 6= u2, то h·, u1i =6 h·, u2i:иначе: ∀v ∈ V hv, u1i = hv, u2i ⇒ hv, u1 − u2i = 0 ⇒ u1 − u2 = 0(возьмем v = u1 − u2).Сопряженные преобразования дуальных пространствПусть V, W — конечномерные векторные пространства над полем F .ϕ : V → W — линейное отображение.Для любого f ∈ W ∗ (f : W → F ) построимg ∈ V ∗ : g(v) = f (ϕ(v)),v ∈ V,— линейный функционал.Для каждого f ∈ W ∗ таким образом определим g ∈ V ∗.Отображение W ∗ → V ∗, действующее по правилу f 7→ g,обозначим ϕ∗:ϕ∗(f )(v) = f (ϕ(v)),v ∈ V, f ∈ W ∗.ϕ∗ называется сопряженным отображением к ϕ.ϕ∗ является линейным отображением:ϕ∗(αf1 + βf2)(v) = (αf1 + βf2)(ϕ(v))= αf1(ϕ(v)) + βf2(ϕ(v))∗∗= αϕ (f1) + βϕ (f2) (v)для всех v ∈ V , f1, f2 ∈ W ∗, α, β ∈ F .Линейные функционалы на евклидовом (унитарном) пространствеV — евклидово или унитарное пространство.Теорема.Любой линейный функционал ϕ на V имеет вид ϕ = h·, uiдля подходящего u ∈ V .Доказательство.Зафиксируем ортонормированный базис e1, .

. . , en пространства V .Для данного ϕ ∈ V ∗ положимu = ϕ(e1)e1 + · · · + ϕ(en)en.Тогда для любого v ∈ Vhv, ui = ϕ(e1)hv, e1i + · · · + ϕ(en)hv, eniС другой стороны,v = hv, e1ie1 + · · · + hv, enien ⇒ ϕ(v) = hv, e1iϕ(e1) + · · · + hv, eniϕ(en).Следовательно,ϕ(v) = hv, uiдля любого v ∈ V .V — евклидово или унитарное пространство.Следствие.Существует взаимно однозначное соответствие между векторамипространства V и линейными функционалами из V ∗:• любому вектору u ∈ V соответствует функционал h·, ui;• любому функционалу ϕ ∈ V ∗ соответствует векторPu = i ϕ(ei)ei ∈ V (e1, .

. . , en — ортонормированный базис V )(!) Вектор u не зависит от выбора ортонормированного базиса.Это взаимно однозначное соответствие позволяет отождествлятьпространства V и V ∗:u ∈ V ↔ h·, ui ∈ V ∗Сопряженные операторы на евклидовом (унитарном) пространствеДля любого линейного оператора ϕ : V → Vсопряженное отображение ϕ∗ : V ∗ → V ∗ можно рассматриватькак оператор на V :рассмотрим любой функционалf = h·, ui ∈ V ∗,u∈V;его образ ϕ∗(f ) ∈ V ∗, как всякий функционал на V , должен иметь видϕ∗(f ) = h·, wiдля некоторого w ∈ V ;следовательно,hv, wi = ϕ∗(f )(v) = f (ϕ(v)) = hϕ(v), uiдля любого v ∈ V .V — евклидово или унитарное пространствоϕ : V → V — линейный операторТаким образом, для всякого элемента u ∈ V однозначно определен w ∈ Vтакой, чтоϕ∗(h·, ui) = h·, wiили, что то же самое,hv, wi = hϕ(v), uiдля любого v ∈ V .(?) Отображение u 7→ w является линейным оператором V → VОбозначим временно w = ψ(u).

Тогда для любых u1, 22 ∈ V , α, β ∈ Fhv, ψ(αu1 + βu2)i = hϕ(v), αu1 + βu2i = ᾱhϕ(v), u1i + β̄hϕ(v), u2i.С другой стороны,hv, αψ(u1) + βψ(u2)i = ᾱhv, ψ(u1)i + β̄hv, ψ(u2)i = ᾱhϕ(v), u1i + β̄hϕ(v), u2iЗначит,hv, ψ(αu1 + βu2)i = hv, αψ(u1) + βψ(u2)iдля любого v ∈ V ,отсюда получаем линейность ψ:ψ(αu1 + βu2) = αψ(u1) + βψ(u2).V — евклидово или унитарное пространствоϕ : V → V — линейный операторПостроенный линейный оператор ψ : V → Vобозначается так же, как сопряженное преобразование ϕ∗ : V ∗ → V ∗:hv, ϕ∗(u)i = hϕ(v), uiu, v ∈ V.Основные свойства сопряженного преобразованияV — евклидово или унитарное пространствоϕ : V → V — линейный операторПредложение.1.

(ϕ1ϕ2)∗ = ϕ∗2ϕ∗1;2. (ϕ∗)∗ = ϕ;3. (αϕ1 + βϕ2)∗ = ᾱϕ∗1 + β̄ϕ∗2.4. Пусть U ⊆ V — подпространство, инвариантное относительноϕ. Тогда U ⊥ инвариантно относительно ϕ∗.Доказательство.(1)–(3): по определению;(4): u ∈ U ⊥ ⇐⇒ hv, ui = 0 для всех v ∈ U ;hv, ϕ∗(u)i = hϕ(v), ui = 0 поскольку ϕ(v) ∈ U для v ∈ U .Следовательно, ϕ∗(u) ∈ U ⊥.Матрица сопряженного оператораV — евклидово или унитарное пространство,ϕ : V → V — линейный оператор, ϕ∗ : V → V — сопряженный оператор.e1, . . . , en — ортонормированный базис V ,A = [ϕ]e1,...,en — матрица оператора ϕ в этом базисе.Теорема.[ϕ∗]e1,...,en = Ā⊺.Доказательство.

Для любых u, v ∈ V запишемy1x1 ..  .. [v] = [v]e1,...,en =  .  , [u] = [u]e1,...,en =  .  .ynxnТогда hv, ui = x1ȳ1 + · · · + xnȳn = [v]⊺[u].Обозначим B = [ϕ∗]e1,...,en .По определению hϕ(v), ui = hv, ϕ∗(u)i,поэтому [ϕ(v)]⊺[u] = [v]⊺[ϕ∗(u)].Вспомним, что [ϕ(v)] = A[v], [ϕ∗(u)] = B[u].Получим[v]⊺B[u] = [v]⊺B̄[u] = (A[v])⊺[u] = [v]⊺A⊺[u]— для любых u, v ∈ V .Отсюда B̄ = A⊺ ⇒ B = Ā⊺.Нормальные операторыV — евклидово или унитарное пространство,ϕ : V → V — линейный оператор, ϕ∗ : V → V — сопряженный оператор.Оператор ϕ называется нормальным, если ϕ∗ϕ = ϕϕ∗(перестановочен со своим сопряженным).Основные (наиболее важные) классы нормальных операторов:(A — матрица оператора в ортонормированном базисе)• На евклидовых пространствах:– Симметрические операторы: ϕ∗ = ϕ (A⊺ = A);– Кососимметрические операторы: ϕ∗ = −ϕ (A⊺ = −A);– Ортогональные операторы: ϕ∗ = ϕ−1 (A⊺ = A−1);• На унитарных пространствах:– Эрмитовы операторы: ϕ∗ = ϕ (A⊺ = Ā);– Косоэрмитовы операторы: ϕ∗ = −ϕ (A⊺ = −Ā);– Унитарные операторы: ϕ∗ = ϕ−1 (A⊺ = Ā−1)Канонический вид матрицы нормального оператораЗадача: выбрать ортонормированный базис, в котором матрица оператораимеет простой вид(1) в унитарном пространстве(2) в евклидовом пространствеV — унитарное пространство (F = C — алгебраически замкнутое поле)ϕ : V → V нормальный линейный оператор.Теорема.Существует такой ортонормированный базис пространства V , в которомматрица оператора ϕ диагональна.Доказательство.Индукцией по dim V = n.dim V = 1: любой оператор нормален,матрица любого оператора в любом базисе диагональна.Допустим, теорема доказана для всех операторовна пространствах размерности < n.Выберем любое собственное значение λ ∈ C оператора ϕ и рассмотримU = {v ∈ V | ϕ(v) = λv} ⊆ V.Это ϕ-инвариантное подпространство в V , U 6= {0}, dim U > 0.(?) U является ϕ∗-инвариантным:ϕ(ϕ∗(v)) = (ϕϕ∗)(v) = (ϕ∗ϕ)(v) = ϕ∗(λv) = λϕ∗(v).⇓v ∈ U ⇒ ϕ∗(v) ∈ U.По предложению об инвариантности ортогонального дополненияU ⊥ является инвариантным относительно (ϕ∗)∗ = ϕ.Следовательно,V = U ⊕ U ⊥ — прямая сумма ϕ-инвариантных подпространствСлучай 1: U = V , U ⊥ = {0}.Тогда ϕ = λ id — его матрица диагональна в любом базисе.Случай 2: U 6= V , U ⊥ 6= {0}.Тогда r = dim U < dim V = n, n − r = dim U ⊥ < dim V = n.По предположению индукции для операторов ϕU и ϕU ⊥найдутся ортонормированные базисыe1 , .

. . , er в Uλ 0 ... 00 λ . . . 0[ϕU ]e1,...,er = ,. . . . . . . . . . . .0 0 ... λer+1, . . . , en в U ⊥ :λ1 0 . . .00 λ...0 2[ϕU ⊥ ]er+1,...,en = . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . λn−rдля некоторых λ1, . . . , λn−r ∈ C; базис e1, . . . , er , er+1, . . . , en — искомый.Следствие.Линейный оператор ϕ на унитарном пространстве V является нормальнымтогда и только тогда, когда в V существует ортонормированный базис,состоящий из собственных векторов оператора ϕ.Доказательство.(⇒): по теореме;(⇐): диагональные матрицы перестановочны.Ортогональность собственных векторов нормального оператораСледствие.Собственные векторы нормального линейного оператора ϕ на унитарномпространстве V , соответствующие различным собственным значениям,ортогональны друг другу.Доказательство.λ1, .

. . , λn ∈ C — собственные значения,e1, . . . , en — ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов.Пусть λ — одно из собственных значений.ϕ(v) = λv — собственный вектор.Разложим v по базису e1, . . . , en:v = α1 e 1 + · · · + αn e n ,ϕ(v) = α1λ1e1 + · · · + αnλnen,λv = α1λe1 + · · · + αnλen.Эти векторы равны лишь тогда, когда αk = 0 при λk 6= λ.Аналогично,пусть µ — другое собственное значение.ϕ(u) = µu — собственный вектор.Разложим u по базису e1, . .

. , en:u = β1 e 1 + · · · + βn e n ,ϕ(u) = β1λ1e1 + · · · + βnλnen,µu = β1µe1 + · · · + βnµen.Эти векторы равны лишь тогда, когда αk = 0 при λk 6= µ.Получаем:hv, ui = α1β̄1 + · · · + αnβ̄n = 0 + · · · + 0 = 0.14. Евклидовы и унитарные пространства (продолжение)V — евклидово пространство (F = R — не алгебраически замкнутое поле)ϕ : V → V нормальный линейный оператор(т.

е. ϕϕ∗ = ϕ∗ϕ)Теорема.Существует такой ортонормированный базис пространства V , в которомматрица оператора ϕ имеет видA1 0 . . . 0 0 A... 0 2A=,. . . . . . . . . . . . . . . .00. . . AkгдеAi = (λi)илиAi =ai b i−bi ai— блоки размера 1 × 1 или 2 × 2 (λi, ai, bi ∈ R).!Доказательство.Индукцией по dim V = n. Случай n = 1 тривиален.Допустим, теорема доказана для операторов на евклидовых пространствахразмерности < n.Случай 1.

Оператор ϕ имеет собственное значение λ ∈ R.Тогда поступаем так же, как для унитарного пространства:U = {v ∈ V | ϕ(v) = λv};V = U ⊕ U ⊥;U,λ0[ϕ] = 0U⊥.........0— ϕ-инвариантны;000 λ[ϕU ⊥ ],где [ϕU ⊥ ] имеет требуемый вид по предположению индукции.Случай 2. Оператор ϕ имеет собственное значение λ ∈ C, λ ∈/ R.Тогда применим метод комплексификации:Зафиксируем какой-нибудь ортонормированный базисe1, .